高考文科數(shù)學(xué)一模試卷及答案(2)
高考文科數(shù)學(xué)一模試卷解答題
解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟
17.(12分)(2013•天心區(qū)校級二模)已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c， ，且c=3.
(1)求角C;
(2)若向量 與 共線，求a、b的值.
【考點(diǎn)】： 余弦定理;三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值;正弦定理.
【專題】： 計(jì)算題.
【分析】： (1)利用二倍角公式及輔助角公式對已知化簡可得sin(2C﹣30°)=1，結(jié)合C的范圍可求C
(2)由(1)C，可得A+B，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示可得sinB﹣2sinA=0，利用兩角差的正弦公式化簡可求
【解析】： 解：(1)∵ ，
∴
∴sin(2C﹣30°)=1
∵0°
∴C=60°
(2)由(1)可得A+B=120°
∵ 與 共線，
∴sinB﹣2sinA=0
∴sin(120°﹣A)=2sinA
整理可得， 即tanA=
∴A=30°，B=90°
∵c=3.
∴a= ，b=2
【點(diǎn)評】： 本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式及兩角和的正弦公式、銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
18.(12分)如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD= AB=2，點(diǎn)E為AC中點(diǎn).將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示.
(1)在CD上找一點(diǎn)F，使AD∥平面EFB;
(2)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.
【考點(diǎn)】： 點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算;直線與平面平行的判定.
【專題】： 空間位置關(guān)系與距離.
【分析】： (1)取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，在△ACD中，可證AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD⊄平面EFB，可證AD∥平面EFB.
(2)設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h，由于可證AD⊥BD，可得 ，又三棱錐B﹣ACD的高BC=2 ，S△ACD=2，由 = 即可解得點(diǎn)C到平面ABD的距離.
【解析】： (1)取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，
在△ACD中，∵E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)，
∴EF為△ACD的中位線
∴AD∥EF，
EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB
∴AD∥平面EFB.
(2)設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h，
∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ADC，
∴BC⊥AD，而AD⊥DC•
∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•
∴ •
∴三棱錐B﹣ACD的高BC=2 ，S△ACD=2，
∴ =
∴可解得：h=2.
【點(diǎn)評】： 本題主要考查了直線與平面平行的判定，考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.
19.(12分)(2010•鯉城區(qū)校級二模)某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：
日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日
晝夜溫差x(℃) 10 11 13 12 8 6
就診人數(shù)y(人) 22 25 29 26 16 12
該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(Ⅰ)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率;
(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a;
(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想?
【考點(diǎn)】： 回歸分析的初步應(yīng)用;等可能事件的概率.
【專題】： 計(jì)算題;方案型.
【分析】： (Ⅰ)本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C62種情況，滿足條件的事件是抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)的情況有5種，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果.
(Ⅱ)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出x，y的平均數(shù)，根據(jù)求線性回歸方程系數(shù)的方法，求出系數(shù)b，把b和x，y的平均數(shù)，代入求a的公式，做出a的值，寫出線性回歸方程.
(Ⅲ)根據(jù)所求的線性回歸方程，預(yù)報(bào)當(dāng)自變量為10和6時(shí)的y的值，把預(yù)報(bào)的值同原來表中所給的10和6對應(yīng)的值做差，差的絕對值不超過2，得到線性回歸方程理想.
【解析】： 解：(Ⅰ)由題意知本題是一個(gè)古典概型，
設(shè)抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)為事件A
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C62=15種情況，
每種情況都是等可能出現(xiàn)的其中，
滿足條件的事件是抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)的情況有5種
∴
(Ⅱ)由數(shù)據(jù)求得 ，
由公式求得b=
再由 求得a=﹣
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為
(Ⅲ)當(dāng)x=10時(shí)，y= ，| |= <2
∴該小組所得線性回歸方程是理想的.
【點(diǎn)評】： 本題考查線性回歸方程的求法，考查等可能事件的概率，考查線性分析的應(yīng)用，考查解決實(shí)際問題的能力，是一個(gè)綜合題目，這種題目可以作為解答題出現(xiàn)在高考卷中.
20.(12分)(2015•邢臺模擬)已知A(﹣2，0)，B(2，0)為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于A，B的動點(diǎn)，△APB面積的最大值為2 .
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線AP的傾斜角為 ，且與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明.
【考點(diǎn)】： 直線與圓錐曲線的綜合問題.
【專題】： 圓錐曲線中的最值與范圍問題.
【分析】： (Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓C的方程為 (a>b>0)，F(xiàn)(c，0).由題意知 ，解得即可得出.
(II)以BD為直徑的圓與直線PF相切.由題意可知，c=1，F(xiàn)(1，0)，直線AP的方程為y=﹣x﹣2.則點(diǎn)D坐標(biāo)為(2，﹣4)，BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，﹣2)，圓的半徑r=2.直線AP的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得7x2+16x+4=0.可得點(diǎn)P的坐標(biāo).可得直線PF的方程為：4x﹣3y﹣4=0.利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)E到直線PF的距離d.只要證明d=r.
【解析】： 解：(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓C的方程為 (a>b>0)，F(xiàn)(c，0).
由題意知 ，解得 .
故橢圓C的方程為 .
(Ⅱ)以BD為直徑的圓與直線PF相切.
證明如下：由題意可知，c=1，F(xiàn)(1，0)，直線AP的方程為y=﹣x﹣2.
則點(diǎn)D坐標(biāo)為(2，﹣4)，BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，﹣2)，圓的半徑r=2.
由 得7x2+16x+4=0.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則 .
∵點(diǎn)F坐標(biāo)為(1，0)，直線PF的斜率為 ，直線PF的方程為：4x﹣3y﹣4=0.
點(diǎn)E到直線PF的距離d= =2.
∴d=r.
故以BD為直徑的圓與直線PF相切.
【點(diǎn)評】： 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)、直線與圓相切的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.
21.(12分)(2012•武漢模擬)設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=lnx﹣ax.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)已知x1= (e為自然對數(shù)的底數(shù))和x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的值并證明：x2> .
【考點(diǎn)】： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
【專題】： 計(jì)算題.
【分析】： (I)先求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，并確定函數(shù)的定義域，再解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，即可分別求得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，進(jìn)而利用極值定義求得函數(shù)的極值，由于導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)a，故為解不等式的需要，需討論a的正負(fù);
(II)將x1= 代入函數(shù)f(x)，即可得a的值，再利用(I)中的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，證明函數(shù)的另一個(gè)零點(diǎn)x2是在區(qū)間( ， )上，即可證明結(jié)論
【解析】： 解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞).
求導(dǎo)數(shù)，得f′(x)= ﹣a= .
?、偃鬭≤0，則f′(x)>0，f(x)是(0，+∞)上的增函數(shù)，無極值;
?、谌鬭>0，令f′(x)=0，得x= .
當(dāng)x∈(0， )時(shí)，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈( ，+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù).
∴當(dāng)x= 時(shí)，f(x)有極大值，極大值為f( )=ln ﹣1=﹣lna﹣1.
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(0，+∞)，無極值;當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(0， )，遞減區(qū)間為( ，+∞)，極大值為﹣lna﹣1
(Ⅱ)∵x1= 是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，
∴f ( )=0，即 ﹣a =0，解得a= = .
∴f(x)=lnx﹣ x.
∵f( )= ﹣ >0，f( )= ﹣ <0，∴f( )•f( )<0.
由(Ⅰ)知，函數(shù)f(x)在(2 ，+∞)上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間( ， )上有唯一零點(diǎn)，
因此x2> .
【點(diǎn)評】： 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)極值中的應(yīng)用，連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其應(yīng)用，分類討論的思想方法，屬中檔題
三.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑，按所涂題號進(jìn)行評分;多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評分;不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評分.[選修4-1：幾何證明選講]
22.(10分)(2014•葫蘆島二模)如圖，圓O的直徑AB=10，P是AB延長線上一點(diǎn)，BP=2，割線PCD交圓O于點(diǎn)C，D，過點(diǎn)P做AP的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F.
(1)求證：∠PEC=∠PDF;
(2)求PE•PF的值.
【考點(diǎn)】： 與圓有關(guān)的比例線段.
【專題】： 選作題;立體幾何.
【分析】： (1)證明P、B、C、E四點(diǎn)共圓、A、B、C、D四點(diǎn)共圓，利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，即可證明：∠PEC=∠PDF;
(2)證明D，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，利用割線定理，即可求得PE•PF的值.
【解析】： (1)證明：連結(jié)BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=∠APE=90°，
∴P、B、C、E四點(diǎn)共圓.
∴∠PEC=∠CBA.
又∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠CBA=∠PDF，
∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣(5分)
(2)解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四點(diǎn)共圓.
∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24.﹣﹣﹣﹣(10分)
【點(diǎn)評】： 本題考查圓的性質(zhì)，考查四點(diǎn)共圓的判定，考查割線的性質(zhì)，屬于中檔題.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
23.(2012•洛陽模擬)已知直線l： (t為參數(shù))，曲線C1： (θ為參數(shù)).
(Ⅰ)設(shè)l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|;
(Ⅱ)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的 倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的 倍，得到曲線C2，設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個(gè)動點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值.
【考點(diǎn)】： 圓的參數(shù)方程;函數(shù)的圖象與圖象變化;直線與圓相交的性質(zhì);直線的參數(shù)方程.
【專題】： 計(jì)算題.
【分析】： (I)將直線l中的x與y代入到直線C1中，即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出|AB|.
(II)將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C2任意點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值即可.
【解析】： 解：(I)l的普通方程為y= (x﹣1)，C1的普通方程為x2+y2=1，
聯(lián)立方程組 ，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為A(1，0)，B( ，﹣ )
所以|AB|= =1;
(II)曲線C2： (θ為參數(shù)).
設(shè)所求的點(diǎn)為P( cosθ， sinθ)，
則P到直線l的距離d= = [ sin( )+2]
當(dāng)sin( )=﹣1時(shí)，d取得最小值 .
【點(diǎn)評】： 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設(shè)出所求P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出d，進(jìn)而利用三角函數(shù)來解決問題是解本題的思路.
[選修4-5;不等式選講]
24.(2012•包頭一模)選修4﹣5;不等式選講.
設(shè)不等式|2x﹣1|<1的解集是M，a，b∈M.
(I)試比較ab+1與a+b的大小;
(II)設(shè)max表示數(shù)集A的最大數(shù).h=max ，求證：h≥2.
【考點(diǎn)】： 平均值不等式;不等式比較大小;絕對值不等式的解法.
【專題】： 壓軸題;不等式的解法及應(yīng)用.
【分析】： (I)解絕對值不等式求出M=( 0，1)，可得 0
(II)由題意可得 h≥ ，h≥ ，h≥ ，可得 h3≥ = ≥8，從而證得 h≥2.
【解析】： 解：(I)由不等式|2x﹣1|<1 可得﹣1<2x﹣1<1，解得 0
由 a，b∈M，可得 0
∴(ab+1)﹣(a+b)=(a﹣1)(b﹣1)>0，
∴(ab+1)>(a+b).
(II)設(shè)max表示數(shù)集A的最大數(shù)，∵h(yuǎn)=max ，
∴h≥ ，h≥ ，h≥ ，
∴h3≥ = ≥8，故 h≥2.
【點(diǎn)評】： 本題主要考查絕對值不等式的解法，不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.
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