高中數(shù)學(xué)基本不等式教案設(shè)計(jì)
基本不等式是主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明的不等式。其表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)。接下來是小編為大家整理的高中數(shù)學(xué)基本不等式教案設(shè)計(jì)，希望大家喜歡!
高中數(shù)學(xué)基本不等式教案設(shè)計(jì)一
教材分析
本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。 要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，研究最值問題，此時(shí)基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R(shí)體系中起了承上啟下的作用，同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的好素材，所以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究。
教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí)，而且要自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動(dòng)，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。 通過本節(jié)學(xué)習(xí)體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。
課程目標(biāo)分析
依據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《不等式》學(xué)段的目標(biāo)要求和學(xué)生的實(shí)際情況，特確定如下目標(biāo)：
1、知識(shí)與能力目標(biāo)：理解掌握基本不等式，并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學(xué)會(huì)構(gòu)造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學(xué)生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標(biāo)：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用(最值的求法、實(shí)際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動(dòng)觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，通過運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索基本不等式性質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，體驗(yàn)成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題情境的設(shè)置，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界，從而培養(yǎng)學(xué)生善于思考、勤于動(dòng)手的良好品質(zhì)。
教學(xué)重、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式 的證明過程及應(yīng)用。
難點(diǎn)：1、基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件(簡稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實(shí)際問題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——?dú)w納——探究;啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實(shí)際問題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學(xué)輔助手段，加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解。
教學(xué)準(zhǔn)備
多媒體課件、板書
教學(xué)過程
教學(xué)過程設(shè)計(jì)以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強(qiáng)調(diào)過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)教學(xué)過程成為學(xué)生對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。
具體過程安排如下：
創(chuàng)設(shè)情景，提出問題;
設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教育必須基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，現(xiàn)實(shí)情境問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一就是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).基于此，設(shè)置如下情境：
上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式 。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式。
二、抽象歸納：
一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，有 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。
[問] 你能給出它的證明嗎?
學(xué)生在黑板上板書。
特別地，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，在不等式 中，以 、 分別代替a、b，得到什么?
設(shè)計(jì)依據(jù)：類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點(diǎn)和難點(diǎn)，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).
答案： 。
【歸納總結(jié)】
如果a，b都是正數(shù)，那么 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。
我們稱此不等式為基本不等式。 其中 稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)， 稱為a，b的幾何平均數(shù)。
三、理解升華：
1、文字語言敘述：
兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、聯(lián)想數(shù)列的知識(shí)理解基本不等式
已知a，b是正數(shù)，A是a，b的等差中項(xiàng)，G是a，b的正的等比中項(xiàng)，A與G有無確定的大小關(guān)系?
兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們正的等比中項(xiàng)。
3、符號(hào)語言敘述：
若 ，則有 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)， 。
[問] 怎樣理解“當(dāng)且僅當(dāng)”?(學(xué)生小組討論，交流看法，師生總結(jié))
“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立”的含義是：
高中數(shù)學(xué)基本不等式教案設(shè)計(jì)二
一、教材分析
1、本節(jié)教材的地位和作用
“基本不等式” 是必修5的重點(diǎn)內(nèi)容，在課本封面上就體現(xiàn)出來了(展示課本和參考書封面)。它是在學(xué)完“不等式的性質(zhì)”、“不等式的解法”及“線性規(guī)劃”的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究.在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應(yīng)用。求最值又是高考的熱點(diǎn)。同時(shí)本節(jié)知識(shí)又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。
2、 教學(xué)目標(biāo)
(1)知識(shí)目標(biāo)：探索基本不等式的證明過程;會(huì)用基本不等式解決最值問題。
(2)能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、試驗(yàn)、歸納、判斷、猜想等思維能力。?
(3)情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，體會(huì)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和勇于探索的精神。
3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)制定如下的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)： 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索基本不等式。
難點(diǎn)：基本不等式的內(nèi)涵及幾何意義的挖掘，用基本不等式求最值。
二、教法說明
本節(jié)課借助幾何畫板，使用多媒體輔助進(jìn)行直觀演示.采用啟發(fā)式教學(xué)法創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生開始嘗試活動(dòng).運(yùn)用生活中的實(shí)際例子，讓學(xué)生享受解決實(shí)際問題的樂趣. 課堂上主要采取對(duì)比分析;讓學(xué)生邊議、邊評(píng);組織學(xué)生學(xué)、思、練。通過師生和諧對(duì)話，使情感共鳴，讓學(xué)生的潛能、創(chuàng)造性最大限度發(fā)揮，使認(rèn)知效益最大。讓學(xué)生愛學(xué)、樂學(xué)、會(huì)學(xué)、學(xué)會(huì)。
三、學(xué)法指導(dǎo)
為更好的貫徹課改精神，合理的對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育，在教學(xué)中，始終以學(xué)生主體，教師為主導(dǎo).因此我在教學(xué)中讓學(xué)生從不同角度去觀察、分析，指導(dǎo)學(xué)生解決問題，感受知識(shí)的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。
四、教學(xué)設(shè)計(jì)
◆運(yùn)用2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)引入
◆運(yùn)用分析法證明基本不等式
◆不等式的幾何解釋
◆基本不等式的應(yīng)用
1、運(yùn)用2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)引入
如圖，這是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo).會(huì)標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。(展示風(fēng)車)
正方形ABCD中，AE⊥BE，BF⊥CF，CG⊥DG，DH⊥AH，設(shè)AE=a，BE=b，則正方形的面積為S=__，Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△CDG，Rt△ADH是全等三角形，它們的面積之和是S’=_
從圖形中易得，s≥s’，即
問題1：它們有相等的情況嗎?何時(shí)相等?
問題2：當(dāng) a，b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，上式還成立嗎?(學(xué)生積極思考，通過幾何畫板幫助學(xué)生理解)
一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有
當(dāng)且僅當(dāng)(重點(diǎn)強(qiáng)調(diào))a=b時(shí)，等號(hào)成立(合情推理)
問題3：你能給出它的證明嗎?(讓學(xué)生獨(dú)立證明)
設(shè)計(jì)意圖
(1)運(yùn)用2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)引入，能讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)中國數(shù)學(xué)的歷史悠久，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。
(2)運(yùn)用此圖標(biāo)能較容易的觀察出面積之間的關(guān)系，引入基本不等式很直觀。
(3)三個(gè)思考題為學(xué)生創(chuàng)造情景，逐層深入，強(qiáng)化理解.
2、運(yùn)用分析法證明基本不等式
如果 a>0，b>0 ，
用 和 分別代替a，b?？梢缘玫?/p>
也可寫成
(強(qiáng)調(diào)基本不等式成立的前提條件“正”)(演繹推理)
問題4：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)嗎?
要證 = 1 GB3 ①
只要證 = 2 GB3 ②
要證② ，只要證 = 3 GB3 ③
要證 = 3 GB3 ③ ，只要證 = 4 GB3 ④
顯然， ④是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)， 不等式中的等號(hào)成立.
(強(qiáng)調(diào)基本不等式取等的條件“等”)
設(shè)計(jì)意圖
(1)證明過程課本上是以填空形式出現(xiàn)的，學(xué)生能夠獨(dú)立完成，這也能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，符合課改精神;
(2)證明過程印證了不等式的正確性，并能加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解;
(3)此種證明方法是“分析法”，在選修教材的《推理與證明》一章中會(huì)重點(diǎn)講解，此處有必要讓學(xué)生初步了解。
3、不等式的幾何解釋
如圖，AB是圓的直徑，C是AB上任一點(diǎn)，AC=a，CB=b，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連AD，BD，則CD= ，半徑為
問題5： 你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? (學(xué)生積極思考，通過幾何畫板幫助學(xué)生理解)
設(shè)計(jì)意圖
幾何直觀能啟迪思路，幫助理解，因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。
4、基本不等式的應(yīng)用
例1.證明
(學(xué)生自己證明)
設(shè)計(jì)意圖
(1)這道例題很簡單，多數(shù)學(xué)生都會(huì)仿照課本上的分析思路重新證明，能夠練習(xí)“分析法”證明不等式的過程;
(2)學(xué)生能夠加深對(duì)基本不等式的理解，a和b不僅僅是一個(gè)字母，而是一個(gè)符號(hào)，它們可以是a、b，也可以是x、y，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式;
(3)此例不是課本例題，比課本例題簡單，這樣，循序漸進(jìn)， 有利于學(xué)生理解不等式的內(nèi)涵。
例2：(1)把36寫成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最小?
(2)把18寫成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最大?
(讓學(xué)生分組合作、探究完成)
高中數(shù)學(xué)基本不等式教案設(shè)計(jì)三
課標(biāo)要求
知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等;
過程與方法：通過實(shí)例探究抽象基本不等式;
情感目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣; 識(shí)記 理解 應(yīng)用 綜合 知識(shí)點(diǎn)一：
基本不等式及其推導(dǎo)
過程 ∨ 知識(shí)點(diǎn)二：
基本不等式的應(yīng)用 ∨ 目標(biāo)設(shè)計(jì) 1.通過從不同角度探索不等式 的證明過程，使學(xué)生理解基本不等式及其等號(hào)成立的條件;
2.掌握基本不等式解決最值問題，并理解運(yùn)用基本不等式 的三個(gè)限制條件(一正二定三相等)在解決最值中的作用。 教學(xué)情境一：
如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，
會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，
顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。
問題1：你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?
分析：將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a，b那么正方形的邊長為 。
教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。
我們考慮4個(gè)直角三角形的面積的和是 ，正方形的面積為 。
由圖可知 ，即 .
當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有 。
新知：若 ，則
教學(xué)情境二：
先將兩張正方形紙片沿它們的對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，
再用這兩個(gè)三角形拼接構(gòu)造出一個(gè)矩形
(兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余部分折疊).
假設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為 和 ( )
問題2：考察左圖中兩個(gè)直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)不等式嗎?
新知：若 ，則
問題3：你能用代數(shù)的方法給出它們的證明嗎?
證明：因?yàn)?，即 (當(dāng) 時(shí)取等號(hào))
(在該過程中，可發(fā)現(xiàn) 的取值可以是全體實(shí)數(shù))
證明：(分析法)：由于 ，于是要證明 ，
只要證明 ，
即證 ，即 ，
所以 ，(當(dāng) 時(shí)取等號(hào))
【板書】兩個(gè)重要不等式
若 ，則 (當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立)
若 ，則 (當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立)
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