山西省高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案(2)
山西省高考數(shù)學(xué)一模試卷答案
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1.設(shè)U=R，A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，則A∩∁UB=( )
A.{1，2} B.{﹣1，0，1，2} C.{﹣3，﹣2，﹣1，0} D.{2}
【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.
【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義，寫出∁UB與A∩∁UB即可.
【解答】解：因?yàn)槿疷=R，集合B={x|x≥1}，
所以∁UB={x|x<1}=(﹣∞，1)，
且集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，
所以A∩∁UB={﹣3，﹣2，﹣1，0}
故選：C
【點(diǎn)評】本題考查了集合的定義與計算問題，是基礎(chǔ)題目.
2.在復(fù)平面中，復(fù)數(shù) +i4對應(yīng)的點(diǎn)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出.
【解答】解：復(fù)數(shù) +i4= +1= +1= ﹣ i對應(yīng)的點(diǎn)( ，﹣ )在第四象限.
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力 與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
3.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a、b、c，則“sinA>sinB”是“a>b”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】在三角形中，結(jié)合正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.
【解答】解：在三角形中，若a>b，由正弦定理 = ，得sinA>sinB.
若sinA>sinB，則正弦定理 = ，得a>b，
則“sinA>sinB”是“a>b”的充要條件.
故選：C
【點(diǎn)評】本題主要考查了充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用正弦定理確定邊角關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵..
4.若sin(π﹣α)= ，且 ≤α≤π，則sin2α的值為( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【考點(diǎn)】二倍角的正弦.
【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可求sinα，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，進(jìn)而利用二倍角正弦函數(shù)公式即可計算得解.
【解答】解：∵sin(π﹣α)= ，
∴sinα= ，
又∵ ≤α≤π，
∴cosα=﹣ =﹣ ，
∴sin2α=2sinαcosα=2× (﹣ )=﹣ .
故選：A.
【點(diǎn)評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.
5.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出K的值為( )
A.98 B.99 C.100 D.101
【考點(diǎn)】程序框圖.
【分析】模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的K，S的值，觀察規(guī)律，可得當(dāng)K=99，S=2，滿足條件S≥2，退出循環(huán)，輸出K的值為99，從而得解.
【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得
K=1，S=0
S=lg2
不滿足條件S≥2，執(zhí)行循環(huán)體，K=2，S=lg2+lg =lg3
不滿足條件S≥2，執(zhí)行循環(huán)體，K=3，S=lg3+lg =lg4
…
觀察規(guī)律，可得：
不滿足條件S≥2，執(zhí)行循環(huán)體，K=99，S=lg99+lg =lg100=2
滿足條件S≥2，退出循環(huán)，輸出K的值為99.
故選：B.
【點(diǎn)評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確判斷退出循環(huán)的條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
6.李冶(1192﹣1279)，真定欒城(今屬河北石家莊市)人，金元時期的數(shù)學(xué)家、詩人、晚年在封龍山隱居講學(xué)，數(shù)學(xué)著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑，正方形的邊長等，其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是(注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計算)( )
A.10步、50步 B.20步、60步 C.30步、70步 D.40步、80步
【考點(diǎn)】三角形中的幾何計算.
【分析】根據(jù)水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，即方田面積減去水池面積為13.75畝，方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，設(shè)圓池直徑為m，方田邊長為40步+m.從而建立關(guān)系求解即可.
【解答】解：由題意，設(shè)圓池直徑為m，方田邊長為40步+m.
方田面積減去水池面積為13.75畝，
∴(40+m)2﹣ =13.75×240.
解得：m=20.
即圓池直徑20步
那么：方田邊長為40步+20步=60步.
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查了對題意的理解和關(guān)系式的建立.讀懂題意是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A.16 B.20 C.52 D.60
【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.
【分析】由三視圖得到幾何體為三棱柱與三棱錐的組合體，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算體積即可.
【解答】解：由題意，幾何體為三棱柱與三棱錐的組合體，如圖
體積為 =20;
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查了由幾何體的三視圖求幾何體的體積;關(guān)鍵是正確還原幾何體，利用三視圖的數(shù)據(jù)求體積.
8.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+ )，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)y=2f(x)+f′(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.[ ， ] B.[﹣ ， ] C.[﹣ ， ] D.[﹣ ， ]
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;正弦函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的求解函數(shù)單調(diào)減區(qū)間.
【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(2x+ )，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，
則函數(shù)y=2f(x)+f′(x)=2sin(2x+ )+2cos(2x+ )
= sin(2x+ + )=2 sin(2x+ )，
由2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
可得：kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
所以函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間為：[ ， ].
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡以及單調(diào)區(qū)間的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
9.若a=2 (x+|x|)dx，則在 的展開式中，x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項共有( )
A.13項 B.14項 C.15項 D.16項
【考點(diǎn)】二項式系數(shù)的性質(zhì).
【分析】a=2 (x+|x|)dx= +2 =18.再利用通項公式即可得出.
【解答】解：a=2 (x+|x|)dx= +2 =18.
則在 的通項公式：Tr+1= =(﹣1)r .(r=0，1，2，…，18).
只有r=0，6，12，18時x的冪指數(shù)是整數(shù)，因此x的冪指數(shù)不是整數(shù)的項共有19﹣4=15.
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查了二項式定理的通項公式、微積分基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
10.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組 (r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z= 的最小值為( )
A.﹣1 B.﹣ C. D.﹣
【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.
【分析】由約束條件作出可行域，由z= =1+ ，而 的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)P(﹣3，2)連線的斜率.結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求得答案.
【解答】解：∵不等式組 (r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π，
∴圓x2+y2=r2的面積為4π，則r=2.
由約束條件作出可行域如圖，
z= =1+ ，
而 的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)P(﹣3，2)連線的斜率.
設(shè)過P的圓的切線的斜率為k，則切線方程為y﹣2=k(x+3)，即kx﹣y+3k+2=0.
由 ，解得k=0或k=﹣ .
∴z= 的最小值為1﹣ .
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.
11.已知雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，AF2、BF2分別交y軸于P、Q兩點(diǎn)，若△PQF2的周長為12，則ab取得最大值時該雙曲線的離心率為( )
A. B. C.2 D.
【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì).
【分析】由題意，△ABF2的周長為24，利用雙曲線的定義，可得 =24﹣4a，進(jìn)而轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可得出結(jié)論.
【解答】解：由題意，△ABF2的周長為24，
∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24，
∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|= ，
∴ =24﹣4a，∴b2=a(6﹣a)，
∴y=a2b2=a3(6﹣a)，∴y′=2a2(9﹣2a)，
00，a>4.5，y′>0，
∴a=4.5時，y=a2b2取得最大值，此時ab取得最大值，b= ，
∴c=3 ，
∴e= = ，
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的定義，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，知識綜合性強(qiáng).
12.已知函數(shù)f(x)=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若f(1)=0，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f′(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍是( )
A.(e2﹣3，e2+1) B.(e2﹣3，+∞) C.(﹣∞，2e2+2) D.(2e2﹣6，2e2+2)
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.
【分析】利用f(1)=0得出a，b的關(guān)系，根據(jù)f′(x)=0有兩解可知y=2e2x與y=2ax+a+1﹣e2的函數(shù)圖象在(0，1)上有兩個交點(diǎn)，做出兩函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷a的范圍.
【解答】解：∵f(1)=0，∴e2﹣a﹣b﹣1=0，即b=e2﹣a﹣1，
∴f(x)=e2x﹣ax2+(e2﹣a﹣1)x﹣1，
∴f′(x)=2e2x﹣2ax+e2﹣a﹣1，
令f′(x)=0得2e2x=2ax+a+1﹣e2，
∵函數(shù)f′(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有兩個零點(diǎn)，
∴y=2e2x與y=2ax+a+1﹣e2的函數(shù)圖象在(0，1)上有兩個交點(diǎn)，
作出y=2e2x與y=2ax+a+1﹣e2的函數(shù)圖象，如圖所示：
當(dāng)a+1﹣e2≥2即a≥e2+1時，直線y=2ax與y=2e2x最多只有1個交點(diǎn)，不符合題意;
∴a+1﹣e2<2，即a
排除B，C，D.
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想，分類說討論思想，中檔題.
二、填空題(本小題共4小題，每小題5分，共20分)
13.設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x2017的方差是4，若yi=2xi﹣1(i=1，2，…，2017)，則y1，y2，…y2017的方差為 16 .
【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差.
【分析】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，x2017的平均數(shù)為 ，由方差公式可得 = [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+(x3﹣ )2+…+(x2017﹣ )2]=4，進(jìn)而對于數(shù)據(jù)yi=2xi﹣1，可以求出其平均數(shù)，進(jìn)而由方差公式計算可得答案.
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x2017的平均數(shù)為 ，
又由其方差為4，則有 = [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+(x3﹣ )2+…+(x2017﹣ )2]=4，
對于數(shù)據(jù)yi=2xi﹣1(i=1，2，…，2017)，
其平均數(shù) =(y1+y2+…+y2017)=[(2x1﹣1)+(2x2﹣1)+…+(2x2017﹣1)]=2 ﹣1，
其方差 = [(y1﹣ )2+(y2﹣ )2+(y3﹣ )2+…+(y2017﹣ )2]
= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+(x3﹣ )2+…+(x2017﹣ )2]=16，
故答案為：16.
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)據(jù)的方差計算，關(guān)鍵是掌握方差的計算公式.
14.在平面內(nèi)將點(diǎn)A(2，1)繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn) ，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (﹣ ， ) .
【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù).
【分析】AC⊥x軸于C點(diǎn)，BD⊥x軸于D點(diǎn)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)得到AC，OC，可求sin∠AOC，cos∠AOC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BOC=∠AOC+ ，OA=OB，利用兩角和的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)公式即可得到B點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解：如圖，作AC⊥x軸于C點(diǎn)，BD⊥x軸于D點(diǎn)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，
∴AC=1，OC=2，
∴OA= = ，
∴sin∠AOC= ，cos∠AOC= ，
∵OA繞原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 得OB，
∴∠AOB= ，OA=OB= ，
∴∠BOC=∠AOC+ ，
∴sin∠BOC=sin(∠AOC+ )=sin∠AOCcos +cos∠AOCsin = ×(﹣ )+ × = ，
cos∠BOC=cos(∠AOC+ )=cos∠AOCcos ﹣sin∠AOCsin = ×(﹣ )﹣ × =﹣ ，
∴DB=OBsin∠BOC= × = ，OD=OBcos∠BOC= ×(﹣ )=﹣ ，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：(﹣ ， ).
故答案為：(﹣ ， ).
【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：把點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形旋轉(zhuǎn)的問題，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo).也考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.
15.設(shè)二面角α﹣CD﹣β的大小為45°，A點(diǎn)在平面α內(nèi)，B點(diǎn)在CD上，且∠ABC=45°，則AB與平面β所成角的大小為 30° .
【考點(diǎn)】直線與平面所成的角.
【分析】先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后找出AB與面β的所成角，在直角三角形ABD中進(jìn)行求解即可.
【解答】解：根據(jù)題意先畫出圖形作AD⊥β交面β于D，
由題意可知∠ABC=45°，∠ACD=45°，
設(shè)AD=1，則CD=1，AC= ，BC= ，AB=2，
而AD=1，三角形ABD為直角三角形，
∴∠ABD=30°.
故答案為：30°.
【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與平面所成角的度量，解題的關(guān)鍵是通過題意畫出相應(yīng)的圖形，屬于中檔題.
16.非零向量 ， 的夾角為 ，且滿足| |=λ| |(λ>0)，向量組 ， ， 由一個 和兩個 排列而成，向量組 ， ， 由兩個 和一個 排列而成，若 • + • + • 所有可能值中的最小值為4 2，則λ= .
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;數(shù)量積表示兩個向量的夾角.
【分析】列出向量組的所有排列，計算所有可能的值，根據(jù)最小值列出不等式組解出.
【解答】解： =| |×λ| |×cos = 2， =λ2 2，
向量組 ， ， 共有3種情況，即( ， ， )，( )，( )，
向量組 ， ， 共有3種情況，即( )，( )，( ， )，
∴ • + • + • 所有可能值有2種情況，即 + + =(λ2+λ+1) ，3 = ，
∵ • + • + • 所有可能值中的最小值為4 2，
∴ 或 .
解得λ= .
故答案為 .
【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.
三、解答題(本題共6題，70分)
17.(12分)(2017•晉中一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+2=14(m≥2，且m∈N*).
(1)求m的值;
(2)若數(shù)列{bn}滿足 =logabn(n∈N*)，求數(shù)列{(an+6)•bn}的前n項和.
【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;等差數(shù)列的性質(zhì).
【分析】(1)計算am，am+1+am+2，利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算公差d，再代入求和公式計算m;
(2)求出an，bn，得出數(shù)列{(an+6)•bn}的通項公式，利用錯位相減法計算.
【解答】解：(1)∵Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+2=14，
∴am=Sm﹣Sm﹣1=4，am+1+am+2=Sm+2﹣Sm=14.
設(shè){an}的公差為d，則2am+3d=14，∴d=2.
∵Sm= =0，∴a1=﹣am=﹣4.
∴am=a1+(m﹣1)d=﹣4+2(m﹣1)=4，
∴m=5.
(2)由(1)可得an=﹣4+2(n﹣1)=2n﹣6.
∵ =logabn，即n﹣3=logabn，
∴bn=an﹣3，
∴(an+6)•bn=2n•an﹣3，
設(shè)數(shù)列{(an+6)•bn}的前n項和為Tn，
則Tn=2•a﹣2+4•a﹣1+6•a0+8•a+…+2n•an﹣3，①
∴aTn=2•a﹣1+4•a0+6•a+8•a2+…+2n•an﹣2，②
?、侃仮诘茫?/p>
(1﹣a)Tn=2a﹣2+2a﹣1+2a0+2a+…+2an﹣3﹣2n•an﹣2，
= ﹣2n•an﹣2
= ﹣ ，
∴Tn= ﹣ .
【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，屬于中檔題.
18.(12分)(2017•石家莊二模)如圖，三棱柱ABC﹣DEF中，側(cè)面ABED是邊長為2的菱形，且∠ABE= ，BC= ，四棱錐F﹣ABED的體積為2，點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G，且G在AE上，點(diǎn)M是在線段CF上，且CM= CF.
(Ⅰ)證明：直線GM∥平面DEF;
(Ⅱ)求二面角M﹣AB﹣F的余弦值.
【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)由四棱錐錐F﹣ABED的體積為2求出FG，進(jìn)一步求得EG，可得點(diǎn)G是靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn).過點(diǎn)G作GK∥AD交DE于點(diǎn)K，可得GK= .又MF= ，得到MF=GK且MF∥GK.則四邊形MFKG為平行四邊形，從而得到GM∥FK，進(jìn)一步得到直線GM∥平面DEF;
(Ⅱ)設(shè)AE、BD的交點(diǎn)為O，OB所在直線為x軸，OE所在直線為y軸，點(diǎn)O作平面ABED的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABM，ABF的法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值.
【解答】(Ⅰ)證明：∵四棱錐錐F﹣ABED的體積為2，
即VF﹣ABCD= ，∴FG= .
又BC=EF= ，∴EG= ，即點(diǎn)G是靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn).
過點(diǎn)G作GK∥AD交DE于點(diǎn)K，∴GK= .
又MF= ，∴MF=GK且MF∥GK.
四邊形MFKG為平行四邊形，
∴GM∥FK，
∴直線GM∥平面DEF;
(Ⅱ)設(shè)AE、BD的交點(diǎn)為O，OB所在直線為x軸，OE所在直線為y軸，
過點(diǎn)O作平面ABED的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
A(0，﹣1，0)，B( ，0，0)，F(xiàn)(0，﹣ ， )，M( ).
， ， .
設(shè)平面ABM，ABF的法向量分別為 ， .
由 ，則 ，取y=﹣ ，得 ，
同理求得 .
∴cos< >= ，
∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值為 .
【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題.
19.(12分)(2017•石家莊二模)交強(qiáng)險是車主必須為機(jī)動車購買的險種.若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實(shí)行的是費(fèi)率浮動機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動情況如表：
交強(qiáng)險浮動因素和浮動費(fèi)率比率表
浮動因素 浮動比率
A1 上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮10%
A2 上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮20%
A3 上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮30%
A4 上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 0%
A5 上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 上浮10%
A6 上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 上浮30%
某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：
類型 A1 A2 A3 A4 A5 A6
數(shù)量 10 5 5 20 15 5
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：
(Ⅰ)按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險條例》汽車交強(qiáng)險價格的規(guī)定a=950.記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值;(數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字)
(Ⅱ)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車.假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：
?、偃粼撲N售商購進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差;離散型隨機(jī)變量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a.由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知其概率及其分布列.
(II)①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為 ，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P= + .
?、谠O(shè)Y為該銷售商購進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為﹣5000，10000.即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望.
【解答】解：(Ⅰ)由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a.…(2分)
由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知：
P(X=0.9a)= ，P(X=0.8a)= ，P(X=0.7a)= ，P(X=a)= ，P(X=1.1a)= ，
P(X=1.3a)= .
所以X的分布列為：
X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3a
P
…(4分)
所以EX=0.9a× +0.8a× +0.7a× +a× +1.1a× +1.3a× = = ≈942.
(Ⅱ) ①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為 ，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P= + = .…(8分)
?、谠O(shè)Y為該銷售商購進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為﹣5000，10000.
所以Y的分布列為：
Y ﹣5000 10000
P
所以EY=﹣5000× +10000× =5000.…(10分)
所以該銷售商一次購進(jìn)100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為100EY=50萬元.…(12分)
【點(diǎn)評】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、相互獨(dú)立與互斥事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
20.(12分)(2017•石家莊二模)設(shè)M、N、T是橢圓 + =1上三個點(diǎn)，M、N在直線x=8上的攝影分別為M1、N1.
(Ⅰ)若直線MN過原點(diǎn)O，直線MT、NT斜率分別為k1，k2，求證k1k2為定值.
(Ⅱ)若M、N不是橢圓長軸的端點(diǎn)，點(diǎn)L坐標(biāo)為(3，0)，△M1N1L與△MNL面積之比為5，求MN中點(diǎn)K的軌跡方程.
【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】(Ⅰ)設(shè)M(p，q)，N(﹣p，﹣q)，T(x0，y0)，則h1h2= ，
又 即可得h1h2
(Ⅱ)設(shè)直線MN與x軸相交于點(diǎn)R(r，0)，根據(jù)面積之比得r
即直線MN經(jīng)過點(diǎn)F(2，0).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)
分①當(dāng)直線MN垂直于x軸時，②當(dāng)直線MN與x軸不垂直時，設(shè)MN的方程為y=k(x﹣2)
x0= . 消去k，整理得(x0﹣1)2+ =1(y0≠0).
【解答】解：(Ⅰ)設(shè)M(p，q)，N(﹣p，﹣q)，T(x0，y0)，則h1h2= ，…(2分)
又 兩式相減得 ，
即h1h2= =﹣ ，…(…
(Ⅱ)設(shè)直線MN與x軸相交于點(diǎn)R(r，0)，s△MNL= ×|r﹣3|•|yM﹣yN|
= | .
由于△M1N1L與△MNL面積之比為5且|yM﹣yN|=| ，得
=5 ，r=4(舍去)或r=2.…(8分)
即直線MN經(jīng)過點(diǎn)F(2，0).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)
?、佼?dāng)直線MN垂直于x軸時，弦MN中點(diǎn)為F(2，0);…(9分)
?、诋?dāng)直線MN與x軸不垂直時，設(shè)MN的方程為y=k(x﹣2)，則
聯(lián)立 .⇒(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣48=0
.…(10分)
x0= .
消去k，整理得(x0﹣1)2+ =1(y0≠0).
綜上所述，點(diǎn)K的軌跡方程為(x﹣1)2+ =1(x>0).…(12分)
【點(diǎn)評】本題考查了軌跡方程的求法，及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.
21.(12分)(2017•石家莊二模)已知函數(shù)f(x)=mln(x+1)，g(x)= (x>﹣1).
(Ⅰ)討論函數(shù)F(x)=f(x)﹣g(x)在(﹣1，+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線，試求實(shí)數(shù)m的值.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】(Ⅰ)求得F(x)的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)m≤0時，當(dāng)m>0時，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域;
(Ⅱ)分別求出f(x)，g(x)在切點(diǎn)處的斜率和切線方程，化為斜截式，可得y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線等價為 = (1)，mln(a+1)﹣ = (2)，有唯一一對(a，b)滿足這個方程組，且m>0，消去a，得到b的方程，構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，得到最值，即可得到a=b=0，公切線方程為y=x.
【解答】解：(Ⅰ)F′(x)=f′(x)﹣g′(x)
= ﹣ = (x>﹣1)，
當(dāng)m≤0時，F(xiàn)′(x)<0，函數(shù)F(x)在(﹣1，+∞)上單調(diào)遞減;…(2分)
當(dāng)m>0時，令F′(x)<0，可得x<﹣1+ ，函數(shù)F(x)在(﹣1，﹣1+ )上單調(diào)遞減;
F′(x)>0，可得>﹣1+ ，函數(shù)F(x)在(﹣1+ ，+∞)上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)m≤0時，F(xiàn)(x)的減區(qū)間是(﹣1，+∞);
當(dāng)m>0時，F(xiàn)(x)的減區(qū)間是(﹣1，﹣1+ )，
增區(qū)間是(﹣1+ ，+∞)…(4分)
(Ⅱ)函數(shù)f(x)=mln(x+1)在點(diǎn)(a，mln(a+1))處的切線方程為y﹣mln(a+1)= (x﹣a)，
即y= x+mln(a+1)﹣ ，
函數(shù)g(x)= 在點(diǎn)(b， )處的切線方程為y﹣ = (x﹣b)，
即y= x+ .
y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一條公切線
所以 = (1)，mln(a+1)﹣ = (2)，
有唯一一對(a，b)滿足這個方程組，且m>0…(6分)
由(1)得：a+1=m(b+1)2代入(2)消去a，整理得：
2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1=0，關(guān)于b(b>﹣1)的方程有唯一解…(8分)
令t(b)=2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1，
t′(b)= ﹣ = ，
方程組有解時，m>0，所以t(b)在(﹣1，﹣1+ )單調(diào)遞減，在(﹣1+ ，+∞)上單調(diào)遞增.
所以t(b)min=t((﹣1+ )=m﹣mlnm﹣1.
由b→+∞，t(b)→+∞;b→﹣1，t(b)→+∞，
只需m﹣mlnm﹣1=0…(10分)
令u(m)=m﹣mlnm﹣1，u′(m)=﹣lnm在m>0為單減函數(shù)，
且m=1時，u′(m)=0，即u(m)min=u(1)=0，
所以m=1時，關(guān)于b的方程2mln(b+1)+ +mlnm﹣m﹣1=0有唯一解.
此時a=b=0，公切線方程為y=x…(12分)
【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性、極值和最值，考查分類討論和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講]
22.(10分)(2017•石家莊二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 (a>0，β為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程ρcos(θ﹣ )= .
(Ⅰ)若曲線C與l只有一個公共點(diǎn)，求a的值;
(Ⅱ)A，B為曲線C上的兩點(diǎn)，且∠AOB= ，求△OAB的面積最大值.
【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程;簡單曲線的極坐標(biāo)方程.
【分析】(Ⅰ)根據(jù)sin2β+cos2β=1消去β為參數(shù)可得曲線C的普通方程，根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，直線l的極坐標(biāo)方程化為普通方程，曲線C與l只有一個公共點(diǎn)，即圓心到直線的距離等于半徑，可得a的值.
(Ⅱ)利用極坐標(biāo)方程的幾何意義求解即可.
【解答】(Ⅰ)曲線C是以(a，0)為圓心，以a為半徑的圓;
直線l的直角坐標(biāo)方程為
由直線l與圓C只有一個公共點(diǎn)，則可得
解得：a=﹣3(舍)或a=1
所以：a=1.
(Ⅱ)由題意，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ(a>0)
設(shè)A的極角為θ，B的極角為
則： = =
∵cos =
所以當(dāng) 時， 取得最大值
∴△OAB的面積最大值為 .
解法二：因?yàn)榍€C是以(a，0)為圓心，以a為半徑的圓，且
由正弦定理得： ，所以|AB=
由余弦定理得：|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB|
則： ≤ × = .
∴△OAB的面積最大值為 .
【點(diǎn)評】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，以及應(yīng)用，屬于中檔題
[選修4-5：不等式選講]
23.(2017•晉中一模)設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值為m.
(1)作出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值.
【考點(diǎn)】絕對值三角不等式.
【分析】(1)分類討論，作出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)求出函數(shù)的值域，即可求m的值，利用基本不等式求ab+2bc的最大值.
【解答】解：(1)當(dāng)x≤﹣ 時，f(x)=(1﹣x)+2x+1=x+2;
當(dāng)﹣
當(dāng)x≥1時，f(x)=(x﹣1)﹣2x﹣1=﹣x﹣2，
函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示
;
(2)由題意，當(dāng)x=﹣ 時，f(x)取得最大值m=1.5，∴a2+2c2+3b2=1.5，
∴ab+2bc≤ (a2+2c2+3b2)= ，即ab+2bc的最大值為 .
【點(diǎn)評】本題考查絕對值不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.
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