2017年撫順中考數(shù)學(xué)練習(xí)試題及答案(2)
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定;菱形的判定;正方形的性質(zhì).
【分析】首先證明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度數(shù)，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判斷.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋轉(zhuǎn)得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
，
∴AED≌△GED，故②正確，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四邊形AEGF是菱形，故①正確，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正確.
∵AE=FG=EG=BG，BE= AE，
∴BE>AE，
∴AE< ，
∴CB+FG<1.5，故④錯(cuò)誤.
故答案為①②③.
三、解答題(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15.計(jì)算：|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0.
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算方法，零指數(shù)冪的求法，以及特殊角的三角函數(shù)值，求出|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0的值是多少即可.
【解答】解：|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0
=3+ × ﹣2 ﹣1
=3+1﹣2 ﹣1
=3﹣2
16.先化簡(jiǎn)，再求值：( ﹣x﹣1)÷ ，選一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值.
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】首先把括號(hào)內(nèi)的分式約分，然后通分相加，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，計(jì)算乘法即可化簡(jiǎn)，然后化簡(jiǎn)x的值，代入求解即可.
【解答】解：原式=[ ﹣(x+1)]•
=[ ﹣(x+1)]•
= •
=1﹣(x﹣1)
=2﹣x.
當(dāng)x=0時(shí)，原式=2.
四、解答題(本小題共2小題，每小題8分，共16分)
17.，在平面直角坐標(biāo)系中，直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是：A(﹣3，1)，B(0，3)，C(0，1)
(1)將△ABC以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△A1B1C1;
(2)分別連結(jié)AB1，BA1后，求四邊形ABA1B1的面積.
【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換;扇形面積的計(jì)算.
【分析】(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1，從而得到△A1B1C1;
(3)利用兩個(gè)梯形的面積和減去一個(gè)三角形的面積計(jì)算四邊形ABA1B1的面積.
【解答】解：(1)，△A1B1C1為所作;
(2)，四邊形ABA1B1的面積= (1+3)×3+ ×(1+3)×3﹣ ×1×6=9.
18.觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：
(1)32﹣4×12=5 (1)
(2)52﹣4×22=9 (2)
(3)72﹣4×32=13 (3)
…
根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：
(1)完成第五個(gè)等式：112﹣4× 5 2= 21 ;
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式(用含n的式子表示)，并驗(yàn)證其正確性.
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算;規(guī)律型：數(shù)字的變化類.
【分析】(1)根據(jù)前三個(gè)找出規(guī)律，寫出第五個(gè)等式;
(2)用字母表示變化規(guī)律，根據(jù)完全平方公式計(jì)算，即可證明.
【解答】解：(1)112﹣4×52=21，
故答案為：5;21;
(2)第n個(gè)等式為：(2n+1)2﹣4n2=4n+1，
證明：(2n+1)2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1.
五、解答題(本大題共2小題，每小題10分，共20分)
19.南沙群島是我國(guó)固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè)，當(dāng)漁船航行至B處時(shí)，測(cè)得該島位于正北方向20(1+ )海里的C處，為了防止某國(guó)海巡警干擾，就請(qǐng)求我A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航，已知C位于A處的北偏東45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之間的距離.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題.
【分析】作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD=x，利用解直角三角形的知識(shí)，可得出AD，繼而可得出BD，結(jié)合題意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案.
【解答】解：，作AD⊥BC，垂足為D，
由題意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°.
設(shè)CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，
在Rt△ABD中，可得BD= x，
又∵BC=20(1+ )，CD+BD=BC，
即x+ x=20(1+ )，
解得：x=20，
∴AC= x=20 (海里).
答：A、C之間的距離為20 海里.
20.已知，，一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y= (n為常數(shù)且n≠0)的圖象在第二象限交于點(diǎn)C.CD⊥x軸，垂足為D，若OB=2OA=3OD=6.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)直接寫出不等式;kx+b≤ 的解集.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
【分析】(1)先求出A、B、C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式.
(2)兩個(gè)函數(shù)的解析式作為方程組，解方程組即可解決問題.
(3)根據(jù)圖象一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，即可解決問題，注意等號(hào).
【解答】解：(1)∵OB=2OA=3OD=6，
∴OB=6，OA=3，OD=2，
∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴ = ，
∴ = ，
∴CD=10，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)(﹣2，10)，B(0，6)，A(3，0)，
∴ 解得 ，
∴一次函數(shù)為y=﹣2x+6.
∵反比例函數(shù)y= 經(jīng)過點(diǎn)C(﹣2，10)，
∴n=﹣20，
∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ .
(2)由 解得 或 ，
故另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(5，﹣4).
(3)由圖象可知kx+b≤ 的解集：﹣2≤x<0或x≥5.
六、解答題(本題滿分12分)
21.某校在踐行“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”演講比賽中，對(duì)名列前20名的選手的綜合分?jǐn)?shù)m進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表所示：
組號(hào) 分組 頻數(shù)
一 6≤m<7 2
二 7≤m<8 7
三 8≤m<9 a
四 9≤m≤10 2
(1)求a的值;
(2)若用扇形圖來描述，求分?jǐn)?shù)在8≤m<9內(nèi)所對(duì)應(yīng)的扇形圖的圓心角大小;
(3)將在第一組內(nèi)的兩名選手記為：A1、A2，在第四組內(nèi)的兩名選手記為：B1、B2，從第一組和第四組中隨機(jī)選取2名選手進(jìn)行調(diào)研座談，求第一組至少有1名選手被選中的概率(用樹狀圖或列表法列出所有可能結(jié)果).
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法;頻數(shù)(率)分布表;扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)根據(jù)被調(diào)查人數(shù)為20和表格中的數(shù)據(jù)可以求得a的值;
(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以得到分?jǐn)?shù)在8≤m<9內(nèi)所對(duì)應(yīng)的扇形圖的圓心角大;
(3)根據(jù)題意可以寫出所有的可能性，從而可以得到第一組至少有1名選手被選中的概率.
【解答】解：(1)由題意可得，
a=20﹣2﹣7﹣2=9，
即a的值是9;
(2)由題意可得，
分?jǐn)?shù)在8≤m<9內(nèi)所對(duì)應(yīng)的扇形圖的圓心角為：360°× =162°;
(3)由題意可得，所有的可能性如下圖所示，
故第一組至少有1名選手被選中的概率是： = ，
即第一組至少有1名選手被選中的概率是 .
七、解答題(本題滿分12分)
22.，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心，經(jīng)過A，C兩點(diǎn)且與BC邊交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交線段EO于點(diǎn)F，若AB=BF.
(1)求證：AB是⊙O的切線;
(2)若CF=4，DF= ，求⊙O的半徑r及sinB.
【考點(diǎn)】切線的判定.
【分析】(1)連接OA、OD，，根據(jù)垂徑定理得OD⊥BC，則∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，則OA⊥AB，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AB是⊙O切線;
(2)先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+(4﹣r)2=( )2，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1.
然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2，即AB2+32=(AB+1)2，解方程得到AB=4的值，再根據(jù)三角函數(shù)定義求出sinB.
【解答】(1)證明：連接OA、OD，，
∵點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴∠EOD=90°，
∵AB=BF，OA=OD，
∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，
而∠BFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，
∴OA⊥AB，
∴AB是⊙O切線;
(2)解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF= ，
在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+(4﹣r)2=( )2，
解得r1=3，r2=1(舍去);
∴半徑r=3，
∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1.
在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，
∴AB2+32=(AB+1)2，
∴AB=4，OB=5，
∴sinB= = .
八、解答題(本題滿分14分)
23.，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，﹣3)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上.
(1)b= ﹣2 ，c= ﹣3 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (﹣1，0) ;(直接填寫結(jié)果)
(2)是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，說明理由;
(3)過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)分別過點(diǎn)C和點(diǎn)A作AC的垂線，將拋物線與P1，P2兩點(diǎn)先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可;
(3)連接OD.先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF，然后根據(jù)垂線段最短可求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后由拋物線的解析式可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解答】解：(1)∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： ，解得：b=﹣2，c=﹣3.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣1，0).
故答案為：﹣2;﹣3;(﹣1，0).
(2)存在.
理由：所示：
?、佼?dāng)∠ACP1=90°.
由(1)可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0).
設(shè)AC的解析式為y=kx﹣3.
∵將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得3k﹣3=0，解得k=1，
∴直線AC的解析式為y=x﹣3.
∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3.
∵將y=﹣x﹣3與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立解得x1=1，x2=0(舍去)，
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，﹣4).
②當(dāng)∠P2AC=90°時(shí).
設(shè)AP2的解析式為y=﹣x+b.
∵將x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3.
∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3.
∵將y=﹣x+3與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立解得x1=﹣2，x2=3(舍去)，
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(﹣2，5).
綜上所述，P的坐標(biāo)是(1，﹣4)或(﹣2，5).
(3)2所示：連接OD.
由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF.
根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短.
由(1)可知，在Rt△AOC中，
∵OC=OA=3，OD⊥AC，
∴D是AC的中點(diǎn).
又∵DF∥OC，
∴ .
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是 .
∴ ，解得： .
∴當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：( ， )或( ， ).
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