2023高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)教案

時(shí)間：2022-10-18 18:22:39 燕純0由分享

　　以往的教師在把握教材是，大都是有什么教什么，不能夠靈活的使用教材。而今的數(shù)學(xué)教學(xué)要求把學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)帶到課堂，要求在簡(jiǎn)單的知識(shí)框架和結(jié)構(gòu)上創(chuàng)造性的使用教材，讓課堂變得有血有肉。接下來是小編為大家整理的2020高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)教案，希望大家喜歡!

　　2020高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)教案一

　　[教學(xué)目標(biāo)]

　　依據(jù)《新標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和本班學(xué)生實(shí)際情況，特確定如下目標(biāo)：

　　1、知識(shí)與能力目標(biāo)：理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單問題(求最值、證明不等式);培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

　　2、過程與方法目標(biāo)：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、不等式的證明)的過程呈現(xiàn)。啟動(dòng)觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索基本不等式性質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗(yàn)成功的樂趣。

　　3、情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動(dòng)手的良好品質(zhì)。

　　二、 [教學(xué)重點(diǎn)]

　　基本不等式的證明過程及應(yīng)用。

　　三、 [教學(xué)難點(diǎn)]

　　1、基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件(簡(jiǎn)稱一正、二定、三相等)的正確理解;

　　2、靈活利用基本不等式求解實(shí)際問題中的最大值和最小值。

　　四、 [教學(xué)方法]

　　本節(jié)課采啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件、幾何畫板作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。

　　[教學(xué)用具]

　　多媒體、幾何畫板

　　六、 [教學(xué)過程]

　　教學(xué)過程設(shè)計(jì)以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強(qiáng)調(diào)過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為學(xué)生對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

　　具體過程安排如下：

　　(一)、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題;

　　上圖是在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。

　　[問]你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?

　　利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式。

　　同時(shí)，(幾何畫板輔助教學(xué))通過幾何畫板演示，

　　讓學(xué)生更直觀的抽象、歸納出結(jié)論：

　　(二)、抽象歸納：

　　一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù) ，有，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。

　　[問] 你能給出它的證明嗎?

　　學(xué)生在黑板上板書。

　　特別地，當(dāng) 時(shí)，在不等式中，以、分別代替，得到什么?

　　答案：。

　　【歸納總結(jié)】

　　如果都是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。

　　我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)。

　　(三)、理解升華：

　　1、文字語言敘述：

　　兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

　　2、符號(hào)語言敘述：

　　若，則有，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，。

　　[問] 怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”?

　　3、探究基本不等式證明方法：

　　[問] 如何證明基本不等式?

　　方法一：作差比較或由展開證明。

　　方法二：分析法。

　　分析法，實(shí)際上是尋找結(jié)論的充分條件，執(zhí)果索因的一種思維方法.

　　4、探究基本不等式的幾何意義：

　　2020高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)教案二

　　【教學(xué)目標(biāo)】

　　1.知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等;

　　2.過程與方法：通過實(shí)例探究抽象基本不等式;

　　3.情態(tài)與價(jià)值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

　　【教學(xué)重點(diǎn)】

　　應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程;

　　【教學(xué)難點(diǎn)】

　　基本不等式等號(hào)成立條件

　　【教學(xué)過程】

　　1.課題導(dǎo)入

　　基本不等式的幾何背景：

　　如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?

　　教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系

　　2.講授新課

　　1.探究圖形中的不等關(guān)系

　　將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a，b那么正方形的邊長(zhǎng)為。這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：。

　　當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有。

　　2.得到結(jié)論：一般的，如果

　　3.思考證明：你能給出它的證明嗎?

　　證明：因?yàn)?/p>

　　當(dāng)

　　所以，，即

　　4.1)從幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識(shí)基本不等式

　　特別的，如果a>0，b>0，我們用分別代替a、b ，可得，

　　通常我們把上式寫作：

　　2)從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式

　　用分析法證明：

　　要證 (1)

　　只要證 a+b (2)

　　要證(2)，只要證 a+b- 0 (3)

　　要證(3)，只要證 ( - ) (4)

　　顯然，(4)是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，(4)中的等號(hào)成立。

　　3)理解基本不等式的幾何意義

　　探究：課本第98頁的“探究”

　　在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a，BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎?

　　易證Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，那么CD2=CA·CB

　　即CD= .

　　這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a=b時(shí)，等號(hào)成立.

　　因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”

　　評(píng)述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).

　　2.在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

　　例1 已知x、y都是正數(shù)，求證：

　　(1) ≥2;

　　(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

　　分析：在運(yùn)用定理：時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形.

　　解：∵x，y都是正數(shù) ∴ >0， >0，x2>0，y2>0，x3>0，y3>0

　　(1) =2即 ≥2.

　　(2)x+y≥2 >0 x2+y2≥2 >0 x3+y3≥2 >0

　　∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2 ·2 ·2 =8x3y3

　　即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

　　3.隨堂練習(xí)

　　1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證

　　(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

　　分析：對(duì)于此類題目，選擇定理： (a>0，b>0)靈活變形，可求得結(jié)果.

　　解：∵a，b，c都是正數(shù)

　　∴a+b≥2 >0

　　b+c≥2 >0

　　c+a≥2 >0

　　2020高中數(shù)學(xué)基本不等式教學(xué)教案三

　　一、教學(xué)目標(biāo)

　　知識(shí)與技能：

　　1.理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們之積的2倍的不等式的證明。

　　2.理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及幾何解釋。

　　過程與方法

　　本節(jié)的學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形倆方面深入的探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)?；静坏仁降淖C明要注重嚴(yán)密性，每一步都有理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力。

　　情感，態(tài)度與價(jià)值觀

　　培養(yǎng)學(xué)生舉一反三地邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力。引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式的三個(gè)限制條件(一正二定三相等)在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會(huì)方法與策略.

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程;

　　難點(diǎn)：理解“=”成立的充要條件.

　　三、教學(xué)過程：

　　1.動(dòng)手操作，幾何引入

　　如圖是2002年在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的，該圖給出了迄今為止對(duì)勾股定理最早、最簡(jiǎn)潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的.

　　探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?

　　在正方形中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為，

　　那么正方形的邊長(zhǎng)為 .于是，

　　4個(gè)直角三角形的面積之和，

　　正方形的面積 .

　　由圖可知，即 .

　　探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，再用這兩個(gè)三角形拼接構(gòu)造出一個(gè)矩形(兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余部分折疊).假設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為和 ( )，考察兩個(gè)直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)不等式嗎?

　　通過學(xué)生動(dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)：

　　2.代數(shù)證明，得出結(jié)論

　　根據(jù)上述兩個(gè)幾何背景，初步形成不等式結(jié)論：

　　若，則 .

　　學(xué)生探討等號(hào)取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動(dòng)畫，使學(xué)生直觀感受不等關(guān)系中的相等條件，從而進(jìn)一步完善不等式結(jié)論：

　　(1)若，則 ;(2)若，則

　　請(qǐng)同學(xué)們用代數(shù)方法給出這兩個(gè)不等式的證明.

　　證法一(作差法)：

　　，當(dāng) 時(shí)取等號(hào).

　　(在該過程中，可發(fā)現(xiàn) 的取值可以是全體實(shí)數(shù))

　　證法二(分析法)：由于，于是

　　要證明? ，只要證明? ，即證? ，