2017河南省中考數(shù)學(xué)模擬試卷(2)
2017河南省中考數(shù)學(xué)模擬試題答案
一.選擇題(共10小題)
1.﹣|﹣2|的倒數(shù)是( )
A.2 B. C. D.﹣2
【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算出﹣|﹣2|的值,再根據(jù)倒數(shù)的定義求解即可.
【解答】解:因?yàn)椹亅﹣2|=﹣2,(﹣2)×(﹣ )=1,
所以﹣|﹣2|的倒數(shù)是﹣ .
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了倒數(shù)的定義及絕對(duì)值的性質(zhì):
(1)若兩個(gè)數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).
(2)一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0.
2.世界上最小的開(kāi)花結(jié)果植物是澳大利亞的出水浮萍,這種植物的果實(shí)像一個(gè)微笑的無(wú)花果,質(zhì)量只有0.000000076克,將0.000000076用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.7.6×108 B.0.76×10﹣9 C.7.6×10﹣8 D.0.76×109
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示,一般形式為a×10﹣n,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪,指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
【解答】解:將0.000000076用科學(xué)記數(shù)法表示為7.6×10﹣8,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù),一般形式為a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
3.下列計(jì)算正確的是( )
A.( )﹣2=9 B. =﹣2 C.(﹣2)0=﹣1 D.|﹣5﹣3|=2
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的化簡(jiǎn)、零指數(shù)冪、絕對(duì)值的性質(zhì)逐一判斷即可.
【解答】解:A. =9,故本項(xiàng)正確;
B. ,故本項(xiàng)錯(cuò)誤;
C.(﹣2)0=1,故本項(xiàng)錯(cuò)誤;
D.|﹣5﹣3|=|﹣8|=8,股本項(xiàng)錯(cuò)誤,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、求算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、絕對(duì)值的性質(zhì),熟練掌握運(yùn)算法則及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4.如圖是由一個(gè)圓柱體和一個(gè)長(zhǎng)方體組成的幾何體,其左視圖是( )
A. B. C. D.
【分析】找到從左面看所得到的圖形即可.
【解答】解:從左面可看到一個(gè)長(zhǎng)方形和上面一個(gè)長(zhǎng)方形.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí),左視圖是從物體的左面看得到的視圖.
5.分解因式(2x+3)2﹣x2的結(jié)果是( )
A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3) C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3)
【分析】直接利用平方差公式分解因式,進(jìn)而得出答案.
【解答】解:(2x+3)2﹣x2
=(2x+3﹣x)(2x+3+x)
=(x+3)(3x+3)
=3(x+3)(x+1).
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式,熟練應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵.
6.下列運(yùn)算中,計(jì)算正確的是( )
A.2a•3a=6a B.(3a2)3=27a6
C.a4÷a2=2a D.(a+b)2=a2+ab+b2
【分析】分別利用積的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則、完全平方公式、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案.
【解答】解:A、2a•3a=6a2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、(3a2)3=27a6,正確;
C、a4÷a2=a2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了積的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算、完全平方公式、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式等知識(shí),正確化簡(jiǎn)各式是解題關(guān)鍵.
7.不等式組 的解集在數(shù)軸上表示為( )
A. B. C. D.
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集,根據(jù)“大于向右,小于向左,包括端點(diǎn)用實(shí)心,不包括端點(diǎn)用空心”的原則即可得答案.
【解答】解: ,
解不等式2x﹣1≥5,得:x≥3,
解不等式8﹣4x<0,得:x>2,
故不等式組的解集為:x≥3,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組,正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ),熟悉在數(shù)軸上表示不等式解集的原則“大于向右,小于向左,包括端點(diǎn)用實(shí)心,不包括端點(diǎn)用空心”是解題的關(guān)鍵.
8.如圖,已知a∥b,直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線b上,若∠1=60°,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.∠2=60° B.∠3=60° C.∠4=120° D.∠5=40°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì):兩直線平行,同位角相等,以及對(duì)頂角相等等知識(shí)分別求出∠2,∠3,∠4,∠5的度數(shù),然后選出錯(cuò)誤的選項(xiàng).
【解答】解:∵a∥b,∠1=60°,
∴∠3=∠1=60°,∠2=∠1=60°,
∠4=180°﹣∠3=180°﹣60°=120°,
∵三角板為直角三角板,
∴∠5=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵上掌握平行線的性質(zhì):兩直線平行,同位角相等.
9.對(duì)于一組數(shù)據(jù)﹣1,﹣1,4,2,下列結(jié)論不正確的是( )
A.平均數(shù)是1 B.眾數(shù)是﹣1 C.中位數(shù)是0.5 D.方差是3.5
【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、方差和平均數(shù)的定義和計(jì)算公式分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析,即可得出答案.
【解答】解:這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是:(﹣1﹣1+4+2)÷4=1;
﹣1出現(xiàn)了2次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,則眾數(shù)是﹣1;
把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為:﹣1,﹣1,2,4,最中間的數(shù)是第2、3個(gè)數(shù)的平均數(shù),則中位數(shù)是 =0.5;
這組數(shù)據(jù)的方差是: [(﹣1﹣1)2+(﹣1﹣1)2+(4﹣1)2+(2﹣1)2]=4.5;
則下列結(jié)論不正確的是D;
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方差、平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù),一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù),x1,x2,…xn的平均數(shù)為 ,則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2];一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù);將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序排列,如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù),則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將△ABO繞點(diǎn)A順指針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置,點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)B1、C1處,點(diǎn)B1在x軸上,再將△AB1C1繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置,點(diǎn)C2在x軸上,將△A1B1C2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置,點(diǎn)A2在x軸上,依次進(jìn)行下去…,若點(diǎn)A( ,0),B(0,4),則點(diǎn)B2016的橫坐標(biāo)為( )
A.5 B.12 C.10070 D.10080
【分析】由圖象可知點(diǎn)B2016在第一象限,求出B2,B4,B6的坐標(biāo),探究規(guī)律后即可解決問(wèn)題.
【解答】解:由圖象可知點(diǎn)B2016在第一象限,
∵OA= ,OB=4,∠AOB=90°,
∴AB= = = ,
∴B2(10,4),B4(20,4),B6(30,4),…
∴B2016(10080,4).
∴點(diǎn)B2016縱坐標(biāo)為10080.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是從特殊到一般探究規(guī)律,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,利用規(guī)律解決問(wèn)題,屬于中考常考題型.
二.填空題(共8小題)
11.方程組 的解是 .
【分析】由于y的系數(shù)互為相反數(shù),直接用加減法解答即可.
【解答】解:解方程組 ,
?、?②,得:4x=12,
解得:x=3,
將x=3代入①,得:3+2y=5,
解得:y=1,
∴ ,
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二元一次方程組的解法,方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時(shí)可用代入法,當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)用加減消元法較簡(jiǎn)單.
12.某工廠去年的產(chǎn)值是a萬(wàn)元,今年比去年增加10%,今年的產(chǎn)值
是 萬(wàn)元.
【分析】今年產(chǎn)值=(1+10%)×去年產(chǎn)值,根據(jù)關(guān)系列式即可.
【解答】解:根據(jù)題意可得今年產(chǎn)值=(1+10%)a萬(wàn)元,
故答案為:(1+10%)a.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了增長(zhǎng)率的知識(shí),增長(zhǎng)后的收入=(1+10%)×增長(zhǎng)前的收入.
13.不等式3x﹣2≥4(x﹣1)的所有非負(fù)整數(shù)解的和為 .
【考點(diǎn)】一元一次不等式的整數(shù)解.
【分析】先求出不等式的解集,再求出不等式的非負(fù)整數(shù)解,即可得出答案.
【解答】解:3x﹣2≥4(x﹣1),
3x﹣2≥4x﹣4,
x≤2,
所以不等式的非負(fù)整數(shù)解為0,1,2,
0+1+2=3,
故答案為:3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式,不等式的非負(fù)整數(shù)解的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是能求出不等式的非負(fù)整數(shù)解,難度適中.
14.一艘輪船在小島A的北偏東60°方向距小島80海里的B處,沿正西方向航行3小時(shí)后到達(dá)小島的北偏西45°的C處,則該船行駛的速度為 海里/小時(shí).
【分析】設(shè)該船行駛的速度為x海里/時(shí),由已知可得BC=3x,AQ⊥BC,∠BAQ=60°,∠CAQ=45°,AB=80海里,在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ,再在直角三角形AQC中求出CQ,得出BC=40+40 =3x,解方程即可.
【解答】解:如圖所示:
設(shè)該船行駛的速度為x海里/時(shí),
3小時(shí)后到達(dá)小島的北偏西45°的C處,
由題意得:AB=80海里,BC=3x海里,
在直角三角形ABQ中,∠BAQ=60°,
∴∠B=90°﹣60°=30°,
∴AQ= AB=40,BQ= AQ=40 ,
在直角三角形AQC中,∠CAQ=45°,
∴CQ=AQ=40,
∴BC=40+40 =3x,
解得:x= .
即該船行駛的速度為 海里/時(shí);
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的方向角問(wèn)題、等腰直角三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí);通過(guò)解直角三角形得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
15.如圖,已知四邊形OABC為正方形,邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)D在OA上,且點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P是OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PD+PA的最小值是 .
第15題圖
15.2
16.如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形,⊙O的半徑為3,則圖中陰影部分的面積是 .
【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)及圓周角定理可得扇形對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù),再根據(jù)扇形面積公式計(jì)算可得.
【解答】解:∵△ABC是等邊三角形,
∴∠C=60°,
根據(jù)圓周角定理可得∠AOB=2∠C=120°,
∴陰影部分的面積是 =3π,
故答案為:3π.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形面積的計(jì)算和圓周角定理,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和圓周角定理求得圓心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵.
三.解答題(共3小題)
17.計(jì)算:( +π)0﹣2|1﹣sin30°|+( )﹣1.
【分析】原式第一項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算,第二項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn),最后一項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答】解:原式=1﹣1+2=2。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
18.先化簡(jiǎn),再求值: ÷(1﹣ )其中x= .
【分析】根據(jù)通分、約分法則把原式化簡(jiǎn),把x的值代入化簡(jiǎn)后的式子,根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【解答】解:原式= × = ,
當(dāng)x= 時(shí),原式= =﹣ 。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值,掌握分式的混合運(yùn)算法則、二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
19.隨著國(guó)家“惠民政策”的陸續(xù)出臺(tái),為了切實(shí)讓老百姓得到實(shí)惠,國(guó)家衛(wèi)計(jì)委通過(guò)嚴(yán)打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為,某種藥品原價(jià)200元/瓶,經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后,現(xiàn)在僅賣98元/瓶,現(xiàn)假定兩次降價(jià)的百分率相同,求該種藥品平均每次降價(jià)的百分率.
【分析】設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是x,則兩個(gè)次降價(jià)以后的價(jià)格是200(1﹣x)2,據(jù)此列出方程求解即可.
【解答】解:設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是x,
由題意得:200(1﹣x)2=98
解得:x1=1.7(不合題意舍去),x2=0.3=30%.
答:該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是30%.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關(guān)系,列出方程,再求解.判斷所求的解是否符合題意,舍去不合題意的解.
四.解答題(共3小題)
20.某校開(kāi)展了“互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取”主題班會(huì)活動(dòng),活動(dòng)后,就活動(dòng)的5個(gè)主題進(jìn)行了抽樣調(diào)查(每位同學(xué)只選最關(guān)注的一個(gè)),根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)這次調(diào)查的學(xué)生共有多少名?
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,并在扇形統(tǒng)計(jì)圖中計(jì)算出“進(jìn)取”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù).
(3)如果要在這5個(gè)主題中任選兩個(gè)進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)(2)中調(diào)查結(jié)果,用樹(shù)狀圖或列表法,求恰好選到學(xué)生關(guān)注最多的兩個(gè)主題的概率(將互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取依次記為A、B、C、D、E).
【分析】(1)根據(jù)“平等”的人數(shù)除以占的百分比得到調(diào)查的學(xué)生總數(shù)即可;
(2)求出“互助”與“進(jìn)取”的學(xué)生數(shù),補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,求出“進(jìn)取”占的圓心角度數(shù)即可;
(3)列表或畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù),找出恰好選到“C”與“E”的情況數(shù),即可求出所求的概率.
【解答】解:(1)56÷20%=280(名),
答:這次調(diào)查的學(xué)生共有280名;
(2)280×15%=42(名),280﹣42﹣56﹣28﹣70=84(名),
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,如圖所示,
根據(jù)題意得:84÷280=30%,360°×30%=108°,
答:“進(jìn)取”所對(duì)應(yīng)的圓心角是108°;
(3)由(2)中調(diào)查結(jié)果知:學(xué)生關(guān)注最多的兩個(gè)主題為“進(jìn)取”和“感恩”用列表法為:
A B C D E
A (A,B) (A,C) (A,D) (A,E)
B (B,A) (B,C) (B,D) (B,E)
C (C,A) (C,B) (C,D) (C,E)
D (D,A) (D,B) (D,C) (D,E)
E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D)
用樹(shù)狀圖為:
共20種情況,恰好選到“C”和“E”有2種,
∴恰好選到“進(jìn)取”和“感恩”兩個(gè)主題的概率是 .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法,扇形統(tǒng)計(jì)圖,以及條形統(tǒng)計(jì)圖,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
21.如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角分線.
(1)以AB上的一點(diǎn)O為圓心,AD為弦在圖中作出⊙O.(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡);
(2)試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【分析】(1)因?yàn)锳D是弦,所以圓心O即在AB上,也在AD的垂直平分線上;
(2)因?yàn)镈在圓上,所以只要能證明OD⊥BC就說(shuō)明BC為⊙O的切線.
【解答】(1)解:如圖所示,
(2)相切;理由如下:
證明:連結(jié)OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA
∵AD是BAC的角平分線,則∠OAD=∠DAC,
∴∠ODA=∠DAC,
∵AC⊥BC,則∠DAC+∠ADC=90°,
∴∠ODA+∠ADC=90°,即∠ODC=90°,
∴OD⊥BC,
即BC是⊙O的切線.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定以及基本作圖,相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).要證某線是圓的切線,已知此線過(guò)圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
22.如圖,在Rt△AOB中,∠ABO=90°,OB=4,AB=8,且反比例函數(shù) 在第一象限內(nèi)的圖象分別交OA、AB于點(diǎn)C和點(diǎn)D,連結(jié)OD,若S△BOD=4,
(1)求反比例函數(shù)解析式;
(2)求C點(diǎn)坐標(biāo).
【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)y= (k≠0)系數(shù)k的幾何意義得到S△BOD= k=4,求出k即可確定反比例函數(shù)解析式;
(2)先利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式,然后把正比例函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式組成方程,解方程組即可得到C點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解:(1)∵S△BOD= k,
∴ k=4,解得k=8,
∴反比例函數(shù)解析式為y= ;
(2)設(shè)直線OA的解析式為y=ax,把A(4,8)代入得4a=8,解得a=2,
所以直線OA的解析式為y=2x,
解方程組 得 或 ,
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)y= (k≠0)系數(shù)k的幾何意義:從反比例函數(shù)y=kx(k≠0)圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線,垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|.
五.解答題(共3小題)
23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+2過(guò)B(﹣2,6),C(2,2)兩點(diǎn).
(1)試求拋物線的解析式;
(2)記拋物線頂點(diǎn)為D,求△BCD的面積;
(3)若直線y=﹣ x向上平移b個(gè)單位所得的直線與拋物線段BDC(包括端點(diǎn)B、C)部分有兩個(gè)交點(diǎn),求b的取值范圍.
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題.
(2)求出直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)H,根據(jù)S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解決問(wèn)題.
(3)由 ,當(dāng)方程組只有一組解時(shí)求出b的值,當(dāng)直線y=﹣ x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),求出b的值,當(dāng)直線y=﹣ x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),求出b的值,由此即可解決問(wèn)題.
【解答】解:(1)由題意 解得 ,
∴拋物線解析式為y= x2﹣x+2.
(2)∵y= x2﹣x+2= (x﹣1)2+ .
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)(1, ),
∵直線BC為y=﹣x+4,∴對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)H(1,3),
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= •3+ •1=3.
(3)由 消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0,
當(dāng)△=0時(shí),直線與拋物線相切,1﹣4(4﹣2b)=0,
∴b= ,
當(dāng)直線y=﹣ x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),b=3,
當(dāng)直線y=﹣ x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),b=5,
∵直線y=﹣ x向上平移b個(gè)單位所得的直線與拋物線段BDC(包括端點(diǎn)B、C)部分有兩個(gè)交點(diǎn),
∴
【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是求出對(duì)稱軸與直線BC交點(diǎn)H坐標(biāo),學(xué)會(huì)利用判別式確定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題,屬于中考??碱}型.
24.如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合),DE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G,DF⊥DG,且交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:AE=BF;
(2)連接GB,EF,求證:GB∥EF;
(3)若AE=1,EB=2,求DG的長(zhǎng).
【分析】(1)連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形,求出∠A與∠C的度數(shù),根據(jù)AB為圓的直徑,利用圓周角定理得到∠ADB為直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到AD=DC=BD= AC,進(jìn)而確定出∠A=∠FBD,再利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等,利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證;
(2)連接EF,BG,由三角形AED與三角形BFD全等,得到ED=FD,進(jìn)而得到三角形DEF為等腰直角三角形,利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對(duì)同位角相等,利用同位角相等兩直線平行即可得證;
(3)由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中,利用勾股定理求出EF的長(zhǎng),利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng),利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似,由相似得比例,求出GE的長(zhǎng),由GE+ED求出GD的長(zhǎng)即可.
【解答】(1)證明:連接BD,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠A=∠C=45°,
∵AB為圓O的直徑,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,
∴AD=DC=BD= AC,∠CBD=∠C=45°,
∴∠A=∠FBD,
∵DF⊥DG,
∴∠FDG=90°,
∴∠FDB+∠BDG=90°,
∵∠EDA+∠BDG=90°,
∴∠EDA=∠FDB,
在△AED和△BFD中,
,
∴△AED≌△BFD(ASA),
∴AE=BF;
(2)證明:連接EF,BG,
∵△AED≌△BFD,
∴DE=DF,
∵∠EDF=90°,
∴△EDF是等腰直角三角形,
∴∠DEF=45°,
∵∠G=∠A=45°,
∴∠G=∠DEF,
∴GB∥EF;
(3)∵AE=BF,AE=1,
∴BF=1,
在Rt△EBF中,∠EBF=90°,
∴根據(jù)勾股定理得:EF2=EB2+BF2,
∵EB=2,BF=1,
∴EF= = ,
∵△DEF為等腰直角三角形,∠EDF=90°,
∴cos∠DEF= ,
∵EF= ,
∴DE= × = ,
∵∠G=∠A,∠GEB=∠AED,
∴△GEB∽△AED,
∴ = ,即GE•ED=AE•EB,
∴ •GE=2,即GE= ,
則GD=GE+ED= .
【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓綜合題,涉及的知識(shí)有:全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,以及平行線的判定與性質(zhì),熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
25.如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB上的點(diǎn),且CE=BF.連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE,使EG=DE,連接FG,F(xiàn)C.
(1)請(qǐng)判斷:FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;
(2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CB,BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)作出判斷并給予證明;
(3)如圖3,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷.
【分析】(1)只要證明四邊形CDGF是平行四邊形即可得出FG=CE,F(xiàn)G∥CE;
(2)構(gòu)造輔助線后證明△HGE≌△CED,利用對(duì)應(yīng)邊相等求證四邊形GHBF是矩形后,利用等量代換即可求出FG=C,F(xiàn)G∥CE;
(3)證明△CBF≌△DCE后,即可證明四邊形CEGF是平行四邊形.
【解答】解:(1)FG=CE,F(xiàn)G∥CE;
(2)過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,
∵EG⊥DE,
∴∠GEH+∠DEC=90°,
∵∠GEH+∠HGE=90°,
∴∠DEC=∠HGE,
在△HGE與△CED中,
,
∴△HGE≌△CED(AAS),
∴GH=CE,HE=CD,
∵CE=BF,
∴GH=BF,
∵GH∥BF,
∴四邊形GHBF是矩形,
∴GF=BH,F(xiàn)G∥CH
∴FG∥CE
∵四邊形ABCD是正方形,
∴CD=BC,
∴HE=BC
∴HE+EB=BC+EB
∴BH=EC
∴FG=EC
(3)成立.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°,
在△CBF與△DCE中,
,
∴△CBF≌△DCE(SAS),
∴∠BCF=∠CDE,CF=DE,
∵EG=DE,
∴CF=EG,
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG,
∴∠BCF=∠CEG,
∴CF∥EG,
∴四邊形CEGF平行四邊形,
∴FG∥CE,F(xiàn)G=CE.
【點(diǎn)評(píng)】本題三角形與四邊形綜合問(wèn)題,涉及全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行線段的等量代換,從而求證出平行四邊形.
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