九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期考試期末題
九年級(jí)的學(xué)習(xí)大家如果不跟上，可能會(huì)讀考試很不利哦，今天小編就給大家來分享一下九年級(jí)數(shù)學(xué)，喜歡的來參考哦
有關(guān)九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末閱讀
一.選擇題(每小題3分，滿分30分)
1.一元二次方程x2﹣10x+21=0可以轉(zhuǎn)化的兩個(gè)一元一次方程正確的是( )
A.x﹣3=0，x+7=0 B.x+3=0，x+7=0
C.x﹣3=0，x﹣7=0 D.x+3=0，x﹣7=0
2.8 ﹣ +4 =( )
A.4 B. C.5 D.
3.如圖，l1∥l2∥l3，BC=1， = ，則AB長為( )
A.4 B.2 C. D.
4.關(guān)于x的方程(a﹣6)x2﹣2x+6=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，則tanB的值為( )
A. B. C. D.
6.下列說法正確的是( )
A.投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，反面朝上的次數(shù)一定是5次
B.“5名同學(xué)中恰有2名同學(xué)生日是同一天”是隨機(jī)事件
C.“明天降雨的概率為 ”，表示明天有半天時(shí)間都在降雨
D.“路過十字路口時(shí)剛好是紅燈”是確定事件
7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(﹣3，6)、B(﹣9，﹣3)，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為 ，把△ABO縮小，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是( )
A.(﹣3，﹣1) B.(﹣1，2)
C.(﹣9，1)或(9，﹣1) D.(﹣3，﹣1)或(3，1)
8.如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB，CD所對(duì)的圓心角分別是∠AOB，COD，若∠AOB與∠COD互補(bǔ)，弦CD=6，則弦AB的長為( )
A.6 B.8 C.5 D.5
9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x=1，下列結(jié)論：①ab<0;②b2>4ac③a+b+c<0;④2a+b+c=0，其中正確的是( )
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
10.如圖，⊙O的半徑為1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處沿圓周以每秒45°圓心角的速度逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，即第1秒點(diǎn)P位于如圖所示的位置，第2秒中P點(diǎn)位于點(diǎn)C的位置，……，則第2018秒點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)為( )
A.( ， ) B.(0，1) C.(0，﹣1) D.( ，﹣ )
二.填空題(滿分15分，每小題3分)
11.若式子1+ 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 .
12.為了弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，營造書香校園文化氛圍，2017年12月11日，興義市新電學(xué)校舉行中華傳統(tǒng)文化知識(shí)大賽活動(dòng)該學(xué)校從三名男生和兩名女生中選出兩名同學(xué)擔(dān)任本次活動(dòng)的主持人，則選出的恰為一男一女的概率是
13.某蔬菜基地的圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB=16m，半徑OA=10m，則蔬菜大棚的高度CD= m.
14.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=2 ，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作弧交AC于點(diǎn)E，則圖中陰影部分面積是 .
15.將矩形ABCD紙片按如圖所示方式折疊 ，M、N分別為AB，CD的中點(diǎn)，若AB=20cm，AB
三.解答題(共8小題，滿分75分)
16.(8分)計(jì)算： +( )﹣3﹣(3 )0﹣4cos30°+ .
17.(8分)已知：二次函數(shù)y=ax2﹣3x+a2﹣1的圖象開口向上，并且經(jīng)過原點(diǎn)O(0，0).
(1)求a的值;
(2)求二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)用配方法求出這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).
18.(9分)如圖，在教學(xué)樓距地面8米高的窗口中C處，測得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°，升旗時(shí)，國旗上端懸掛在距地面2米處.若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放40秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?
(參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
19.(9分)關(guān)于x的方程(2m+1)x2+4mx+2m﹣3=0有兩 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)之和等于﹣1?若存在，求出m的值;若不存在，說明理由.
20.(10分)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品每件成本為40元，經(jīng)市場調(diào)查整理出如下信息：①該產(chǎn)品90天內(nèi)日銷量(m件)與時(shí)間(第x天)滿 足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：
②該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷售價(jià)格與時(shí)間(第x天)的關(guān)系如下表：
時(shí)間：(第x天) 1≤x<50 50≤x<90
銷售價(jià)格(元/件) x+50 90
(1)求m關(guān)于x的一次函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)銷售該產(chǎn)品每天利潤為y元，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出在90天內(nèi)該產(chǎn)品哪天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
(3)在該產(chǎn)品銷售的過程中，共有多少天銷售利潤不低于4800元，請直接寫出結(jié)果.
21.(10分)如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D.過點(diǎn)A作⊙O的切線與
OD的延長線交于點(diǎn)P，PC、AB的延長線交于點(diǎn)F.
(1)求證：PC是⊙O的切線;
(2)若∠ABC=60°，AB=10，求線段CF的長.
22.(10分)(1)如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，AC=6，以BC為邊作等邊三角形BCD，連接AD，求AD的值.
(2)如圖2，四邊形ABCD中.△ABM，△CDN是分別以AB，CD為一條邊的等邊三角形，E，F(xiàn)分別在這兩個(gè)三角形的外接圓上，試問AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值?若存在最小值，則E，F(xiàn)兩點(diǎn)的位置在什么地方?井說明理由.若不存在最小值，亦說明理由.
23.(11分)如圖，二 次函數(shù)y =0.5x2+bx+c的圖象過點(diǎn)B(0，1)和C(4，3)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，過點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線與x軸交于點(diǎn)A.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，隨著點(diǎn)P的移動(dòng)，存在點(diǎn)P使△PBC是直角三角形，請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在x軸上沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒a個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng) ，是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似?若存在，直接寫出a的值;若不存在，說明理由.
參考答案
一.選擇題
1.解：∵(x﹣3)(x﹣7)=0，
∴x﹣3=0或x﹣7=0，
故選：C.
2.解：原式=8× ﹣ ×3 +4×
=4 ﹣ +
= ，
故選：D.
3.解：∵l1∥l2∥l3，BC=1， = ，
∴ = = ，
∴AB= ，
故選：C.
4.解：當(dāng)a﹣6=0，即a=6時(shí)，原方程為﹣2x+6，
解得：x=3，
∴a=6符合題意;
當(dāng)a﹣6≠0，即a≠6時(shí)，原方程為一元二次方程，
∵△=(﹣2)2﹣4×6×(a﹣6)≥0，
∴a≤ 且a≠6.
綜上所述，a≤ .
又∵a為整數(shù)，
∴a的最大值為6.
故選：B.
5.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，
∴tanB= = ，
故選：D.
6.解：A、投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，反面朝上的次數(shù)不一定是5次，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、5名同學(xué)中恰有2名同學(xué)生日是同一天”是隨機(jī)事件，正確;
C、“明天降雨的概率為 ”，表示明天降雨的可能性是50%，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、路過十字路口時(shí)剛好是紅燈”是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
7.【解 答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為 ，把△ABO縮小，
∴點(diǎn)B(﹣9，3)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(﹣3，﹣1)或(3，1).
故選：D.
8.解：如圖，延長AO交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，
則∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∴AB= = =8，
故選：B.
9.解：①由圖象可知： >0，
∴ab<0，故①正確;
?、谟蓲佄锞€與x軸的圖象可知：
△>0，
∴b2>4ac，故②正確;
?、塾蓤D象可知：x=1，y<0，
∴a+b+c<0，故③正確;
?、堋?=1，
∴b=﹣2a，
令x=﹣1，y>0，
∴2a+b+c=c<0，故④錯(cuò)誤
故選：C.
10.解：作PE⊥OA于E，
∵OP=1，∠POE=45°，
∴OE=PE= ，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ， )，
則第2秒P點(diǎn)為(0，1)，
根據(jù)題意可知，第3秒P點(diǎn)為(﹣ ， )，第4秒P點(diǎn)為(﹣1，0)，第5秒P點(diǎn)為(﹣ ，﹣ )，第6秒P點(diǎn)為(0，﹣1)，
第7秒P點(diǎn)為( ，﹣ )，第8秒P點(diǎn)為(1，0)，
2018÷8=252……2，
∴第2018秒點(diǎn)P所在位置的坐標(biāo)為(0，1)，
故選：B.
二.填空題(共5小題，滿分15分，每小題3分)
11.解：由題意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案為：x≥2.
12.解：畫樹狀圖如下：
共有20種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，其中一男一女占12種，
則恰好抽中一男一女的概率是 = ，
故答案為： .
13.解：∵CD是中間柱，
即 = ，
∴OC⊥AB，
∴AD=BD= AB= ×16=8(m)，
∵半徑OA=10m，
在Rt△AOD中，OD= =6(m)，
∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4(m).
故答案為：4
14.解：連接BE，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=2 ，
∴AB=2，∠BAE=60°，
∵BA=BE，
∴△ABE是等邊三角形，
∴圖中陰影部分面積是： ﹣ = π﹣ ，
故答案為： π﹣ .
15.解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠B=∠D=90°，
∵M(jìn)、N分別為AB，CD的中點(diǎn)，
∴AM=MB，DN=NC ，
∴AM=DN，
∴四邊形AMND是平行四邊形，
∵∠D=90°，
∴四邊形AMND是矩形，
∴∠AMN=90°，
∵AB′=AB=2AM，
∴∠AB′M=30°，
∴∠BAB′=60°，
∵∠BAE=∠EAB′，
∴∠BAE=30°，
∴AE=AB÷cos30°= .
故答案為 .
三.解答題(共8小題，滿分75分)
16.解：原式=3+8﹣1﹣4× +2
=10﹣2 +2
=10.
17.解：(1)把(0，0)代入y=ax2﹣3x+a2﹣1得a2﹣1=0，解得a1=1，a2=﹣1，
因?yàn)閽佄锞€開口向上，
所以a=1;
(2)拋物線解析式為y=x2﹣3x，
當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3，
所以拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，(3，0);
(3)y=x2﹣3x=x2﹣3x+( )2﹣( )2=(x﹣ )2﹣ ，
所以這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ，﹣ ).
18.解：在Rt△BCD中，BD=8米，∠BCD=45°，則BD=CD=8米.
在Rt△ACD中，CD=8米，∠ACD=37°，則AD=CD•tan37°≈8×0.75=6(米).
所以，AB=AD+BD=14米，
整個(gè)過程中旗子上升高度是：14﹣2=12(米)，
因?yàn)楹臅r(shí)40s，
所以上升速度v=12÷40=0.3(米/秒).
答：國旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升.
19.解：(1)∵方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△>0，即16m2﹣4×(2m+1)(2m﹣3)>0，
解得：m>﹣ ，
又2m+1≠0，
∴m≠﹣ ，
∴m>﹣ 且m≠﹣ ;
(2)∵x1+x2=﹣ 、x1x2= ，
∴ + =﹣ ，
由 + =﹣1可得﹣ =﹣1，
解得：m=﹣ ，
∵﹣ <﹣ ，
∴不存在.
20.解：(1)∵m與x成一次函數(shù)，
∴設(shè)m=k x+b，將x=1，m=198，x=3，m=194代入，得： ，
解得： .
所以m關(guān)于x的一次函數(shù)表達(dá)式為m=﹣2x+200;
(2)設(shè)銷售該產(chǎn)品每天利潤為y元，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：
y= ，
當(dāng)1≤x<50時(shí)，y=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050，
∵﹣2<0，
∴當(dāng)x=45時(shí)，y有最大值，最大值是6050;
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，y=﹣100x+10000，
∵﹣100<0，
∴y隨x增大而減小，即當(dāng)x=50時(shí)，y的值最大，最大值是5000;
綜上所述，當(dāng)x=45時(shí)，y的值最大，最大值是6050，
即在90天內(nèi)該產(chǎn)品第45天的銷售利潤最大，最大利潤是6050元;
(3)當(dāng)1≤x<50時(shí)，由y≥4800可得﹣2x2+180x+2000≥4800，
解得：20≤x≤70，
∵1≤x<50，
∴20≤x<50;
當(dāng)50≤x≤90時(shí)，由y≥4800可得﹣100x+10000≥4800，
解得：x≤52，
∵50≤x≤90，
∴50≤x≤52，
綜上，20≤x≤52，
故在該產(chǎn)品銷售的過程中，共有33天銷售利潤不低于4800元.
21.解：(1)連接OC，
∵OD⊥AC，OD經(jīng)過圓心O，
∴AD=CD，
∴PA=PC，
在△OAP和△OCP中，
∵ ，
∴△OAP≌△OCP(SSS)，
∴ ∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切線，
∴∠OAP=90 °.
∴∠OCP=90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切線.
(2)∵OB=OC，∠OBC=60°，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠COB=60°，
∵AB=10，
∴OC=5，
由(1)知∠OCF=90°，
∴CF=OCtan∠COB=5 .
22.(1)證明：在AD上截取AP=AB，連結(jié)PB，如圖，
∵△DBC為等邊三角形，
∴∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°，DB=CB，
∵∠BAC=120°
∴∠BAC+BDC=180°，
∴A、B、D、C四點(diǎn)共圓，
∴∠BAP=∠DCB=60°，
∴△PAB為等邊三角形，
∴∠ABP=60°，BP=BA，
∴∠DBC﹣∠PBC=∠ABP﹣∠PBC，即∠DBP=∠CBA，
∴△DBP≌△CBA(SAS)，
∴PD=AC，
∴AD=DP+AP=AC+AB=9.
(2)當(dāng)點(diǎn)E、F為直線MN與兩圓的交點(diǎn)時(shí)，AE+EB+EF+FC+FD的值最小.
證明：連結(jié)ME、NF，如圖，
由(1)的結(jié)論得EA+EB=ME，F(xiàn)C+FD=FN，
∴AE+EB+EF+FC+FD=ME+EF+FN，
∴當(dāng)點(diǎn)M、E、F、N共線時(shí)，ME+EF+FN的值最小，
此時(shí)點(diǎn)E、F為直線MN與兩圓的交點(diǎn).
23.解：(1)∵二次函數(shù)y=0.5x2+bx+c的圖象過點(diǎn)B(0，1)和C(4，3)兩點(diǎn)
∴
解得：b=﹣ ，c=1
∴拋物線解析式y(tǒng)= x2﹣ x+1
(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，0)
∵點(diǎn)P(x，0)，點(diǎn)B(0，1)，點(diǎn)C(4，3)
∴PB= =
CP= =
BC= =2
若∠BCP=90°，則BP2=BC2+CP2.
∴x2+1=20+x2﹣8x+25
∴x=
若∠CB P=90°，則CP2=BC2+BP2.
∴x2+1+20=x2﹣8x+25
∴x=
若∠BPC=90°，則BC2=BP2+CP2.
∴x2+1+x2﹣8x+25=20
∴x1=1，x2=3
綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，0)，(3，0)，( ，0)，( ，0)
(3)存在
∵拋物線解析式y(tǒng)= x2﹣ x+1與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E
∴0= x2﹣ x+1
∴x1=1，x2=2
∴點(diǎn)D(1，0)
∵點(diǎn)B(0，1)，C(4，3)
∴直線BC解析式y(tǒng)= x+1
當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣2
∴點(diǎn)A(﹣2，0)
∵點(diǎn)A(﹣2，0)，點(diǎn)B(0，1)，點(diǎn)D(1，0)
∴AD=3，AB=
設(shè)經(jīng)過t秒
∴AP=2t，AQ=at
若△APQ∽△ADB
∴
即
∴a=
若△APQ∽△ABD
∴
即
∴a=
綜上所述：a= 或
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬試題
一.選擇題(每小題3分，滿分30分)
1.使 有意義的x的取值范圍是( )
A.x>3 B.x<3 C.x≥3 D.x≠3
2.方程x2+6x﹣5=0的左邊配成完全平方后所得方程為( )
A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C. D.(x+3)2=4
3.已知關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是( )
A.m≤2 B.m≥2 C.m≤2且m≠1 D.m≥﹣2且m≠1
4.如圖所示，△ABC中，已知AB=7，∠C=90°，∠B=60°，MN是中位線，則MN的長為( )
A.2 B. C.2 D.2
5.將拋物線y= x2﹣6x+21向左平移2個(gè)單位后，得到新拋物線的解析式為( )
A.y= (x﹣8)2+5 B.y= (x﹣4)2+5
C.y= (x﹣8)2+3 D.y= (x﹣4)2+3
6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(m，n)是線段AB上一點(diǎn)，以原點(diǎn)O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的 坐標(biāo)為( )
A.(2m，2n)
B.(2m，2n)或(﹣2m，﹣2n)
C.( m， n)
D.( m， n)或(﹣ m，﹣ n)
7.如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，若∠A=30°，∠APD=70°，則∠B等于( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
8.下列說法正確的是( )
A.“打開電視，正在播放新聞節(jié)目”是必然事件
B.要考察一個(gè)班級(jí)中的學(xué)生對(duì)建立生物角的看法適合采用 抽樣調(diào)查方式
C.為了解潛江市4月15日到29日的氣溫變化情況，適合制作折線統(tǒng)計(jì)圖
D.對(duì)端午節(jié)期間市面上粽子質(zhì)量情況的調(diào)查適合采用全面調(diào)查(普查)方式
9.如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
10.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：
?、賏bc>0;②2a+b>0;③b2﹣4ac>0;④a﹣b+c>0，其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空題(滿分15分，每小題3分)
11 .計(jì)算 ﹣6 的結(jié)果是 .
12.圓心到直線的距離等于 的直線是圓的切線.
13.一個(gè)密碼箱的密碼，每個(gè)數(shù)位上的數(shù)都是從0到9的自然數(shù).父親忘記了最后二個(gè)數(shù)字，想要嘗試撥對(duì)，那么父親第一次就撥對(duì)這二位數(shù)字的概率是 .
14.點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函數(shù)y=x2﹣4x﹣1的圖象上，若當(dāng)1
15.如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點(diǎn)C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為 .
三.解答題(共8小題，滿分73分)
16.(7分)計(jì)算： ﹣|1﹣ |﹣sin30°+2﹣1.
17.(9分)已知a、b、c是等腰三角形ABC的三條邊，其中a=3，如果b，c是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣9x+m=0的兩個(gè)根，求m的值.
18.(9分)不透明的袋中裝有1個(gè)紅球與2個(gè)白球，這些球除顏色外都相同，將其攪 勻.
(1)從中摸出1個(gè)球，恰為紅球的概率等于 ;
(2)從中同時(shí)摸出2個(gè)球，摸到紅球的概率是多少?(用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程)
19.(9分)某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組想測量建筑物AB的高度.他們在C處仰望建筑物頂端A處，測得仰角為45°，再往建筑物的方向前進(jìn)6米到達(dá)D處，測得仰角為60°，求建筑物的高度.(測角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米， ≈1.732， ≈1.414)
20.(9分)如圖，BD為△ABC外接圓⊙O的直徑，且∠BAE=∠C.
(1)求證：AE與⊙O相切于點(diǎn)A;
(2)若AE∥BC，BC=2 ，AC=2 ，求AD的長.
21.(10分)如圖所示，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5m時(shí)，達(dá)到最大高度3.5m，然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05m.
(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式;
(2)該運(yùn)動(dòng)員身高1.8m，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25m處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少?
22.(8分)今年深圳“讀書月”期間，某書店將每本成本為30元的一批圖書，以40元的單價(jià)出售時(shí)，每天的銷售量是300本.已知在每本漲價(jià)幅度不超過10元的情況下，若每本漲價(jià)1元，則每天就會(huì)少售出10本，設(shè)每本書上漲了x元.請解答以下問題：
(1)填空：每天可售出書 本(用含x的代數(shù)式表示);
(2)若書店想通過售出這批圖書每天獲得3750元的利潤，應(yīng)漲價(jià)多少元?
23.(12分)如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，8)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，0).拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ=CP，連接PQ，設(shè)CP=m，△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式;
?、诋?dāng)S最大時(shí)，在 拋物線y=﹣ x2+bx+c的對(duì)稱軸l上，若存在點(diǎn)F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1.解：由題意，得
x﹣3≥0，
解得x≥3，
故選：C.
2.解：由原方程移項(xiàng)，得
x2+6x=5，
等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即32，得
x2+6x+9=5+9，
∴(x+3)2=14.
故選：A.
3.解：∵關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)根，
∴ ，
解得：m≤2且m≠1.
故選：C.
4.解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴BC= AB= ，
∵M(jìn)N是中位線，
∴MN= BC= ，
故選：B.
5.解：y= x2﹣6x+21
= (x2﹣12x)+21
= [(x﹣6)2﹣36]+21
= (x﹣6)2+3，
故y= (x﹣6)2+3，向左平移2個(gè)單位后，
得到新拋物線的解析式為：y= (x﹣4)2+3.
故選：D.
6.解：點(diǎn)P(m，n)是線段AB上一點(diǎn)，以原點(diǎn)O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，
則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(m×2，n×2)或(m×(﹣2)，n×(﹣2))，即(2m，2n)或(﹣2m，﹣2n)，
故選：B.
7.解：∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD=∠C+∠A;
∵∠A=30°，∠APD=70°，
∴∠C=∠APD﹣∠A=40°;
∴∠B=∠C=40°;
故選：C.
8.解：A、“打開電視，正在播放新聞節(jié)目”是隨機(jī)事件，此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤;
B、要考察一個(gè)班級(jí)中的學(xué)生對(duì)建立生物角的看法適合采用普查調(diào)查方式，此項(xiàng)說法錯(cuò)誤;
C 、為了解潛江市4月15日到29日的氣溫變化情況，適合制作折線統(tǒng)計(jì)圖，此選項(xiàng)說法正確;
D、對(duì)端午節(jié)期間市面上粽子質(zhì)量情況的調(diào)查適合采用抽樣調(diào)查方式，此選項(xiàng)說法錯(cuò)誤;
故選：C.
9.解：由正方形的性質(zhì)可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，
A、C、D圖形中的鈍角都不等于135°，
由勾股定理得，BC= ，AC=2，
對(duì)應(yīng)的圖形B中的邊長分別為1和 ，
∵ = ，
∴圖B中的三角形(陰影部分 )與△ABC相似，
故選：B.
10.解：①∵拋物線對(duì)稱軸是y軸的右側(cè)，
∴ab<0，
∵與y軸交于負(fù)半軸，
∴c<0，
∴abc>0，
故①正確;
?、凇遖>0，x=﹣ <1，
∴﹣b<2a，
∴2a+b>0，
故②正確;
?、邸邟佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac>0，
故③正確;
?、墚?dāng)x=﹣1時(shí)，y>0，
∴a﹣b+c>0，
故④正確.
故選：D.
二.填空題(共5小題，滿分15分，每小題3分)
11.解：原式=3 ﹣2 = ，
故答案為： .
12.解：由圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線，
故答案為半徑.
13.解：根據(jù)乘法公式可得最后二個(gè)數(shù)字的可能情況有：10×10=100(種)，
∵父親第一次就撥對(duì)這二位數(shù)字的情況只有1種，
∴父親第一次就撥對(duì)這二位數(shù)字的概率是 .
故答案為： .
14.解：由二次函數(shù)y=x2﹣4x﹣1=(x﹣2)2﹣5可知，其圖象開口向上，且對(duì)稱軸為x=2，
∵1
∴A點(diǎn)橫坐標(biāo)離對(duì)稱軸 的距離小于B點(diǎn)橫坐標(biāo)離對(duì)稱軸的距離，
∴y1
故答案為：<.
15.解：連接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴DC= AB=1，四邊形DMCN是正方形，DM= .
則扇形FDE的面積是： = .
∵CA=CB，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH(AAS)，
∴S四邊形DGCH=S四邊形DMCN= .
則陰影部分的面積是： ﹣ .
故答案為 ﹣ .
三.解答題(共8小題，滿分73分)
16.解：原式=3 ﹣ +1﹣ + =2 +1.
17.解：方程x2﹣9x+m=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得到： x1+x2=9，
當(dāng)a為腰長時(shí)，則x2﹣9x+m=0的一個(gè)根為3，
則另一根為6，
∵3+3=6，
∴不能組成等腰三角形，
當(dāng)3為底邊時(shí)，x2﹣9x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
故b2﹣4ac=81﹣4m=0，
解得：m= ，
方程x2﹣9x+ =0的兩根為x1=x2= ，
∵ + >3.
∴能組成等腰三角形，
綜上所述，m的值是 .
18.解：(1)從中摸出1個(gè)球，恰為紅球的概率等于 ，
故答案為： ;
(2)畫樹狀圖：
所以共有6種情況，含紅球的有4種情況，
所以p= = ，
答：從中同時(shí)摸出2個(gè)球，摸到紅球的概率是 .
19.解：設(shè)AB=x米
∵∠C=45°
∴在Rt△ABC中，BC=AB=x米，
∵∠ADB=60°，
又∵CD=6米，
∴在Rt△ADB中
tan∠ADB=
tan 60°=
解得
答，建筑物的高度為14.2米.
20.證明：(1)連接OA，交BC于F，則OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，(2分)
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE與⊙O相切于點(diǎn)A;(4分)
(2)∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，(5分)
∴ ，F(xiàn)B= BC，
∴AB=AC，
∵BC=2 ，AC=2 ，
∴BF= ，AB=2 ，
在Rt△ABF中，AF= =1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+(OB﹣AF)2，
∴OB=4，(7分)
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD= = = =2 .(8分)
21.解：(1)∵當(dāng)球運(yùn)行的水平距 離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3.5)，
∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+3.5.
由圖知圖象過以下點(diǎn)：(1.5，3.05).
∴2.25a+3.5=3.05，
解得：a=﹣0.2，
∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣0.2x2+3.5.
(2)設(shè)球出手時(shí)，他跳離地面的高度為hm，
∵y=﹣0.2x2+3.5，
而球出手時(shí)，球的高度為h+1.8+0.25=(h+2.05)m，
∴h+2.05=﹣ 0.2×(﹣2.5)2+3.5，
∴h=0.2.
答：球出手時(shí)，他跳離地面的高度為0.2m.
22.解：(1)∵每本書上漲了x元，
∴每天可售出書(300﹣10x)本.
故答案為：(300﹣10x).
(2)設(shè)每本書上漲了x元(x≤10)，
根據(jù)題意得：(40﹣30+x)(300﹣10x)=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15(不合題意，舍去).
答：若書店想每天獲得3750元的利潤，每本書應(yīng)漲價(jià)5元.
23.解：(1)將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得
，
解得： ，
∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+8;
(2)①∵OA=8，OC=6，
∴AC= =10，
過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，則sin∠ACB= = = ，
∴ = ，
∴QE= (10﹣m)，
∴S= •CP•QE= m× (10﹣m)=﹣ m2+ 3m;
?、凇逽= •CP•QE= m× (10﹣m)=﹣ m2+3m=﹣ (m﹣5)2+ ，
∴當(dāng)m=5時(shí)，S取最大值;
在拋物線對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，
∵拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+8的對(duì)稱軸為x= ，
D的坐標(biāo)為(3，8)，Q(3，4)，
當(dāng)∠FDQ=90°時(shí)，F(xiàn)1( ，8)，
當(dāng)∠FQD=90°時(shí)，則F2( ，4)，
當(dāng)∠DFQ=90°時(shí)，設(shè)F( ，n)，
則FD2+FQ2=DQ2，
即 +(8﹣n)2+ +(n﹣4)2=16，
解得：n=6± ，
∴F3( ，6+ )，F(xiàn)4( ，6﹣ )，
滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為
F1( ，8)，F(xiàn)2( ，4)，F(xiàn)3( ，6+ )，F(xiàn)4( ，6﹣ ).
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷閱讀
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( A )
2.用配方法解方程x2+10x+20=0，則方程可變形為( B )
A.(x+5)2=45 B.(x+5)2=5 C.(x-5)2=45 D.(x-5)2=5
3.下列事件，是必然事件的是( B )
A.擲一枚六個(gè)面分別標(biāo)有1～6的均勻正方體骰子，骰子停上轉(zhuǎn)動(dòng)后偶數(shù)點(diǎn)朝上
B.在同一年出生的 367 名學(xué)生中，至少有兩人的生日是同一天
C.從一副撲克牌中任意抽出一張，花色是紅桃
D.任意選擇電視的某一頻道，正在播放新聞
4.把拋物線y=-x2向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為( D )
A.y=-(x-3)2 B.y=-(x+3)2 C.y=-x2-3 D.y=-x2+3
5.如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB，OC.若∠BAC與∠BOC互補(bǔ)，則弦BC的長為( B )
A.33 B.43
C.53 D.63
6.已知不透明的袋中只裝有黑、白兩種球，這些球除顏色外都相同，其中白球有2個(gè)，黑球有n個(gè)，隨機(jī)地從袋中摸出一個(gè)球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則n的值為( B )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.若點(diǎn)A(-2，n)在x軸上，則點(diǎn)B(n-1，n+1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為( C )
A.(1，1) B.(-1，-1)
C.(1，-1) D.(-1，1)
8.以O(shè)(2，2)為圓心，3為半徑作圓，則⊙O與直線y=kx+15k的位置關(guān)系是( A )
A.相交 B.相切 C.相離 D.都有可能
9.關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則整數(shù)k的最小值是( C )
A.1 B.0 C.2 D.3
10.如圖，在半徑為4的⊙O中，CD為直徑，AB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為( D )
A.3π B.32π
C.33π D.233π
二、填空題(每小題3分，共18分)
11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1，2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為B(a，b)，則a=__-1__.
12.在10個(gè)外觀相同的產(chǎn)品中，有2個(gè)不合格產(chǎn)品，現(xiàn)從中任意抽取1個(gè)進(jìn)行檢測，抽到合格產(chǎn)品的概率是________.
13.已知某拋物線向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后所得拋物線的解析式為y=x2+2x+3，那么原拋物線的解析式是__y=(x-3)2+4__.
14.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊CD上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C，D不重合)，連接BM，作MF⊥BM，與正方形ABCD的外角∠ADE的平分線交于點(diǎn)F.設(shè)CM=x，△DFM的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為________________.
,第14題圖) ,第15題圖) ,第16題圖)
15.如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF.則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值是__1.5__.
16.如圖，已知直線y=-34x+3分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，P是拋物線y=-12x2+2x+5上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為a，過點(diǎn)P且平行于y軸的直線交直線y=-34x+3于點(diǎn)Q，則當(dāng)PQ=BQ時(shí)，a的值是__-1或4或4+25或4-25__.
三、解答題(共72分)
17.(8分)若方程x2-4x+m=0的一個(gè)根為-2，求m和另一個(gè)根的值.
【解析】設(shè)方程的另外一個(gè)根為a，則有a-2=4，-2a=m，解得：a=6，m=-12.
18.(8分)(2018•武漢元調(diào))甲、乙、丙三個(gè)盒子中分別裝有除顏色外都相同的小球.甲盒中裝有兩個(gè)球，分別為一個(gè)紅球和一個(gè)綠球;乙盒中裝有三個(gè)球，分別為兩個(gè)綠球和一個(gè)紅球;丙盒中裝有兩個(gè)球，分別為一個(gè)紅球和一個(gè)綠球.從三個(gè)盒子中各隨機(jī)取出一個(gè)小球.
(1)請畫樹狀圖，列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)請直接寫出事件“取出至少一個(gè)紅球”的概率.
【解析】(1)如圖所示：
(2)P(取出至少一個(gè)紅球)=1012=56.
19.(8分)如圖，A是⊙O上一點(diǎn)，半徑OC的延長線與過點(diǎn)A的直線交于點(diǎn)B，OC=BC，AC=12OB.
(1)求證：AB是⊙O的切線;
(2)若∠ACD=45°，OC=2，求弦AD的長.
【解析】(1)如圖，連接OA.∵AC=12OB，OC=CB，∴AC=OC=CB，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切線.
(2)如圖，連接OD.∵∠DOA=2∠DCA，∠DCA=45°，∴∠DOA=90°.∵OD=OA=OC=2，∴AD=OD2+OA2=22+22=22.
20.(8分)某地2015年為做好“精準(zhǔn)扶貧”，投入資金1 280萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2017年在2015年的基礎(chǔ)上增加投入資金1 600萬元.
(1)從2015年到2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少?
(2)在2017年異地安置的具體實(shí)施中，該地計(jì)劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定前1 000戶(含第1 000戶)每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元，1 000戶以后每戶每天補(bǔ)助5元，按租房400天計(jì)算，試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)?
【解析】(1)設(shè)該地投入異地安置資金的年平均增長率為x，根據(jù)題意，得1280(1+x)2=1 280+1 600，解得x=0.5或x=-2.5(舍)，答：從2015年到2017年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為50%.
(2)設(shè)今年該地有a戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì)，根據(jù)題意，得：1 000×8×400+(a-1 000)×5×400≥5 000 000，解得：a≥1 900，答：今年該地至少有1 900戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì).
21.(8分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10.求CE的長度.
【解析】過點(diǎn)B作DA的垂線交DA的延長線于點(diǎn)M，M為垂足，延長DM到G，使MG=CE，連接BG，易知四邊形BCDM是正方形，在△BEC與△BGM中，BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BGM(SAS)，∴∠MBG=∠CBE，BE=BG.∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=∠MBG+∠ABM=45°，即∠ABE=∠ABG=45°.在△ABE與△ABG中，BE=BG，∠ABE=∠ABGAB=AB，，∴△ABE≌△ABG(SAS)，∴AG=AE=10.設(shè)CE=x，則AM=10-x，AD=12-(10-x)=2+x，DE=12-x.在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴100=(x+2)2+(12-x)2，即x2-10x+24=0，解得：x1=4，x2=6.故CE的長為4或6.
22.(10分)某服裝店購進(jìn)一批秋衣，價(jià)格為每件30元.物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每件60元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量y(件)是銷售單價(jià)x(元)的一次函數(shù)，且當(dāng)x=60時(shí)，y=80;x=50時(shí)，y=100.在銷售過程中，每天還要支付其他費(fèi)用450元.
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;
(2)求該服裝店銷售這批秋衣日獲利W(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該服裝店日獲利最大?最大獲利是多少元?
【解析】：(1)設(shè)y=kx+b，根據(jù)題意得60k+b=80，50k+b=100，解得k=-2，b=200，故y=-2x+200(30≤x≤60).
(2)W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x2+260x-6450=-2(x-65)2+2000.(3)W=-2(x-65)2+2000，∵a=-2<0，30≤x≤60，∴在x取值范圍內(nèi)，W隨x的增大而增大，則當(dāng)x=60時(shí)，W有最大值為1950元，∴當(dāng)銷售單價(jià)為60元時(shí)，該服裝店日獲利最大，為1950元.
23.(10分)如圖①，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B，P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M.CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM，PN.
(1)延長MP交CN于點(diǎn)E(如圖②).
①求證：△BPM≌△CPE;
?、谇笞C：PM=PN;
(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，點(diǎn)B，P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)PM=PN還成立嗎?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由;
(3)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其它條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎?不必說明理由.
【解析】(1)證明：①∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，∴∠BMA=∠CNM=90°，∴BM∥CN，∴∠MBP=∠ECP.又∵P為BC邊中點(diǎn)，∴BP=CP.又∵∠BPM=∠CPE，∴△BPM≌△CPE.②∵△BPM≌△CPE，∴PM=PE，∴PM=12ME，在Rt△MNE中，PN=12ME，∴PM=PN.
(2)成立.延長MP與NC的延長線相交于點(diǎn)E，∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，∴∠BMN=∠CNM=90°，∴∠BMN+∠CNM=180°，∴BM∥CN，∴∠MBP=∠ECP，又∵P為BC中點(diǎn)，∴BP=CP.又∵∠BPM=∠CPE，∴△BPM≌△CPE，∴PM=PE，∴PM=12ME.在Rt△MNE中，PN=12ME，∴PM=PN.
(3)如圖④，四邊形MBCN是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)和P為BC邊中點(diǎn)，得到△MBP≌△NCP，得PM=PN成立.即四邊形MBCN是矩形，且PM=PN成立.
24.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y=kx+n(k≠0)經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC=5.
(1)分別求直線BC和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
【解答】(1)∵C(0，3)，即OC=3，BC=5，∴在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得：OB=BC2-OC2=4，即B(4，0)，把B與C坐標(biāo)代入y=kx+n中，得：4k+n=0，n=3，解得：k=-34，n=3.∴直線BC解析式為y=-34x+3.由A(1，0)，B(4，0)，設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x-4)，把C(0，3)代入得：a=34，則拋物線解析式為y=34x2-154x+3.
(2)存在.如圖所示，分兩種情況考慮：∵拋物線解析式為y=34x2-154x+3，∴其對(duì)稱軸為直線x=52.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(52，y)，BC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)(52，98)，同時(shí)可求得CQ=258，BQ=158.當(dāng)P1C⊥CB時(shí)，△P1BC為直角三角形.P1C2=(52)2+(y-3)2，P1Q=y-98.∵P1Q2=P1C2+CQ2.解得y=193;當(dāng)P2B⊥BC時(shí)，△BCP2為直角三角形.P2B2=(4-52)2+y2，P2Q=98-y，∵P2Q2=P2B2+BQ2，解得y=-2.綜上所述，P1(52，193)或P2(52，-2).當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)P(52，y)，∵B(4，0)，C(0，3)，∴BC=5，∴BC2=PC2+PB2，即25=(52)2+(y-3)2+(52-4)2+y2，解得y=3±262，∴P3(52，3+262)，P4(52，3-262).綜上所述，P1(52，193)，P2(52，-2)，P3(52，3+262)，P4(52， ).
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