等邊梯形判定方法
要判定某個(gè)梯形是不是等邊的，我們需要了解等邊梯形的判定方法。下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的等邊梯形判定方法，供大家參閱!
等邊梯形判定方法
1.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形(一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形)
2.兩腰相等的梯形是等腰梯形
3.同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
4.有一個(gè)內(nèi)角是直角的梯形是直角梯形
5.對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.
6.梯形的中位線等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底。
等邊梯形定義
是指一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形。平行的兩邊叫做梯形的底邊，其中長(zhǎng)邊叫下底，短邊叫上底;也可以單純的認(rèn)為上面的一條叫上底，下面一條叫下底。不平行的兩邊叫腰;夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，兩腰相等的梯形叫等腰梯形。
等邊梯形注意事項(xiàng)
梯形的底角可以指梯形中任意一個(gè)角。所以說(shuō)“底角相等的梯形是等腰梯形”是不對(duì)的。
等邊梯形輔助線
1.作高(無(wú)數(shù)條，根據(jù)實(shí)際題目確定)
2.平移一腰 3.平移對(duì)角線 4.延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn) 5.取一腰中點(diǎn)，另一腰兩端點(diǎn)連接并延長(zhǎng)。 6. 取兩底中點(diǎn)，過(guò)一底中點(diǎn)做兩腰的平行線。
等邊梯形周長(zhǎng)面積公式
面積
梯形的面積公式：(上底+下底)×高÷2 用字母表示：S=(a+b)×h÷2 變形1：h=2s÷(a+b) 變形2：a=2s÷h-b 變形3：b=2s÷h-a 另一計(jì)算公式： 中位線×高用字母表示：l·h對(duì)角線互相垂直的梯形：對(duì)角線×對(duì)角線÷2
周長(zhǎng)
梯形的周長(zhǎng)公式：上底+下底+腰+腰 用字母表示：a+b+c+d 等腰梯形的周長(zhǎng)公式：上底+下底+2腰 用字母表示：a+b+2c
等邊梯形性質(zhì)
1.等腰梯形的兩條腰相等。 2.等腰梯形在同一底上的兩個(gè)底角相等。 3.等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。 4.等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是上下底中點(diǎn)的連線所在直線。 5.等腰梯形(這個(gè)非等腰梯形同理)的中位線(兩腰中點(diǎn)相連的線叫做中位線)等于上下底和的二分之一。 6.直角梯形有兩個(gè)角是直角。 7.對(duì)角線互相垂直的梯形面積可用兩條對(duì)角線積的一半計(jì)算。 8.對(duì)角線互相垂直平分的梯形是等腰梯形 注意：在有些情況下，梯形的上下底以長(zhǎng)短區(qū)分，而不是按位置確定的，把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底。
等邊梯形例題解析
例1、如圖，△ABC中，AB=AC，BD、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線.求證：四邊形EBCD是等腰梯形。 分析：欲證四邊形EBCD是等腰梯形，解題思路是證ED//BC，BE=CD，由已知條件易證△BCD≌△CBE得到EB=DC，從而AE=AD，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可證ED//BC。 證明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠DBC=∠ECB=1/2∠ABC，
∴△EBC≌△DCB(ASA)， ∴BE=CD， ∴AB-BE=AC-CD，即AE=AD. ∴∠ABC=∠AED，∴ED//BC， 又∵EB與DC交于點(diǎn)A，即EB與DC不平行， ∴四邊形EBCD是梯形，又BE=DC， ∴四邊形EBCD是等腰梯形. 點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是證明ED//BC，EB=DC，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視證明EB與DC不平行. 例2、如圖，已知四邊形ABCD中，AB=DC，AC=DB，求證：四邊形ABCD是等腰梯形。 證明：過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC交BC邊于點(diǎn)E. ∵AB=CD，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB 又AE∥DC，∴∠AEB=∠DCB ∴∠ABC=∠AEB ，∴AB=AE，∴. ∴四邊形AECD是平行四邊形. ∴AD∥BC. 又AB=DC，且AD≠BC， ∴四邊形ABCD為等腰梯形. 點(diǎn)評(píng)： 判定一個(gè)任意四邊形為等腰梯形，如果不能直接運(yùn)用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通過(guò)作輔助線，將此四邊形分解為熟悉的多邊形，此例就是通過(guò)作平行線，將四邊形分解成為一個(gè)平行四邊形和一個(gè)等腰三角形. 例3、如圖，P為等腰梯形ABCD的下底BC上一點(diǎn)，PM⊥AB，PN⊥CD，M，N為垂足，BE⊥CD，E為垂足.求證：BE=PM+PN. 證明：過(guò)P點(diǎn)作PH⊥BE于點(diǎn)H. ∵BE⊥CD，PN⊥CD， ∴四邊形PHEN是矩形.
∴HE=PN，EN∥PH. ∴∠BPH=∠C. ∵四邊形ABCD為等腰梯形， ∴∠ABC=∠C. ∴∠MBP=∠HPB. 又PM⊥AB，BP公共， ∴Rt△MBP≌Rt△HPB. ∴PM=BH. ∴BE=BH+HE=PM+PN. 點(diǎn)評(píng)：要證線段的和差問(wèn)題，通?？梢钥紤]用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”來(lái)完成，本例采用的是“截長(zhǎng)法”. 例4、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB=AD+BC，M為DC的中點(diǎn).求證：AM⊥BM。 證明：延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.
∵M(jìn)為DC中點(diǎn)，AD∥BC， ∴△ADM≌△NCM. ∴AD=CN，AM=MN. ∴AB=AD+BC=BN. 由等腰三角形“三線合一”知，BM⊥AM. 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)證題的需要，集中梯形的兩底也是常用的添加輔助線的方法.本例也可以先延長(zhǎng)BC至N，使BN=AB，再證A、M、N共線. 例5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，求該梯形上下底的和. 解：過(guò)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. ∵AD∥CE，
∴DE=AC=5cm，AD=CE. ∵AC⊥BD， ∴DE⊥BD. 在Rt△BDE中， ∴AD+BC=CE+BC=BE=13cm. 點(diǎn)評(píng)：過(guò)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把兩條對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系集中到一個(gè)三角形中，將求梯形上下底的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊的長(zhǎng) 例6、如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面積是49cm2.求梯形的高。 解法1：如圖(甲)，過(guò)A作AE∥DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E?！ 逜C⊥BD，
∴AC⊥AE. ∵AD∥EB， ∴AE=BD，EB=AD. 又∵四邊形ABCD是等腰梯形， ∴AC=BD. ∴AE=AC. ∴△AEC是等腰直角三角形. 又AF是斜邊上的高，故AF也為斜邊上的中線. ∴AF=7cm 解法2： 設(shè)梯形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O點(diǎn)，過(guò)O作OH⊥BC于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HO交AD于G點(diǎn)(如圖(乙)). ∵AD∥BC， ∴HG⊥AD. ∵AB=DC，AC=DB，BC公共， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠2=∠1. 又∵AC⊥BD，∴△BOC是等腰直角三角形. ∴.同理. ∴. 以下解答過(guò)程與解法1相同. 解法3：過(guò)D作DM⊥BC于點(diǎn)M(如圖(丙)). ∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴AC=DB，∠ABC=∠DCB. 又∵AF=DM， ∴Rt△AFC≌Rt△DMB， ∴∠DBC=∠ACB. 又∵AC⊥BD， ∴∠DBM=∠ACF=45°. ∴△AFC和△DMB都是等腰直角三角形.AF=FC，DM=MB， ∴. 以下解答過(guò)程與解法1相同. 點(diǎn)評(píng)： 本題的三種解法都是利用等腰直角三角形的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來(lái)證明該梯形的高就等于該梯形的中位線的長(zhǎng).因此，在等腰梯形中，若兩條對(duì)角線垂直，則這個(gè)梯形的高就等于中位線的長(zhǎng)，梯形的面積就等于高的平方. 例7、如圖所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD上，且AE=GF=GC. (1)求證四邊形AEFG是平行四邊形; (2)當(dāng)∠FGC=2∠EFB時(shí)，求證四邊形AEFG是矩形. 分析：本題考查有關(guān)三角形、四邊形的綜合證明.涉及到等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等.在解答過(guò)程中要注意證明格式、推理方式的規(guī)范化. 證明：(1)∵在梯形ABCD中，AB=DC， ∴∠B=∠C. ∵GF=GC，∴∠C=∠GFC， ∴∠B=∠GFC ∴AB//GF，即AE//GF. 又∵AE=GF ∴四邊形AEFG是平行四邊形.
(2)過(guò)點(diǎn)G作GH⊥FC，垂足為H. ∵GF=GC， ∴∠FGH=1/2∠FGC. ∵∠FGC=2∠EFB ∴∠FGH=∠EFB. ∵∠FGH+∠GFH=90° ∴∠EFB+∠GFH=90° ∴∠EFG=90° ∵四邊形AEFG是平行四邊形， ∴四邊形AEFG是矩形.
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