高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末理科試卷
高中數(shù)學(xué)的理論性、抽象性強(qiáng)，就需要在對知識的理解上下功夫，要多思考，多研究，今天小編就給大家分享了高二數(shù)學(xué)，希望大家來參考哦
有關(guān)于高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.【答案】A
【解析】試題分析：因?yàn)?，所以 ， .
2、【答案】C
3.【答案】D
【解析】因 ,故將其代入 ,可得 ..
4.【答案】D
【解析】試題分析：∵ξ服從正態(tài)分布 ∴曲線的對稱軸是直線x=2，∵ξ在(0，2)內(nèi)取值的概率為0.4，∴ξ在(2，+∞)內(nèi)取值的概率為0.5，∴ξ在(0，+∞)內(nèi)取值的概率為0.5+0.4=0.9故答案為：D.
5.【答案】 B
【解析】由(x+12x)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Crn•xn-r•(2x)-r=Crn•2-r•xn-2r，前三項(xiàng)的系數(shù)為20•C0n，2-1•C1n，2-2•C2n.由它們成等差數(shù)列，得n=8或n=1(舍去).由展開式，令8-2r=4，得r=2，所以x4項(xiàng)的系數(shù)為C28•2-2=7.
6.【答案】B
【解析】由已知易得：S長方形=4×2=8， S陰影=∫04( )dx= | = ，
故質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率P= = ;
7、【答案】：B
【解析】∫ba1dt=b-a，∫ab1dx=a-b，故①錯(cuò);由于y=x2是偶函數(shù)，其中在[-1,0]上的積分結(jié)果等于其在[0,1]上的積分結(jié)果，故②對;對于③有S=2∫π0sin xdx=4，故③錯(cuò).
8、【答案】B
【解析】當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)，
所以，增乘的式子為2k+12k+2k+1=2(2k+1).
9. 【答案】D
【解析】:由于f(x)= x2+cosx，得f′(x)= x﹣sinx，由奇函數(shù)的定義得函數(shù)f′(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除AC，取x= 代入f′( )= ﹣sin = ﹣1<0，排除B，只有D適合.
10、【答案】 C
【解析】 從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中每次取出兩個(gè)不同數(shù)的排列個(gè)數(shù)為A25=20，但lg 1-lg 3=lg 3-lg 9，lg 3-lg 1=lg 9-lg 3，所以不同值的個(gè)數(shù)為20-2=18，
11、【答案】 A
【解析】 P(B)=1-P(B)=1-563，P(A∩B)=C25A3363=518，
所以P(A|B)=PA∩BPB=6091.
12.【答案】B
【解析】設(shè) ，則 ，故函數(shù) 是區(qū)間 上的單調(diào)遞減函數(shù)，又 ; ，則函數(shù) 是奇函數(shù)，所以函數(shù) 是區(qū)間 上的單調(diào)遞減函數(shù);由題設(shè)中 可得： ，所以問題轉(zhuǎn)化為 在 上有解，即 在 上有解，令 ，則 ，故 在 上答單調(diào)遞增，則 。
二、填空題(本大題共4小題;每小題5分，共20分.把答案填在題橫線上)
13.【答案】480
【解析】
14.【答案】8
【解析】試題分析：設(shè)三條側(cè)棱長為a，b，c，則 ，三棱錐的側(cè)面積為 ，又因?yàn)?，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)側(cè)面積達(dá)到最大值.
15、【答案】-65
【解析】 令x=0，得a0=1;令x=1，得a0+a1+a2+…+a11=-64;
∴a1+a2+…+a11=-65.
16.【答案】①③
【解析】由正態(tài)分布曲線得 ，①正確;令 ，得 ，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，得 ，且 時(shí)，g(x)<0,故g(x)的圖象如圖所示
函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤;由回歸直線方程的定義知③正確;④由于 為真命題， 為假命題，④錯(cuò)誤，故答案為①③.
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17、解 (1)∵P(-1，2)，直線的傾斜角α=2π3.
∴直線的參數(shù)方程為x=-1+tcos2π3，y=2+tsin2π3(t為參數(shù))，
即x=-1-12t，y=2+32t(t為參數(shù)).…………2分
∵ρ=212cosθ-32sinθ=cosθ-3sinθ，∴ρ2=ρcosθ-3ρsinθ.
∴x2+y2-x+3y=0，…………5分
(2)將直線的參數(shù)方程代入得t2+(3+23)t+6+23=0 ………8分
∴t1t2=6+23，…………9分
即|PM|•|PN|=|t1t2|=6+23. …………10分
18、解 (1)f(x)=-2x+4，x<-1，6，-1≤x≤5，2x-4，x>5.…………2分
當(dāng)x<-1時(shí)，-2x+4≤x+10， x≥-2， 則-2≤x<-1;…………3分
當(dāng)-1≤x≤5時(shí)，6≤x+10，x≥-4，則-1≤x≤5;…………4分
當(dāng)x>5時(shí)，2x-4≤x+10，x≤14，則5
綜上可得，不等式f(x)≤x+10的解集為[-2,14].…………6分
(2)設(shè)g(x)=a-(x-2)2，由函數(shù)f(x)的圖象與g(x)的圖象可知：………8分
f(x)在x∈[-1,5]上取最小值為6，………9分
g(x)在x=2時(shí)取最大值為a，………10分
若f(x)≥g(x)恒成立，則a≤6.………12分
19、解：(Ⅰ)直方圖中，因?yàn)樯砀咴?70 ~175cm的男生的頻率為 ，
設(shè)男生數(shù)為 ，則 ，得 .………………………………………3分
由男生的人數(shù)為40，得女生的人數(shù)為80-40=40.
(Ⅱ)男生身高 的人數(shù) ，女生身高 的人數(shù) ，所以可得到下列列聯(lián)表：
≥170cm <170cm 總計(jì)
男生身高 30 10 40
女生身高 4 36 40
總計(jì) 34 46 80
……………………………………………………………………………………6分
，………………………………7分
所以能有99.9%的把握認(rèn)為身高與性別有關(guān);…………………………………8分
(Ⅲ)在170～175cm之間的男生有16人，女生人數(shù)有 人.
按分層抽樣的方法抽出5人，則男生占4人，女生占1人. …………………9分
從5人任選3名有: ,共10種可能，…………………………10分
3人中恰好有一名女生有: 共6種可能，…………11分
故所求概率為 .…………12分
220、解：(1)f1(x)=x1+x2(x>0)，f2(x)=x1+x21+x21+x2=x1+2x2，…………2分
f3(x)=x1+2x21+x21+2x2=x1+2x2+x2=x1+3x2.…………4分
(2) 猜想fn(x)=x1+nx2，…………5分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
?、佼?dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立.…………6分
?、诩僭O(shè)當(dāng)n=k時(shí)，fk(x)=x1+kx2，…………7分
那么fk+1(x)=x1+kx21+x21+kx2=x1+kx2+x2= .…………10分
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.…………11分
由①②，可知fn(x)=x1+nx2對所有n∈N+均成立.…………12分
21.試題解析：(1)由題意知基本事件數(shù)為 ,
而滿足條件 ，即取出的元素不相鄰，
則用插空法，有 種可能，
故所求事件的概率 .•••••••••••••••••••5分
(2)分析 成等差數(shù)列的情況;
的情況有8種: ， ， ， ， ， ， ;
的情況有6種: ;
的情況有4種：
的情況有2種:. ............................9分
故隨機(jī)變量 的分布列如下：
1 2 3 4
P
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••10分
因此, .••••••••••••••••••••12分
22.解：(1) ………………1分
由 ，故
時(shí) 由 得 的單調(diào)增區(qū)間是 ，
由 得 單調(diào)減區(qū)間是
同理 時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間 ， ，單調(diào)減區(qū)間為 …………4分
(2)①由(1)及 …………5分
又由 有 知 的零點(diǎn)在 內(nèi)，設(shè) ，則 ，結(jié)合(i)解得 ， ………7分
∴ ………………8分
?、谟衷O(shè) ，先求 與 軸在 的交點(diǎn)
∵ ， 由 得
故 ， 在 單調(diào)遞增 ………………10分
又 ，故 與 軸有唯一交點(diǎn)
即 與 的圖象在區(qū)間 上的唯一交點(diǎn)坐標(biāo)為 為所求 …………12分
高二數(shù)學(xué)理科下學(xué)期期末試題
參考公式：方差
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
1.設(shè) 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ，則 的模 ▲ .
2.一根木棍長為5米，若將其任意鋸為兩段，則鋸成的兩段木棍的長度都大于2米的概率為 ▲ .
3.命題“若 ，則復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)”的逆命題是 ▲ 命題.(填“真”或“假”)
4.已知一組數(shù)據(jù)為2，3，4，5，6，則這組數(shù)據(jù)的方差為 ▲ .
5.將一顆骰子拋擲兩次，用 表示向上點(diǎn)數(shù)之和，則 的概率為 ▲ .
6.用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取1個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級抽20人，高三年級抽10人.已知該校高二年級共有學(xué)生300人，則該校學(xué)生總數(shù)為 ▲ .
7.函數(shù) 在點(diǎn) 處切線方程為 ，則 = ▲ .
8.若 的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 ▲ .
9.根據(jù)如圖所示的偽代碼可知,輸出的結(jié)果為 ▲ .
10.若 ，
則 = ▲ .
11.已知 ∈R，設(shè)命題P： ;
命題Q：函數(shù) 只有一個(gè)零點(diǎn).
則使“P Q”為假命題的實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ▲ .
12.有編號分別為1，2，3，4，5的5個(gè)黑色小球和編號分別為1，2，3，4，5的5個(gè)白色小球，若選取的4個(gè)小球中既有1號球又有白色小球，則有 ▲ 種不同的選法.
13.觀察下列等式：
請你歸納出一般性結(jié)論 ▲ .
14.乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是 ,甲贏得比賽的概率是 ,則 的最大值為 ▲ .
二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分。請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.(本小題滿分14分)
在平面直角坐標(biāo)系 中，以 為極點(diǎn)， 為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程是 ，直線 的參數(shù)方程是 ( 為參數(shù)).求直線 被曲線 截得的弦長.
16.(本小題滿分14分)
在棱長為 的正方體 中，O是AC的中點(diǎn)，E是線段D1O上一點(diǎn)，且D1E=λEO.
(1)若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;
(2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.
17.(本小題滿分14分)
已知 ，
(1)求 的值;
(2)若 且 ，求 的值;
(3)求證： .
18.(本小題滿分16分)
某拋擲骰子游戲中，規(guī)定游戲者可以有三次機(jī)會拋擲一顆骰子，若游戲者在前兩次拋擲中至少成功一次才可以進(jìn)行第三次拋擲，其中拋擲骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戲規(guī)則如下：拋擲1枚骰子，第1次拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則記為成功，第2次拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)則記為成功，第3次拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)為6則記為成功.用隨機(jī)變量 表示該游戲者所得分?jǐn)?shù).
(1)求該游戲者有機(jī)會拋擲第3次骰子的概率;
(2)求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
19.(本小題滿分16分)
已知函數(shù)
(1)若 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(2)若 在 處有極值10，求 的值;
(3)若對任意的 ，有 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
20.(本小題滿分16分)
把圓分成 個(gè)扇形，設(shè)用4種顏色給這些扇形染色，每個(gè)扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設(shè)共有 種方法.
(1)寫出 ， 的值;
(2)猜想 ，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。
參考答案
一、填空題
1. 2. . 3. 真 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12.
13. 14.
二、解答題
15.曲線 的直角坐標(biāo)方程是 …………4分
直線 的普通方程是 …………………8分
圓心 到直線 的距離 ……………………11分
弦長為 …………………………………………14分
16.解(1以 為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .
則A(1，0，0)， ， ，D1(0，0，1)，
E ，
于是 ， .
由cos = = .
所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為 . ………6分
(2)設(shè)平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m• =0，m• =0
得 取x1=1，得y1=z1=1，即m=(1，1，1) . ………8分
由D1E=λEO，則E ， = .10分
又設(shè)平面CDE的法向量為n=(x2，y2，z2)，由n• =0，n• =0.
得 取x2=2，得z2=-λ，即n=(-2，0，λ) .12分
因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面CD1F，所以m•n=0，得λ=2. ……14分
17(1)令 ，則 =0，又
所以 ………………………………………………………………4分
(2)由 ，解得 ，所以 ………………9分
(3)
………………………………………………………………14分
18.⑴該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為 、 、 ，該游戲者有機(jī)會拋擲第3次骰子為事件 .
則 ;
答：該游戲者有機(jī)會拋擲第3次骰子的概率為 ………………………………6分
(2)由題意可知， 的可能取值為 、 、 、 、 ，
， ，
，
，
，
所以 的分布列為
………………………………………………14分
所以 的數(shù)學(xué)期望 …………………16分
19解：(1) f'(x)=3x2+2mx，由f(x)在區(qū)間[1，+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)得，
當(dāng)x≥1時(shí)，3x2+2mx≥0恒成立，即m≥-32x恒成立，
解得m≥-32;………………………………4分
(2) ，由題 或
當(dāng) 時(shí)， ， 無極值，舍去.
所以 …………………………8分(沒有舍扣2分)
(3)由對任意的x1，x2∈[-1，1]，有| f(x1)-f(x2)|≤2恒成立，得fmax(x)-fmin(x)≤2.
且| f(1)-f(0)|≤2，| f(-1)-f(0)|≤2，解得m∈[-1，1]，…………10分
?、佼?dāng)m=0時(shí)，f'(x)≥0，f(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增，
fmax(x)-fmin(x)= | f(1)-f(-1)|≤2成立.……………………………11分
②當(dāng)m∈(0，1]時(shí)，令f'(x)<0，得x∈(-23m，0)，則f(x)在(-23m，0)上單調(diào)遞減;
同理f(x)在(-1，-23m)，(0，1)上單調(diào)遞增，
f(-23m)= 427m3+m2，f(1)= m2+m+1，下面比較這兩者的大小，
令h(m)=f(-23m)-f(1)= 427m3-m-1，m∈[0，1]，
h'(m)= 49m2-1<0，則h(m)在(0，1] 上為減函數(shù)，h(m)≤h(0)=-1<0，
故f(-23m)
所以fmax(x)-fmin(x)= f(1)-f(-1)=2成立.
③同理當(dāng)m∈[-1 ，0)時(shí)，fmax(x)-fmin(x)= f(1)-f(-1)=2成立.
綜上得m∈[-1 ，1].…………………………16分
20.解：(1) …………2+4=6分
(2).當(dāng) 時(shí)，首先，對于第1個(gè)扇形 ，有4種不同的染法，由于第2個(gè)扇形 的顏色與 的顏色不同，所以，對于 有3種不同的染法，類似地，對扇形 ，…， 均有3種染法.對于扇形 ，用與 不同的3種顏色染色，但是，這樣也包括了它與扇形 顏色相同的情況，而扇形 與扇形 顏色相同的不同染色方法數(shù)就是 ，于是可得
…………………………10分
猜想 …………………………12分
?、?當(dāng) 時(shí)，左邊 ，右邊 ，所以等式成立
?、?假設(shè) 時(shí)， ，
則 時(shí)，
即 時(shí)，等式也成立
綜上 …………………………16分
高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試卷
第Ⅰ卷(選擇題，共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。)
1.若回歸直線的斜率 ，則相關(guān)系數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. 0 D. 無法確定
2.已知非零實(shí)數(shù) 滿足 ，則下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
3.已知隨機(jī)變量 ，若 ，則實(shí)數(shù) ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
4.已知 ，則 ( )
A. 18 B. 24 C. 36 D. 56
5.三棱錐 中，平面 平面 ， ， ， ，則三棱錐 的外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
6.以下四個(gè)命題中：
?、賰蓚€(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近 ;
?、谌魯?shù)據(jù) 的方差為 ,則 的方差為 ;
?、蹖Ψ诸愖兞?與 的隨機(jī)變量 的觀測值 來說, 越小,判斷“ 與 有關(guān)系”的把握程度越大.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A. B. C. D.
7.如右圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
8.將編號為1,2,3,4的四個(gè)小球放入A,B,C三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且1號球和2號球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法種數(shù)為( )
A. 24 B. 30 C. 48 D. 72
9.若離散型隨機(jī)變量 的分布列為 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
10.如圖，在四棱錐 中，底面 是矩形， 底面 ， 是 的中點(diǎn)， ，則異面直線 與 所成的角的大小為( )
A. B. C. D.
11.某學(xué)校隨機(jī)抽查了本校20個(gè)同學(xué)，調(diào)查他們平均每天在課外從事體育鍛煉的時(shí)間(單位：分鐘)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖，以5為組距將數(shù)據(jù)分為8組，分別是 ，作出頻率分布直方圖如圖所示，則原始的莖葉圖可能是( )
12.用五種不同的顏色給圖中 六個(gè)小長方形區(qū)域涂色，要求顏色齊全且有公共邊的區(qū)域顏色不同，則共有涂色方法( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13.某公司安排6位員工在元旦假期(1月1日至1月3日)值班，每天安排2人，每人值班一天，則6位員工中甲不在1月1日值班的概率為__________;
14.已知圓錐的頂點(diǎn)為 ，母線 ， 互相垂直， 與圓錐底面所成角為 ，若 的面積為 ，則該圓錐的體積為__________;
15. 展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則 展開式中 的系數(shù)為_________;
16.甲罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球;乙罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列的結(jié)論：
?、貾(B)= ;②P(B|A1)= ;③事件B與事件A1不相互獨(dú)立;④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件;⑤P(B)的值不能確定，因?yàn)樗cA1，A2，A3中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)，其中正確結(jié)論的序號為 .(把正確結(jié)論的序號都填上)
三、解答題(本大題共6小題，共70分)
17.(本小題滿分12分)習(xí)近平總書記在十九大報(bào)告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明理念，這將進(jìn)一步推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，以下是近幾年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：
(1)請根據(jù)散點(diǎn)圖判斷， 與 中哪一個(gè)更適宜作為年銷售量 關(guān)于年份代碼 的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立 關(guān)于 的回歸方程，并預(yù)測2018年我國新能源乘用車的銷售量(精確到0.1)
附：最小二乘估計(jì)公式： .
參考數(shù)據(jù)：
22.72 374 135.2 851.2
其中
18.(本小題滿分12分)如圖，在 中,已知 ， 在 上，且 ，又 平面 .
(1)求證： 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值.
19.(本小題滿分12分)某青年教師專項(xiàng)課題進(jìn)行“學(xué)生數(shù)學(xué)成績與物理成績的關(guān)系”的課題研究，對于高二年級800名學(xué)生上學(xué)期期末數(shù)學(xué)和物理成績，按優(yōu)秀和不優(yōu)秀分類得結(jié)果：數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有60人，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的有140人，物理成績優(yōu)秀但數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的有100人.
(1)能否在犯錯(cuò)概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)系?
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從全體高二年級學(xué)生成績中，有放回地隨機(jī)抽取3名學(xué)生的成績，記抽取的3個(gè)成績中數(shù)學(xué)、物理兩科成績至少有一科優(yōu)秀的次數(shù)為 ，求 的期望 .
附：
20.(本小題滿分12分)如圖甲所示， 是梯形 的高， ， ， ，現(xiàn)將梯形 沿 折起如圖乙所示的四棱錐 ，使得 ，點(diǎn) 是線段 上一動(dòng)點(diǎn).
(1)證明： 和 不可能垂直;
(2)當(dāng) 時(shí)，求 與平面 所成角的正弦值.
21.(本小題滿分12分)某單位計(jì)劃在一水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量 (年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.
(1)求未來3年中，設(shè)表示流量超過120的年數(shù)，求的分布列及期望;
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量 限制，并有如下關(guān)系：
年入流量
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù) 1 2 3
若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5000萬元，若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺?
22.(本小題滿分10分)已知函數(shù)
(1)當(dāng) 時(shí)，解不等式
(2)若對任意 都存在 ，使得 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
高二數(shù)學(xué)(理)參考答案
1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B
7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.D
13. 14.8π 15. 16.②③④
17.
18. (Ⅰ)證明：設(shè)OA=1,則PO=OB=2,DA=1,
由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，
∴DA⊥AO.從而DO= ,PD= ，
在△PDO中，∵PO=2，
∴△PDO為直角三角形，故PD⊥DO.
又∵OC=OB=2,∠ABC=45°，
∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，
∴PO⊥OC，
又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，
∴CO⊥平面PAB.
故CO⊥PD.
∵CO∩DO=O，
∴PD⊥平面COD. ………………6分
(Ⅱ)以O(shè)C，OB，OP所在射線分別為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系如圖。
則由(Ⅰ)知,C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,−1,1)，
∴ =(0,−1,−1), =(2,−2,0), =(0,−3,1)，
由(Ⅰ)知PD⊥平面COD,∴ 是平面DCO的一個(gè)法向量，
設(shè)平面BDC的法向量為 =(x,y,z),∴ • =0 • =0,∴2x−2y =0−3y+z=0，
令y=1,則x=1,z=3,∴ =(1,1,3)，
∴cos< , >
由圖可知：二面角B−DC−O為銳角,二面角B−DC−O的余弦值為 ………………12分
19.(1)由題意可得列聯(lián)表：
物理優(yōu)秀 物理不優(yōu)秀 總計(jì)
數(shù)學(xué)優(yōu)秀 60 140 160
數(shù)學(xué)不優(yōu)秀 100 500 640
總計(jì) 200 600 800
因?yàn)镵2= =16.667>10.828. …(8分)
所以能在犯錯(cuò)概率不超過0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān).
(2)每次抽取1名學(xué)生成績，其中數(shù)學(xué)物理兩科成績至少一科是優(yōu)秀的頻率0.375.
將頻率視為概率，即每次抽取1名學(xué)生成績，其中數(shù)學(xué)物理兩科成績至少一科是優(yōu)秀的概率為 .由題意可知X～B(3， )，從而E(X)=np= . …(12分)
20. 【答案】(1)詳見解析; (2) .
【解析】試題分析：由于折疊后 ，經(jīng)過計(jì)算知 ，這樣 兩兩垂直，因此以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo).
(1)否定性命題，可假設(shè) ，同時(shí)設(shè) ( )，利用向量垂直計(jì)算出 ，如果滿足 說明存在，如果不滿足 說明不存在;
(2)由 得 點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出平面 的法向量 ，則向量 與 夾角的余弦的絕對值等于直線 與平面 所成角的正弦值.
解析：如圖甲所示，因?yàn)?是梯形 的高， ，所以 ,因?yàn)?， ，可得 ， ,如圖乙所示， ， ， ，所以有 ，所以 ,而 ， ，所以 平面 ,又 ，所以 、 、 兩兩垂直.故以 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則 ， ， ,
(1)設(shè) 其中 ，所以 ， ，假設(shè) 和 垂直，則 ，有 ，解得 ，這與 矛盾，假設(shè)不成立，所以 和 不可能垂直.……………………6分
(2)因?yàn)?，所以 ,設(shè)平面 的一個(gè)法向量是 ，因?yàn)?， ，所以 ， ，即 ,取 ,而 ，所以 ,所以 與平面 所成角的正弦值為 .……………………12分
21. 【答案】(1) (2)欲使總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝2臺發(fā)電機(jī)
【解析】試題分析：
(1)利用二項(xiàng)分布求得分布列，然后可得數(shù)學(xué)期望為0.3;
(2)利用題意分類討論可得應(yīng)安裝2臺發(fā)電機(jī).
試題解析：(1)依題意， ，
由二項(xiàng)分布可知， .
, ,
, ,
所以的分布列為
0 1 2 3
0.729 0.243 0.027 0.001
. ……………………6分
(2)記水電站的總利潤為 (單位：萬元)，
?、偌偃绨惭b1臺發(fā)點(diǎn)機(jī)，由于水庫年入流總量大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對應(yīng)的年
利潤 ， ;
②若安裝2臺發(fā)電機(jī)，
當(dāng) 時(shí)，只一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ， ，
當(dāng) 時(shí)，2臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ， ，
.
?、廴舭惭b3臺發(fā)電機(jī)，
當(dāng) 時(shí)，1臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ， ，
當(dāng) 時(shí)，2臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ， ，
當(dāng) 時(shí)，3臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ， ，
綜上可知，欲使總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝2臺發(fā)電機(jī). ……………………12分
22.
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