高一上冊數(shù)學單調性與最大小值教案
數(shù)學教師要上好課并取得良好的效果,最關鍵的步驟就是備好課,其中備好課就是做好教案!為此，下面學習啦小編整理了人教版高一上冊數(shù)學單調性與最大小值教案案以供大家閱讀。
人教版高一上冊數(shù)學單調性與最大小值教案
教學目標
1.使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調性定義判斷、證明函數(shù)單調性的方法.
2.通過對函數(shù)單調性定義的探究，滲透數(shù)形結合的思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;通過對函數(shù)單調性的證明，提高學生的推理論證能力.
3.通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程.
重點難點
教學重點：函數(shù)單調性的概念、判斷及證明.
教學難點：歸納抽象函數(shù)單調性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調性.
教學方法
教師啟發(fā)講授，學生 探究學習.
教學手段
計算機、投影儀.
教學過程
創(chuàng)設情境，引入課題
課前布置任務：
(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.
(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.
課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜舉辦大型國際體育賽事.
下圖是北京市某年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.
圖1
引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考.
問題：觀察圖形，能得到什么信息?
預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到;
(2)在某時刻的溫度;
(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.
在生活中，我們關心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的.
問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎?
預案：水位高低、燃油價格、股票價格等.
歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小.
【設計意圖】由生活情境引入新課，激發(fā)興趣.
歸納探索，形成概念
對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中時同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數(shù)單調性的嚴格定義.
1.借助圖象，直觀感知
問題1：分別作出函數(shù)y=x+2，y=-x+2，y=x2，y=1x的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律?
圖2
預案 ：(1)函數(shù)y=x+2在整個定義域內y隨x的增大而增大;函數(shù)y=-x+2在整個定義域內y隨x的增大而減小.
(2 )函數(shù)y=x2在[0，+∞)上y隨x的增大而增大，在(-∞，0)上y隨x的增大而減小.
(3)函數(shù)y=1x在(0，+∞)上y隨x的增大而減小，在(-∞，0)上y隨x的增大而減小.
引導學生進行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))，同時明確函數(shù)的單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質.
問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)?
預案：如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù).
教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調性的直觀認識.
【設計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調性，完成對函數(shù)單調性的第一次認識.
2.探究規(guī)律，理性認識
問題1：下圖是函數(shù)y=x+2x(x>0)的圖象，能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?
圖3
學生的困難是難以確定分界點的確切位置.
通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究.
【設計意圖】使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調性的必要性.
問題2：如何從解析式的角度說明f(x)=x2在[0，+∞)為增函數(shù)?
預案：(1)在給定區(qū)間內取兩個數(shù)，例如1和2，因為12<22，所以f(x)=x2在[0，+∞)為增函數(shù).
(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以f(x)=x2在[0，+∞)為增函數(shù).
(3)任取x1，x2∈[0，+∞)，且x1
所以f(x)=x2在[0，+∞)為增函數(shù).
對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析，使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內任意取兩個自變量x1，x2.
【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性的高度，完成對概念的第二次認識.事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好了鋪墊.
3.抽象思維，形成概念
問題：你能用準確的數(shù)學符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?
師生共同探究，得出增函數(shù)嚴格的定義，然后學生類比得出減函數(shù)的定義.
(1)板書定義
(2)鞏固概念
判斷題：
?、僖阎猣(x)=1x，因為f(-1)
?、谌艉瘮?shù)f(x)滿足f(2)
③若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).
?、芤驗楹瘮?shù)f(x)=1x在區(qū)間(-∞，0)和(0，+∞)上都是減函數(shù)，所以f(x)=1x在(-∞，0)∪(0，+∞)上是減函數(shù).
通過判斷題，強調三點：
?、賳握{性是對定義域內某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調性.
?、趯τ谀硞€具體函數(shù)的單調區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(如常函數(shù)).
?、酆瘮?shù)在定義域 內的兩個區(qū)間A，B上都是增(或減)函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在A∪B上是增(或減)函數(shù).
思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調函數(shù)?
【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.
掌握證法，適當延展
【例】證明函數(shù)f(x)=x+2x在(2，+∞)上是增函數(shù).
1.分析解決問題
針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流.
證明：任取x1，x2∈(2，+∞)，且x1
f(x1)-f(x2)=x1+2x1-x2+2x2求差
=(x1-x2)+2x1-2x2
=(x1-x2)+2(x2-x1)x1x2=(x1-x2)1-2x1x2=(x1-x2)x1x2-2x1x2，變形
∵2
∴x1-x2<0，x1x2>2，∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
∴函數(shù)f(x)=x+2x在(2，+∞)上是增函數(shù).定論
2.歸納解題步驟
引導學生歸納證明函數(shù)單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.
練習：證明函數(shù)f(x)=x在[0，+∞)上是增函數(shù).
問題：要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對任意的x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2有f(x2)-f(x1)x2-x1>0可以嗎?
引導學生分析這種敘述與定義的等價性，讓學生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)f(x)=x在[0，+∞)上是增函數(shù).
【設計意圖】初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟.等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法，為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調性埋下伏筆.
歸納小結，提高認識
學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結.
1.小結
(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.
(3)數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結合，等價轉化，類比等.
2.作業(yè)
書面作業(yè)：課本習題1.3 A組第1,2,3題.
課后探究：
(1)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)當且僅當對任意的x，x+h∈(a，b)，且h≠0有f(x+h)-f(x)h>0.
(2)研究函數(shù)y=x+1x(x>0)的單調性，并結合描點法畫出函數(shù)的草圖.
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