吉布斯現(xiàn)象的原因有哪些
吉布斯現(xiàn)象Gibbs phenomenon(又叫吉布斯效應): 將具有不連續(xù)點的周期函數(shù)(如矩形脈沖)進行傅立葉級數(shù)展開后，選取有限項進行合成。下面學習啦小編為大家介紹吉布斯現(xiàn)象的原因，希望對大家有幫助。
吉布斯現(xiàn)象的原因
我們在“深入淺出的學習傅里葉變換”時曾了解到，數(shù)學界有過一場“正弦曲線能否組合成一個帶有棱角的信號”的偉大爭議，而這場爭議的男主角自然就是傅里葉和拉格朗日了。當然兩位男主角都沒有錯，劇情也告一段落。
直到1898年，美國阿爾伯特·米切爾森做了一個諧波分析儀， 當他測試方波時驚訝的發(fā)現(xiàn)方波的XN(t)在不連續(xù)點附近部分呈現(xiàn)起伏，這個起伏的峰值大小似乎不隨N增大而下降!于是他寫信給當時著名的數(shù)學物理學家吉 布斯，吉布斯檢查了這一項結(jié)果，隨機發(fā)表了他的看法：隨著N增加，部分起伏就向不連續(xù)點壓縮，但是對任何有限的N值，起伏的峰值大小保持不變，這就是吉布斯現(xiàn)象。
吉布斯現(xiàn)象的現(xiàn)象
圖像的傅里葉變換 ，由于其變換本身有多種成熟的快速算法(FFT算法)，而且性能接近于最佳，從而獲得較早的也比較廣泛的研究。它的不足之處在于 :相鄰子圖像數(shù)據(jù)在各個邊界不連續(xù)造成的所謂Gibbs現(xiàn)像。這是由于圖像數(shù)據(jù)的二維傅里葉變換實質(zhì)上是一個二維圖像的傅立葉展開式。當然這個二維圖像應被認為是周期性的。由于子圖像的變換系數(shù)在邊界不連續(xù) ，而將造成復原的子圖像在其邊界也不連續(xù) 。于是由復原子圖像構(gòu)成的整幅復原圖像將呈現(xiàn)隱約可見的以子圖像尺寸為單位的方塊狀結(jié)構(gòu)，影響整個圖像質(zhì)量 。當子圖像尺寸較小時更為嚴重。
吉布斯現(xiàn)象的解釋
吉布斯現(xiàn)象的含義是：一個不連續(xù)信號X(t) 的傅里葉級數(shù)的截斷近似XN(t)，一般來說，在接近不連續(xù)點處將呈現(xiàn)高頻起伏和超量，而且，若在實際情況下利用這樣一個近似式的話，就應該選擇足夠大的 N，以保證這些起伏擁有的總能量可以忽略。當然，在極限情況下，近似誤差的能量是零，而且一個不連續(xù)的信號(如方波)的傅里葉級數(shù)表示是收斂的。
出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象其實是由于傅里葉變換本身有很多成熟的快速算法(如FFT)，而且性能接近最佳，但它由于圖像數(shù)據(jù)的二維傅里葉變換實 質(zhì)上是一個二維圖像的傅里葉展開式，當然這個二維圖像被認為是周期性的。由于子圖像的變換系數(shù)在邊界上不連續(xù)，而將造成的復原子圖像也在其邊界上不連續(xù)。 于是由復原子圖像構(gòu)成的整幅復原圖像將呈現(xiàn)隱約可見的以子圖像尺寸為單位的方塊狀結(jié)構(gòu)，影響整個圖像質(zhì)量。這就是為什么傅里葉變換在分析方波時在其不連續(xù) 點上出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象的原因了。
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