2017赤峰中考數(shù)學(xué)模擬真題(2)
2017赤峰中考數(shù)學(xué)模擬試題答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.
1.計(jì)算5+(﹣2)×3的結(jié)果等于( )
A.﹣11 B.﹣1 C.1 D.11
【考點(diǎn)】1G：有理數(shù)的混合運(yùn)算.
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法和加法可以解答本題.
【解答】解：5+(﹣2)×3
=5+(﹣6)
=﹣1，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法.
2.計(jì)算 •tan 60°的值等于( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.
【解答】解：原式= × = ，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.
3.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】R5：中心對(duì)稱圖形;P3：軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸;把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.進(jìn)行分析即可.
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確;
C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.
4.將0.0000026用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.2.6×106 B.0.26×10﹣5 C.2.6×10﹣6 D.2.6×10﹣7
【考點(diǎn)】1J：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的方法可以表示題目中的數(shù)據(jù)，從而可以解答本題.
【解答】解：0.0000026=2.6×10﹣6，
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查科學(xué)記數(shù)法，解答本題的關(guān)鍵是明確科學(xué)記數(shù)法的方法.
5.用5個(gè)完全相同的小正方體組合成如圖所示的立體圖形，它的俯視圖為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】U2：簡(jiǎn)單組合體的三視圖.
【分析】從上面看：共分3列，從左往右分別有2，1，1個(gè)小正方形.據(jù)此可畫出圖形.
【解答】解：如圖所示的立體圖形的俯視圖為 .
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖;用到的知識(shí)點(diǎn)為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形.
6.計(jì)算2 ﹣ 的結(jié)果是( )
A.﹣ B.﹣2 C.﹣4 D.﹣8
【考點(diǎn)】78：二次根式的加減法.
【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)合并同類項(xiàng)的方法即可解答本題.
【解答】解：2 ﹣
=
=﹣2 ，
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的減法，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式減法的計(jì)算方法.
7.化簡(jiǎn) ﹣ 等于( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考點(diǎn)】6B：分式的加減法.
【分析】原式第二項(xiàng)約分后兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答】解：原式= + = + = = ，
故選B
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
8.設(shè)ɑ，β是一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩個(gè)根，則ɑβ的值是( )
A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2
【考點(diǎn)】AB：根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.
【解答】解：根據(jù)題意得αβ=﹣3.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí)，x1+x2=﹣ ，x1x2= .
9.拋物線y=2x2﹣2 x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】對(duì)于拋物線解析式，分別令x=0與y=0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，即可確定出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解答】解：拋物線y=2x2﹣2 x+1，顯然拋物線與y軸有一個(gè)交點(diǎn)，
令y=0，得到2x2﹣2 x+1=0，
∵△=8﹣8=0，
∴拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，
則拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2，
故選C
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線解析式中令一個(gè)未知數(shù)為0，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，確定出拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn).
10.如圖，以AB為直徑，點(diǎn)O為圓心的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，若AC=BC= ，則圖中陰影部分的面積是( )
A. B. C. D. +
【考點(diǎn)】MO：扇形面積的計(jì)算.
【分析】先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，則可判斷△ACB為等腰直角三角形，接著判斷△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算圖中陰影部分的面積.
【解答】解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC= ，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA= AC=1，
∴S陰影部分=S扇形AOC= = .
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算：圓面積公式：S=πr2，(2)扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.求陰影面積常用的方法：①直接用公式法; ②和差法; ③割補(bǔ)法.求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.
11.下列命題為假命題的是( )
A.有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
B.面積之比為1：4的兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比是1：2
C.方程x2﹣x﹣2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D.順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形
【考點(diǎn)】O1：命題與定理.
【分析】利用全等三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根的判別式及中點(diǎn)四邊形的知識(shí)分別判斷后即可確定正確的結(jié)論.
【解答】解：A、有兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故錯(cuò)誤，是假命題;
B、面積之比為1：4的兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比是1：2，正確，是真命題;
C、方程x2﹣x﹣2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，正確，是真命題;
D、順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，正確，是真命題，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解全等三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根的判別式及中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，難度不大.
12.如圖，己知點(diǎn)A是雙曲線y= (k>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊△ABC，點(diǎn)C在第四象限.隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y= (m<0)上運(yùn)動(dòng)，則m與k的關(guān)系是( )
A.m=﹣k B.m=﹣ k C.m=﹣2k D.m=﹣3k
【考點(diǎn)】G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;KK：等邊三角形的性質(zhì).
【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a， )，連接OC，則OC⊥AB，表示出OC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，進(jìn)而得出結(jié)論.
【解答】解：設(shè)A(a， )，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴OA=OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC= AO，
∵AO= ，
∴CO= ，
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
則可得∠AOD=∠OCD(都是∠COD的余角)，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，則tan∠AOD=tan∠OCD，即 =
解得y=﹣ .
在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，即y2+x2=3a2+ ，將y=﹣ 代入得，x2= ，
∴x= ，y=﹣ =﹣ • =﹣ a，
∴m=xy= •(﹣ a)=﹣3k.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵.
二、填空題(共6小題，每小題3分，滿分18分)
13.計(jì)算(﹣3m3n)2的結(jié)果等于 9m6n2 .
【考點(diǎn)】47：冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方，即可解答.
【解答】解：(﹣3m3n)2=(﹣3)2•(m3)2•n2=9m6n2.
答案為：9m6n2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方和積的乘方，解決本題的關(guān)鍵是熟記冪的乘方和積的乘方.
14.分解因式：ax2﹣ay2= a(x+y)(x﹣y) .
【考點(diǎn)】55：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】應(yīng)先提取公因式a，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解.
【解答】解：ax2﹣ay2，
=a(x2﹣y2)，
=a(x+y)(x﹣y).
故答案為：a(x+y)(x﹣y).
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要徹底.
15.己知一次函數(shù)y=kx﹣5和y=k′x+3，假設(shè)k>0，k′<0，則這兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在第 一或四 象限.
【考點(diǎn)】FF：兩條直線相交或平行問(wèn)題;F7：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)圖象，根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合圖形即可得出結(jié)論.
【解答】解：分別作出一次函數(shù)y=kx﹣5和y=k′x+3的圖象，如圖所示.
∵在一次函數(shù)y=kx﹣5中，k>0，﹣5<0，
∴該一次函數(shù)圖象過(guò)第一、三、四象限;
∵在一次函數(shù)y=k′x+3中，k′<0，3>0，
∴該一次函數(shù)圖象過(guò)第一、二、四象限.
∴這兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)可能在第一或第四象限.
故答案為：一或四.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.
16.荊楚學(xué)校為了了解九年級(jí)學(xué)生“一分鐘內(nèi)跳繩次數(shù)”的情況，隨機(jī)選取了3名女生和2名男生，則從這5名學(xué)生中，選取2名同時(shí)跳繩，恰好選中一男一女的概率是 .
【考點(diǎn)】X6：列表法與樹狀圖法.
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與剛好抽到一男一女的情況，再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知共有20種等可能性結(jié)果，其中抽到一男一女的情況有12種，
所以抽到一男一女的概率為P(一男一女)= ，
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
17.如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為2，連對(duì)角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點(diǎn)M，N，則MN= 3﹣ .
【考點(diǎn)】MM：正多邊形和圓.
【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論;由于∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，等量代換得到AN2=AM•AD，列方程得到MN=3﹣ .
【解答】解：∵∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=AE=DE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，
∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，
∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，
∴∠AEN=∠ANE，
∴AE=AN，
同理DE=DM，
∴AE=DM，
∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°，
∴△AEM∽△ADE，
∴ ，
∴AE2=AM•AD
∴AN2=AM•AD;
∴22=(2﹣MN)(4﹣MN)，
∴MN=3﹣ ;
故答案為：3﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，熟練掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
18.如圖.六個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)大長(zhǎng)方形，AB是其中一個(gè)小長(zhǎng)方形對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)诖箝L(zhǎng)方形中完成下列畫圖，要求：(1)僅用無(wú)刻度直尺;(2)保留必要的畫圖痕跡.
(1)在圖(1)中畫一個(gè)45°角，使點(diǎn)A或點(diǎn)B是這個(gè)角的頂點(diǎn)，且AB為這個(gè)角的一邊;
(2)在圖(2)中畫出線段AB的垂直平分線，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫圖的方法(不要求證明) 點(diǎn)M是長(zhǎng)方形AFBE是對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)N是正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，直線MN就是所求的線段AB的垂直平分線 .
【考點(diǎn)】N4：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖;KG：線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.
(2)根據(jù)正方形、長(zhǎng)方形的性質(zhì)對(duì)角線相等且互相平分，即可解決問(wèn)題.
【解答】解：(1)如圖所示，∠ABC=45°.(AB、AC是小長(zhǎng)方形的對(duì)角線).
(2)線段AB的垂直平分線如圖所示，
故答案為：點(diǎn)M是長(zhǎng)方形AFBE是對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)N是正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，直線MN就是所求的線段AB的垂直平分線.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用設(shè)計(jì)、正方形、長(zhǎng)方形、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.
三、解答題：本大題共7小題，共66分.
19.解不等式組 .
【考點(diǎn)】CB：解一元一次不等式組.
【分析】解先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可.
【解答】解：由①得：1﹣2x+2≤5
∴2x≥﹣2
即x≥﹣1
由②得：3x﹣2<2x+1
∴x<3.
∴原不等式組的解集為：﹣1≤x<3.
【點(diǎn)評(píng)】解不等式組應(yīng)遵循的原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.
20.某校開(kāi)展體育活動(dòng)中，根據(jù)學(xué)校的實(shí)際情況，決定主要開(kāi)設(shè)A：乒乓球;B：籃球;C：跑步;D：跳繩.這四種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目.為了解學(xué)生喜歡哪一種項(xiàng)目，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖甲、乙所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你結(jié)合圖中的信息解答下列問(wèn)題：
(1)樣本中喜歡B項(xiàng)目的人數(shù)百分比是 20% ，其所在扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角的度數(shù)是 72° ;
(2)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)已知該校有1000人，根據(jù)樣本估計(jì)全校喜歡乒乓球的人數(shù)是多少?
【考點(diǎn)】VC：條形統(tǒng)計(jì)圖;V5：用樣本估計(jì)總體;VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)利用1減去A、C、D所占百分比即可得到喜歡B項(xiàng)目的人數(shù)百分比;利用百分比乘以360°可得圓心角的度數(shù);
(2)首先計(jì)算出抽取的學(xué)生總數(shù)，再計(jì)算出喜歡B項(xiàng)目的人數(shù)，然后再補(bǔ)圖即可;
(3)利用1000乘以樣本中喜歡乒乓球的人數(shù)所占百分比即可.
【解答】解：(1)樣本中喜歡B項(xiàng)目的人數(shù)百分比=1﹣44%﹣8%﹣28%=20%;
其所在扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角的度數(shù)=360°×20%=72°;
故答案為20%，72°;
(2)所抽取的學(xué)生數(shù)=88÷44%=200，
所以喜歡B項(xiàng)目的人數(shù)=200×20%=40;
(3)1000×44%=440，所以估計(jì)全校喜歡乒乓球的人數(shù)為440人.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù);扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小.
21.(10分)(2015•安順)如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證：直線EF是⊙O的切線;
(2)求cos∠E的值.
【考點(diǎn)】MD：切線的判定;KQ：勾股定理.
【分析】(1)求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可;
(2)根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求cos∠CBG，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問(wèn)題.
【解答】(1)證明：如圖，
方法1：連接OD、CD.
∵BC是直徑，
∴CD⊥AB.
∵AC=BC.
∴D是AB的中點(diǎn).
∵O為CB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF.
∴EF是圓O的切線.
方法2：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°.
即∠EDO=90°，
∴OD⊥ED
∴EF是圓O的切線.
(2)解：連BG.
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°.
∴CD= =8.
∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG，
∴BG= = = .
∴CG= = .
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF.
∴∠E=∠CBG，
∴cos∠E=cos∠CBG= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.
22.(10分)(2017•河北區(qū)一模)如圖，某漁船航行至B處時(shí)，側(cè)得一海島位于B處的正北方向20(1+ )海里的C處，為了防止意外，漁船請(qǐng)求A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航，已知C位于A處的北偏東45°方向上，A位子B的北偏西300的方向上，求A，C之間的距離.
【考點(diǎn)】TB：解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題.
【分析】作AD⊥BC，設(shè)CD=x，根據(jù)正切的概念用x表示出AD、BD，根據(jù)題意列出方程，解方程即可.
【解答】解：作AD⊥BC，垂足為D，
由題意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，
設(shè)CD=x，
在Rt△ACD中，AD=CD=x，
在Rt△ABD中，可得BD= = x，
∵BC=20，
∴x+ x=20(1+ )，
解得：x=10，
∴AC=10 ，
答：A、C之間的距離為10 海里.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
23.(10分)(2016•南寧)在南寧市地鐵1號(hào)線某段工程建設(shè)中，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要150天，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天后增加乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，共完成總工程的 .
(1)求乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天?
(2)為了加快工程進(jìn)度，甲、乙兩隊(duì)各自提高工作效率，提高后乙隊(duì)的工作效率是 ，甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)的m倍(1≤m≤2)，若兩隊(duì)合作40天完成剩余的工程，請(qǐng)寫出a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出乙隊(duì)的最大工作效率是原來(lái)的幾倍?
【考點(diǎn)】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用;B7：分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，根據(jù)題意得方程即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)題意得( + )×40= ，即可得到a=60m+60，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到 = ，即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，
根據(jù)題意得 ×(30+15)+ ×15= ，
解得：x=450，
經(jīng)檢驗(yàn)x=450是方程的根，
答：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要450天;
(2)根據(jù)題意得( + )×40= ，
∴a=60m+60，
∵60>0，
∴a隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m=1時(shí)， 最大，
∴ = ，
∴ ÷ = 倍，
答：乙隊(duì)的最大工作效率是原來(lái)的 倍
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，能根據(jù)題意求得函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.
24.(10分)(2017•河北區(qū)一模)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0，3)，點(diǎn)B(﹣3，0)，點(diǎn)C(1，0)，點(diǎn)D(0，1)，連AB，AC，BD.
(Ⅰ)求證：BD⊥AC;
(Ⅱ)如圖②，將△BOD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到△B′OD′，當(dāng)點(diǎn)D′落在AC上時(shí)，求AB′的長(zhǎng);
(Ⅲ)試直接寫出(Ⅱ)中點(diǎn)B′的坐標(biāo).
【考點(diǎn)】KY：三角形綜合題.
【分析】(Ⅰ)延長(zhǎng)BD交AC于M，由SAS證明△AOC≌△BOD，得出對(duì)應(yīng)角相等，即可得出結(jié)論;
(Ⅱ)作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BOD=∠B′OD′=90°，OB=OB′，由矩形的性質(zhì)得出OF=AE，求出點(diǎn)B(﹣3，0)，得出OB=OA=OB′，證出AE=EB′，由勾股定理得出AC= = ，由三角形的面積求出OF= ，得出AB'=2AE=2OF= 即可;
(Ⅲ)由待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣3x+3，得出直線OE的解析式為y=﹣3x，直線AB'的解析式為y= x+3，解方程組 得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)B'(a，b)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出答案.
【解答】(Ⅰ)證明：延長(zhǎng)BD交AC于M，如圖①所示：
∵點(diǎn)A(0，3)，點(diǎn)B(﹣3，0)，點(diǎn)C(1，0)，點(diǎn)D(0，1)，
∴OA=OB=3，OC=OD=1，
在△AOC和△BOD中， ，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OBD+∠ACO=90°，
∴∠BMC=90°，
∴BD⊥AC;
(Ⅱ)解：作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，如圖②所示：
∵將△BOD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到△B′OD′，∠BOD=90°，
∴∠B′OD′=90°，OB=OB′，
∴四邊形OFAE是矩形，
∴OF=AE，
∵點(diǎn)A(0，3)，點(diǎn)B(﹣3，0)，
∴OB=OA=OB′，
∵OE⊥AB′，
∴AE=EB′，
由勾股定理得：AC= = ，
由三角形的面積得：AC•OF=OA•OC，
∴OF= = = ，
∴AB'=2AE=2OF= ;
(Ⅲ)解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意得： ，
解得： ，
∴直線AC的解析式為y=﹣3x+3，
∵OE∥AC，AB'⊥AC，
∴直線OE的解析式為y=﹣3x，直線AB'的解析式為y= x+3，
解方程組 得： ，
即E(﹣ ， )，
設(shè)B'(a，b)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得： =﹣ ， ，
解得：a=﹣ ，b= ，
∴B'(﹣ ， ).
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計(jì)算方法、一次函數(shù)解析式的求法、兩條直線的位置關(guān)系等知識(shí);本題綜合性強(qiáng)，有一定難度.
25.(10分)(2017•河北區(qū)一模)如圖，己知拋物線y=x2+bx+c圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)以(﹣1，0)，B(0，﹣3)，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.
(1)求這個(gè)拋物線的解析式：
(2)若拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)D，且△BCD為等腰三角形(CB≠CD)，試求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)Q也在直線BC上，且PQ= ，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)將(﹣1，0)，B(0，﹣3)代入拋物線的解析式可求得b、c的值;
(2)拋物線的對(duì)稱軸為x=1，然后再求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，a)，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別求得BD、BC、CD的長(zhǎng)，然后分為BD=BC和DC=DB兩種情況列方程求解即可;
(3)先求得∠MPN=45°，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得BC的解析式，當(dāng)t<0時(shí)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為N.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t﹣3)，則M的坐標(biāo)為(t，t2﹣2t﹣3)，則MP=t2﹣3t，然后依據(jù)MN=sin45°•MP可表示出MN的長(zhǎng)，最后依據(jù)三角形的面積公式可求得S與t的關(guān)系式，同理可求得點(diǎn)P在線段BC上和點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式.
【解答】解：(1)將(﹣1，0)，B(0，﹣3)，代入拋物線的解析式得： ，
解得：b=﹣2，c=﹣3.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
(2)拋物線的對(duì)稱性為x=﹣ =1，
令y=0得：x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，
∴C(3，0).
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，a).
當(dāng)BD=BC時(shí)，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：12+(a+3)2=32+32，解得：x=﹣3+ 或x=﹣3﹣ .
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，﹣3+ )，(1，﹣3﹣ ).
當(dāng)DC=DB時(shí)，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：22+a2=12+(a+3)2，解得：a=﹣1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，﹣1).
(3)∵OC=OB，∠COB=90°，
∴∠MPN=45°.
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線BC的解析式得： ，解得：k=1，b=﹣3.
∴直線BC的解析式為y=x﹣3.
如圖1所示：當(dāng)t<0時(shí)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為N.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t﹣3)，則M的坐標(biāo)為(t，t2﹣2t﹣3)，則MP=t2﹣2t﹣3﹣(t﹣3)=t2﹣3t.
∴MN=sin45°•MP= t2﹣ t.
∴△PQM的面積= PQ•MN= × ×( t2﹣ t)= t2﹣ t.
∴當(dāng)t<0時(shí)，S= t2﹣ t.
如圖所示：當(dāng)0
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t﹣3)，則M的坐標(biāo)為(t，t2﹣2t﹣3)，則MP=t﹣3﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t.
∴MN=sin45°•MP=﹣ t2+ t.
∴△PQM的面積= PQ•MN= × ×(﹣ t2+ t)=﹣ t2+ t.
∴當(dāng)0
如圖3所示，當(dāng)t>3時(shí)，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為C.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t﹣3)，則M的坐標(biāo)為(t，t2﹣2t﹣3)，則MP=t2﹣2t﹣3﹣(t﹣3)=t2﹣3t.
∴MN=sin45°•MP= t2﹣ t.
∴△PQM的面積= PQ•MN= × ×( t2﹣ t)= t2﹣ t.
∴當(dāng)t>3時(shí)，S= t2﹣ t.
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S= .
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.
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