吉布斯效應(yīng)產(chǎn)生的原因

時間：2017-09-05 14:08:12 曉賢752由分享

　　當(dāng)選取的項數(shù)很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，大約等于總跳變值的9%。這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。下面就由學(xué)習(xí)啦小編告訴大家吉布斯效應(yīng)產(chǎn)生的原因吧!

　　吉布斯效應(yīng)產(chǎn)生的原因

　　我們在“深入淺出的學(xué)習(xí)傅里葉變換”時曾了解到，數(shù)學(xué)界有過一場“正弦曲線能否組合成一個帶有棱角的信號”的偉大爭議，而這場爭議的男主角自然就是傅里葉和拉格朗日了。當(dāng)然兩位男主角都沒有錯，劇情也告一段落。

　　直到1898年，美國阿爾伯特·米切爾森做了一個諧波分析儀，當(dāng)他測試方波時驚訝的發(fā)現(xiàn)方波的XN(t)在不連續(xù)點附近部分呈現(xiàn)起伏，這個起伏的峰值大小似乎不隨N增大而下降!于是他寫信給當(dāng)時著名的數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉布斯，吉布斯檢查了這一項結(jié)果，隨機發(fā)表了他的看法：隨著N增加，部分起伏就向不連續(xù)點壓縮，但是對任何有限的N值，起伏的峰值大小保持不變，這就是吉布斯現(xiàn)象。

　　吉布斯現(xiàn)象的解釋

　　吉布斯現(xiàn)象的含義是：一個不連續(xù)信號X(t) 的傅里葉級數(shù)的截斷近似XN(t)，一般來說，在接近不連續(xù)點處將呈現(xiàn)高頻起伏和超量，而且，若在實際情況下利用這樣一個近似式的話，就應(yīng)該選擇足夠大的 N，以保證這些起伏擁有的總能量可以忽略。當(dāng)然，在極限情況下，近似誤差的能量是零，而且一個不連續(xù)的信號(如方波)的傅里葉級數(shù)表示是收斂的。

　　出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象其實是由于傅里葉變換本身有很多成熟的快速算法(如FFT)，而且性能接近最佳，但它由于圖像數(shù)據(jù)的二維傅里葉變換實質(zhì)上是一個二維圖像的傅里葉展開式，當(dāng)然這個二維圖像被認(rèn)為是周期性的。由于子圖像的變換系數(shù)在邊界上不連續(xù)，而將造成的復(fù)原子圖像也在其邊界上不連續(xù)。于是由復(fù)原子圖像構(gòu)成的整幅復(fù)原圖像將呈現(xiàn)隱約可見的以子圖像尺寸為單位的方塊狀結(jié)構(gòu)，影響整個圖像質(zhì)量。這就是為什么傅里葉變換在分析方波時在其不連續(xù)點上出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象的原因了。

　　吉布斯現(xiàn)象的解決方法

　　解決吉布斯現(xiàn)象的方法是后來研究出來的離散余弦變換(DCT)，即在傅里葉級數(shù)展開式中，如果被展開的函數(shù)是實偶函數(shù)，那么其傅里葉級數(shù)中只包含余弦項，再將其離散化可導(dǎo)出余弦變換。

　　基本思路為：將一個對稱的2N*2N像素的子圖像代替原來N*N子圖像。由于對稱性，子圖像做二維傅里葉變換，其變換系數(shù)將只剩下實數(shù)的余弦項。這樣就可以消除吉布斯現(xiàn)象了。

　　吉布斯效應(yīng)的定義

　　吉布斯函數(shù)(Gibbsfunction)，系統(tǒng)的熱力學(xué)函數(shù)之一。又稱熱力勢、自由焓、吉布斯自由能等。符號G，定義為：，式中H、T、S分別為系統(tǒng)的焓、熱力學(xué)溫度(開爾文溫度K)和熵。吉布斯函數(shù)是系統(tǒng)的廣延性質(zhì)，具有能量的量綱。由于H，T，S都是狀態(tài)函數(shù)，因而G也必然是一個狀態(tài)函數(shù)。

　　吉布斯效應(yīng)的應(yīng)用

　　概述

　　當(dāng)體系發(fā)生變化時，G也隨之變化。其改變值△G，稱為體系的吉布斯自由能變，只取決于變化的始態(tài)與終態(tài)，而與變化的途徑無關(guān)：△G=G終一G始　按照吉布斯自由能的定義，可以推出當(dāng)體系從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時，體系的吉布斯自由能變?yōu)椋骸鱃=G2一Gl=△H一△(TS)　對于等溫條件下的反應(yīng)而言，有T2=T1=T　則 △G=△H一T △S　上式稱為吉布斯一赫姆霍茲公式(亦稱吉布斯等溫方程)。由此可以看出，△G包含了△H和△S的因素，若用△G作為自發(fā)反應(yīng)方向的判據(jù)時，實質(zhì)包含了△H和△S兩方面的影響，即同時考慮到推動化學(xué)反應(yīng)的兩個主要因素。因而用△G作判據(jù)更為全面可靠。而且只要是在等溫、等壓條件下發(fā)生的反應(yīng)，都可用△G作為反應(yīng)方向性的判據(jù)，而大部分化學(xué)反應(yīng)都可歸人到這一范疇中，因而用△G作為判別化學(xué)反應(yīng)方向性的判據(jù)是很方便可行的。[1]

　　作為判據(jù)應(yīng)用

　　化學(xué)反應(yīng)自發(fā)性判斷：　考慮ΔH和ΔS兩個因素的影響，可分為以下四種情況　1)ΔH<0,ΔS>0;ΔG<0正向自發(fā)　2)ΔH>0,ΔS<0;ΔG>0正向非自發(fā)　3)ΔH>0,ΔS>0;升溫至某溫度時，ΔG由正值變?yōu)樨撝?，高溫有利于正向自發(fā)　4)ΔH<0,ΔS<0;降溫至某溫度時，ΔG由正值變?yōu)樨撝?，低溫有利于正向自發(fā)

　　吉布斯馬爾可夫隨機場

　　到目前為止，還沒有哪一種方法能夠有效地分析、檢測SAR圖像中所有的結(jié)構(gòu)特征，并進行合理的重構(gòu)。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，計算負擔(dān)不再是障礙。馬爾可夫隨機場由于能夠有效地表征圖像數(shù)據(jù)的空間相關(guān)性，并且有優(yōu)化算法的支持，在SAR圖像處理中起著越來越重要的作用。兩維矩形點陣上的隨機場X若滿足：

　　且P(X=x)>0，則稱X是以η為鄰域系統(tǒng)的馬爾可夫隨機場(MRF)。這里x,xij分別表示隨機場和隨機變量的1個實現(xiàn)，ηij是點(i,j)的鄰域系統(tǒng)。隨機場的局部特征很難表達，實用中總是采用聯(lián)合概率分布。若MRF的聯(lián)合概率用高斯分布表示，稱為高斯馬爾可夫隨機場(Gauss-MRF);若采用吉布斯分布表示，稱為吉布斯馬爾可夫隨機場

　　式中，T表示溫度，U稱為能量函數(shù);Z是歸一化因子，稱為分割函數(shù)。吉布斯馬爾可夫隨機場(Gibbs-MRF) Gibbs-MRF主要用于圖像復(fù)原算法中，一般都和優(yōu)化的參數(shù)估計方法模擬退火相聯(lián)系。根據(jù)能量函數(shù)的具體形式，SAR圖像處理中有3種模型，第一種是：

　　參數(shù)λ表征了模型描述圖像結(jié)構(gòu)特征尖銳平滑程度的能力。

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