八年級上冊數(shù)學(xué)第2章軸對稱圖形單元試卷
做八年級數(shù)學(xué)單元試卷題要認(rèn)真，檢查要仔細(xì)!下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家精心推薦的八年級上冊數(shù)學(xué)第2章軸對稱圖形單元試卷，希望能夠?qū)δ兴鶐椭?/p>
八年級上冊數(shù)學(xué)第2章軸對稱圖形單元試題
一、細(xì)心選一選
1.下列圖形是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，則下列四個結(jié)論：(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF;(4)EF垂直平分AD.其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.有一個等腰三角形的周長為13，其中一邊長為3，則這個等腰三角形的底邊長為( )
A.7 B.3 C.7或3 D.5
4.△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的點，∠BAD=∠DAE=∠EAC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.6個
5.如圖，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分別為A、B兩點，則∠MAB等于( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
6.下列語句中正確的有( )句
?、訇P(guān)于一條直線對稱的兩個圖形一定能重合;
?、趦蓚€能重合的圖形一定關(guān)于某條直線對稱;
③一個軸對稱圖形不一定只有一條對稱軸;
?、軆蓚€軸對稱圖形的對應(yīng)點一定在對稱軸的兩側(cè).
A.1 B.2 C.3 D.4
7.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在( )
A.△ABC 的三條中線的交點
B.△ABC 三邊的中垂線的交點
C.△ABC 三條角平分線的交點
D.△ABC 三條高所在直線的交點
8.如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點O在AC上，且AO=3，P是AB上一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，若使點D恰好落在BC上，則線段AP的長是( )
A.4 B.5 C.6 D.8
二、耐心填一填
9.請寫出4個是軸對稱圖形的漢字： .
10.若等腰三角形的一個外角為130°，則它的底角為 度.
11.小明從鏡子中看到對面電子鐘如圖所示，這時的時刻應(yīng)是 .
12.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=8cm，∠C=60°，則梯形ABCD的周長為 .
13.已知，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE垂直平分AB交AC于E.
(1)∠A=50°，則∠EBC= °;
(2)若BC=21cm，則△BCE的周長是 .
14.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么點D到線段AB的距離是 cm.
15.如圖，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF=90°，從而∠ACB=90°.設(shè)小方格的邊長為1，取AB的中點M，連接CM.則CM= ，理由是： .
16.如圖所示，已知O是∠APB內(nèi)的一點，點M，N分別是O點關(guān)于PA，PB的對稱點，MN與PA，PB分別相交于點E，F(xiàn)，已知MN=5cm，則△OEF的周長 cm.
17.一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，三角形頂角度數(shù) .
18.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C有 個.
三、動手作一作：
19.現(xiàn)有9個相同的小正三角形拼成的大正三角形，將其部分涂黑.如圖(1)，(2)所示.
觀察圖(1)，圖(2)中涂黑部分構(gòu)成的圖案.它們具有如下特征：①都是軸對稱圖形;②涂黑部分都是三個小正三角形.
請在圖(3)，圖(4)內(nèi)分別設(shè)計一個新圖案，使圖案具有上述兩個特征.
20.如圖：已知∠AOB和C、D兩點，求作一點P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等.
四.精心解一解
21.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.求證：∠DBC=∠DCB.
22.如圖梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度數(shù).
23.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF.
(1)求證：△ADE≌△BFE;
(2)連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由.
24.如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.試回答：
(1)圖中等腰三角形是 .猜想：EF與BE、CF之間的關(guān)系是 .理由：
(2)如圖②，若AB≠AC，圖中等腰三角形是 .在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.
八年級上冊數(shù)學(xué)第2章軸對稱圖形單元試卷參考答案
一、細(xì)心選一選
1.下列圖形是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.
如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，符合題意;
B、不是軸對稱圖形，不符合題意;
C、不是軸對稱圖形，不符合題意;
D、不是軸對稱圖形，不符合題意.
故選A.
【點評】掌握軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，則下列四個結(jié)論：(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF;(4)EF垂直平分AD.其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問題;綜合題.
【分析】利用等腰三角形的概念、性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)做題.
【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD垂直平分EF
∴(4)錯誤;
又∵AD所在直線是△ABC的對稱軸，
∴(1)∠DEF=∠DFE;(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF.
故選C.
【點評】有兩邊相等的三角形是等腰三角形;等腰三角形的兩個底角相等;(簡寫成“等邊對等角”)
等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合(簡寫成“三線合一”).
3.有一個等腰三角形的周長為13，其中一邊長為3，則這個等腰三角形的底邊長為( )
A.7 B.3 C.7或3 D.5
【考點】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【專題】分類討論.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可分2種情況對本題討論解答：①當(dāng)腰長為3時，②當(dāng)?shù)诪?時;結(jié)合題意，把不符合題意的去掉即可.
【解答】解：設(shè)等腰三角形的腰長為l，底長為a，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，S=2l+a;
?、佟?dāng)l=3時，可得，a=7;則3+3<7，即2l
②、當(dāng)a=3時，可得，l=5;則3+3>5，符合題意;
所以這個等腰三角形的底邊長為3.
故選B.
【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊性質(zhì)定理，涉及分類討論的思想方法.求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去.
4.△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的點，∠BAD=∠DAE=∠EAC，則圖中等腰三角形的個數(shù)是( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.6個
【考點】等腰三角形的判定.
【分析】由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°、角的平分線的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋，注意做到由易到難，不重不漏.
【解答】解：AB=AC，∠ABC=36°，
∴∠BAC=108，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°.
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6個.
故選D.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理;由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.
5.如圖，已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分別為A、B兩點，則∠MAB等于( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
【考點】角平分線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【分析】由角平分線的性質(zhì)可得MA=MB，再求解出∠MAB的大小，在△ABM中，則可求解∠MAB的值.
【解答】解：∵∠AOB=40°，且OM為其平分線，∴∠AOM=∠BOM=20°，
又MA⊥OA，MB⊥OB，∴MA=MB，∠AMO=∠BMO=70°，
∴∠AMB=140°，
∴∠MAB= (180°﹣∠AMB)= ×(180°﹣140°)=20°，故選D.
【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì);熟練掌握角平分線的性質(zhì)，能夠求解一些簡單的計算問題.
6.下列語句中正確的有( )句
①關(guān)于一條直線對稱的兩個圖形一定能重合;
?、趦蓚€能重合的圖形一定關(guān)于某條直線對稱;
③一個軸對稱圖形不一定只有一條對稱軸;
?、軆蓚€軸對稱圖形的對應(yīng)點一定在對稱軸的兩側(cè).
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】軸對稱的性質(zhì).
【分析】認(rèn)真閱讀4個小問題提供的已知條件，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對題中條件進(jìn)行一一分析，得到正確選項.
【解答】解：①關(guān)于一條直線對稱的兩個圖形一定能重合，正確;
?、趦蓚€能重合的圖形全等，但不一定關(guān)于某條直線對稱，錯誤;
③一個軸對稱圖形不一定只有一條對稱軸，正確;
?、軆蓚€軸對稱圖形的對應(yīng)點不一定在對稱軸的兩側(cè)，還可以在對稱軸上，錯誤.
故選B.
【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，找著每個問題的正誤的具體原因是正確解答本題的關(guān)鍵.
7.如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在( )
A.△ABC 的三條中線的交點
B.△ABC 三邊的中垂線的交點
C.△ABC 三條角平分線的交點
D.△ABC 三條高所在直線的交點
【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.
【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點到邊的距離相等，可知是△ABC三條角平分線的交點.由此即可確定涼亭位置.
【解答】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，
∴涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點.
故選C.
【點評】此題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.主要利用了到線段的兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
8.如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點O在AC上，且AO=3，P是AB上一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，若使點D恰好落在BC上，則線段AP的長是( )
A.4 B.5 C.6 D.8
【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，可得∠APO=∠COD，進(jìn)而可以證明△APO≌△COD，進(jìn)而可以證明AP=CO，即可解題.
【解答】解：∵∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，
∴∠APO=∠COD.
在△APO和△COD中，
，
∴△APO≌△COD(AAS)，
∴AP=CO，
∵CO=AC﹣AO=6，
∴AP=6.
故選C.
【點評】本題考查了等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，全等三角形的證明和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△APO≌△COD是解題的關(guān)鍵.
二、耐心填一填
9.請寫出4個是軸對稱圖形的漢字： 如中、日、土、甲等 .
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，以及漢字的特征求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形.這條直線叫做對稱軸.
【解答】解：答案不唯一，如中、日、土、甲等.
【點評】解答此題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的概念，以及漢字的特征.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.
10.若等腰三角形的一個外角為130°，則它的底角為 65°或50° 度.
【考點】等腰三角形的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【專題】計算題;分類討論.
【分析】根據(jù)已知可求得與這個外角相鄰的內(nèi)角，因為沒有指明這個內(nèi)角是頂角還是底角，所以分兩情況進(jìn)行分析，從而不難求得其底角的度數(shù).
【解答】解：∵等腰三角形的一個外角為130°，
∴與這個外角相鄰的角的度數(shù)為50°，
∴當(dāng)50°角是頂角時，其底角為65°;
當(dāng)50°角是底角時，底角為50°;
故答案為：65°或50°.
【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用.
11.小明從鏡子中看到對面電子鐘如圖所示，這時的時刻應(yīng)是 10：51 .
【考點】鏡面對稱.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】關(guān)于鏡子的像，實際數(shù)字與原來的數(shù)字關(guān)于豎直的線對稱，根據(jù)相應(yīng)數(shù)字的對稱性可得實際時間.
【解答】解：∵是從鏡子中看，
∴對稱軸為豎直方向的直線，
∵2的對稱數(shù)字是5，鏡子中數(shù)字的順序與實際數(shù)字順序相反，
∴這時的時刻應(yīng)是10：51.
故答案為：10：51.
【點評】考查鏡面對稱，得到相應(yīng)的對稱軸是解決本題的關(guān)鍵;若是豎直方向的對稱軸，數(shù)的順序正好相反，注意2的對稱數(shù)字為5.
12.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=8cm，∠C=60°，則梯形ABCD的周長為 40cm .
【考點】等腰梯形的性質(zhì).
【專題】探究型.
【分析】作DE∥AB交BC與點E.則四邊形ABED是平行四邊形，△DEC是等邊三角形，即可求得CD，BE的長度，從而求解.
【解答】解：作DE∥AB交BC與點E.
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴AB=AD=CD=DE=BE=8cm，
∵∠C=60°，
∴△DEC是等邊三角形.
∴EC=DC=AB=8cm.
∴梯形ABCD的周長=AD+AB+BC+CD=AB+AD+BE+EC+CD=8×5=40cm.
故答案為：40cm.
【點評】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，正確作出輔助線，把等腰梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形與等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵.
13.已知，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE垂直平分AB交AC于E.
(1)∠A=50°，則∠EBC= 15 °;
(2)若BC=21cm，則△BCE的周長是 53cm .
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【分析】(1)由DE垂直平分AB交AC于E，可得AE=BE，然后由等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠ABE的度數(shù)，又由AB=AC，∠ABC的度數(shù)，繼而求得答案;
(2)由AB=AC=32cm，BC=21cm，△BCE的周長=AC+BC，即可求得答案.
【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB交AC于E，
∴AE=BE，
∵∠A=50°，
∴∠ABE=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= =65°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°;
(2)∵AB=AC=32cm，BC=21cm，
∴△BCE的周長是：BC+BE+EC=BC+_AE+EC=BC+AC=21+32=53(cm).
故答案為：(1)15，(2)53cm.
【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
14.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么點D到線段AB的距離是 3 cm.
【考點】角平分線的性質(zhì).
【分析】求D點到線段AB的距離，由于D在∠BAC的平分線上，只要求出D到AC的距離CD即可，由已知可用BC減去BD可得答案.
【解答】解：CD=BC﹣BD，
=8cm﹣5cm=3cm，
∵∠C=90°，
∴D到AC的距離為CD=3cm，
∵AD平分∠CAB，
∴D點到線段AB的距離為3cm.
故答案為：3.
【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì);知道并利用CD是D點到線段AB的距離是正確解答本題的關(guān)鍵.
15.如圖，由Rt△CDE≌Rt△ACF，可得∠DCE+∠ACF=90°，從而∠ACB=90°.設(shè)小方格的邊長為1，取AB的中點M，連接CM.則CM= 5 ，理由是： 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 .
【考點】直角三角形斜邊上的中線.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】先根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)求出AB的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.
【解答】解：由圖可知，AB=10，
∵∠ACB=90°，M是AB的中點，
∴CM= AB= ×10=5(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半).
故答案為：5，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，讀懂題目信息并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
16.如圖所示，已知O是∠APB內(nèi)的一點，點M，N分別是O點關(guān)于PA，PB的對稱點，MN與PA，PB分別相交于點E，F(xiàn)，已知MN=5cm，則△OEF的周長 5 cm.
【考點】軸對稱的性質(zhì).
【分析】由O是∠APB內(nèi)的一點，點M，N分別是O點關(guān)于PA，PB的對稱點，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得OE=ME，OF=NF，繼而可得△OEF的周長=MN，則可求得答案.
【解答】解：∵O是∠APB內(nèi)的一點，點M，N分別是O點關(guān)于PA，PB的對稱點，
∴OE=ME，OF=NF，
∵M(jìn)N=5cm，
∴△OEF的周長為：OE+EF+OF=ME+EF+NF=MN=5(cm).
故答案為：5.
【點評】此題考查了軸對稱的性質(zhì).此題比較簡單，注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
17.一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，三角形頂角度數(shù) 45°或135° .
【考點】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為45°.另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數(shù)為135°.
【解答】解：①如圖，等腰三角形為銳角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠A=45°，
即頂角的度數(shù)為45°.
?、谌鐖D，等腰三角形為鈍角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠BAC=135°.
故答案為45°或135°.
【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).此題難度適中，解題的關(guān)鍵在于正確的畫出圖形，結(jié)合圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.
18.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C有 8 個.
【考點】等腰三角形的判定;勾股定理.
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊;②AB為等腰△ABC其中的一條腰.
【解答】解：如圖：分情況討論.
?、貯B為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點有4個;
②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個.
故答案為：8.
【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識來求解，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.
三、動手作一作：
19.現(xiàn)有9個相同的小正三角形拼成的大正三角形，將其部分涂黑.如圖(1)，(2)所示.
觀察圖(1)，圖(2)中涂黑部分構(gòu)成的圖案.它們具有如下特征：①都是軸對稱圖形;②涂黑部分都是三個小正三角形.
請在圖(3)，圖(4)內(nèi)分別設(shè)計一個新圖案，使圖案具有上述兩個特征.
【考點】利用軸對稱設(shè)計圖案.
【專題】壓軸題;開放型.
【分析】因為正三角形是軸對稱圖形，其對稱軸是從頂點向底邊所作垂線，故只要所涂得小正三角形關(guān)于大正三角形的中垂線對稱即可.
【解答】解：如圖 .
【點評】解答此題要明確：如果一個圖形沿著一條直線對折，直線兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形;對稱軸：折痕所在的這條直線叫做對稱軸.
20.如圖：已知∠AOB和C、D兩點，求作一點P，使PC=PD，且P到∠AOB兩邊的距離相等.
【考點】作圖—基本作圖.
【專題】作圖題.
【分析】(1)作出∠AOB的平分線，(2)作出CD的中垂線，(3)找到交點P即為所求.
【解答】解：
作CD的中垂線和∠AOB的平分線，兩線的交點即為所作的點P.
【點評】解答此題要明確兩點：(1)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等;(2)中垂線上的點到兩個端點的距離相等.
四.精心解一解
21.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC.求證：∠DBC=∠DCB.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】利用SAS證得△ACD≌△ABD，從而證得BD=CD，利用等邊對等角證得結(jié)論即可.
【解答】證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∴在△ACD和△ABD中
，
∴△ACD≌△ABD，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，特別是在應(yīng)用SAS進(jìn)行判定三角形全等時，主要A為兩邊的夾角.
22.如圖梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BD⊥CD，求∠C的度數(shù).
【考點】等腰梯形的性質(zhì).
【分析】由AB=AD=CD，可知∠ABD=∠ADB，又AD∥BC，可推得BD為∠B的平分線，而由題可知梯形ABCD為等腰梯形，則∠B=∠C，那么在RT△BDC中， ∠C+∠C=90°，可求得∠C=60°.
【解答】解：∵AB=AD=CD
∴∠ABD=∠ADB
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠DBC
∴BD為∠B的平分線
∵AD∥BC，AB=AD=CD
∴梯形ABCD為等腰梯形
∴∠B=∠C
∵BD⊥CD
∴ ∠C+∠C=90°
∴∠C=60°
【點評】先根據(jù)已知條件可知四邊形為等腰梯形，然后根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和已知條件求解.
23.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF.
(1)求證：△ADE≌△BFE;
(2)連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE;
(2)∠GDF=∠ADE，以及(1)得出的∠ADE=∠BFE，等量代換得到∠GDF=∠BFE，利用等角對等邊得到GF=GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由(1)得到DE=FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直.
【解答】(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，
∵E為AB的中點，∴AE=BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE(AAS);
(2)解：EG與DF的位置關(guān)系是EG垂直平分DF，
理由為：連接EG，
∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，
∴∠GDF=∠BFE，
由(1)△ADE≌△BFE得：DE=FE，即GE為DF上的中線，
∴GE垂直平分DF.
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
24.如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.試回答：
(1)圖中等腰三角形是 △AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC .猜想：EF與BE、CF之間的關(guān)系是 EF=BE+CF .理由：
(2)如圖②，若AB≠AC，圖中等腰三角形是 △EOB、△FOC .在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?
(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.
【考點】等腰三角形的判定.
【專題】探究型.
【分析】(1)由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB;又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB;故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB;根據(jù)EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO;由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC.
(2)由(1)的證明過程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中，與AB=AC的條件沒有關(guān)系，故這兩個等腰三角形還成立.所以(1)中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立.
(3)思路與(2)相同，只不過結(jié)果變成了EF=BE﹣FC.
【解答】解：(1)圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC.理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB;
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO;
即EO=EB，F(xiàn)O=FC;
∴EF=EO+OF=BE+CF.
(2)當(dāng)AB≠AC時，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，(1)的結(jié)論仍然成立.(證明過程同(1))
(3)△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE﹣FC.理由如下：
同(1)可證得△EOB是等腰三角形;
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG;
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形;
∴EF=EO﹣FO=BE﹣FC.
【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線、角平分線的性質(zhì)等知識.進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵.
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