數(shù)學(xué)二次函數(shù)解題技巧大全
眾所周知，二次函數(shù)的函數(shù)式是y = ax2 + bx + c，觀察其函數(shù)式非常的簡(jiǎn)單，而與其對(duì)應(yīng)的拋物線圖像卻比較容易發(fā)生變形。下面是小編為大家整理的關(guān)于初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解題技巧，希望對(duì)您有所幫助。歡迎大家閱讀參考學(xué)習(xí)!
1初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解題技巧
畫出圖示教形結(jié)合。
函數(shù)是表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量"。函數(shù)自產(chǎn)生就和圖形結(jié)下了不解之緣。其實(shí)，我們現(xiàn)在研究函數(shù)也要依據(jù)函數(shù)的圖像，由圖像看性質(zhì)、由性質(zhì)看圖像，無論是函數(shù)概念還是性質(zhì)的教學(xué)都離不開圖像，都需要圖像的支撐，因?yàn)楹瘮?shù)和它的圖像是分不開的一個(gè)整體。所以函數(shù)知識(shí)的教學(xué)中，教師一定要幫助學(xué)生養(yǎng)成未解題，先作圖的習(xí)慣，函數(shù)概念教學(xué)中，教師可以借助于幾何畫板，圖形計(jì)算器等現(xiàn)代教學(xué)工具輔助教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生上機(jī)操作
通過計(jì)算機(jī)演繹各種函數(shù)的變化過程，使學(xué)生從直觀狀態(tài)下，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的各種性質(zhì)，并且，強(qiáng)烈的視覺效果引發(fā)的學(xué)習(xí)積極性，可以使記憶保持得更持久。函數(shù)概念的教學(xué)過程中，在教學(xué)方式的選擇上除了重點(diǎn)之處教師必不可少地講解之外，而對(duì)于學(xué)生容易認(rèn)識(shí)不清的地方，教師可以創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫澈螅寣W(xué)生采用合作學(xué)習(xí)的方式，進(jìn)行充分的交流與討論，凸現(xiàn)出問題，以便能及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思想上的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，澄清是非，幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和理解函數(shù)。
關(guān)注函數(shù)模型解題。
在利用數(shù)學(xué)解答實(shí)際問題的教學(xué)中，我們?cè)谶M(jìn)行行之有效的訓(xùn)練，并掌握各種類型問題的基礎(chǔ)上，應(yīng)及時(shí)總結(jié)應(yīng)用問題與數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系，歸納其歸屬哪類問題。例如現(xiàn)實(shí)生活中，廣泛存在的用料最省，造價(jià)最低，利潤(rùn)最大等最優(yōu)化問題歸于函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和方法解決。
當(dāng)然初中學(xué)生現(xiàn)有的水平還很低，但可以通過與生活的結(jié)合，讓學(xué)生充分領(lǐng)會(huì)到函數(shù)在實(shí)踐中的作用，就能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)有一個(gè)好的導(dǎo)向。教師在學(xué)科融合過程中，應(yīng)該處理好特定學(xué)科領(lǐng)域知識(shí)之間的整合，對(duì)幾類知識(shí)進(jìn)行再組織，從教育規(guī)律出發(fā)對(duì)學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行的融合，旨在解決如何教的問題。同時(shí)通過對(duì)知識(shí)的再組織，不斷提高教師對(duì)教育的認(rèn)識(shí)，這本身也是不斷發(fā)展、螺旋式上升的過程。
2淺析二次函數(shù)的解題技巧
數(shù)形結(jié)合
數(shù)形結(jié)合的方法，就是將數(shù)字與圖形二者進(jìn)行相互變換，不僅可以把問題變得更加簡(jiǎn)單，而且可以把抽象的問題變得更加具體，這種方法在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常用到. 通過對(duì)二次函數(shù)的定義以及性質(zhì)進(jìn)行學(xué)習(xí)，我們了解到它的圖像是一個(gè)拋物線，并且它的圖像還具有非常多的特殊性
例如，它具有對(duì)稱性、單調(diào)性等等，我們?cè)趯?duì)二次函數(shù)求解的過程中，可以充分地利用它的圖像所具有的這些性質(zhì)，它不僅可以把復(fù)雜的二次函數(shù)變得更加的簡(jiǎn)單，而且可以把二次函數(shù)變得更加直觀. 拋物線具有的對(duì)稱性是一個(gè)非常重要的解題思路. 二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸一般與y軸平行或者重合;它的另一大特性是連續(xù)性，并且與其對(duì)應(yīng)的方程最多只能夠有兩個(gè)實(shí)根，因此就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)區(qū)間，這可以為我們的解題帶來很多方便. 在解題的過程中還可以利用二次函數(shù)的單調(diào)性，這也是經(jīng)常用到的方法.
代數(shù)推理
眾所周知，二次函數(shù)的函數(shù)式是y = ax2 + bx + c，觀察其函數(shù)式非常的簡(jiǎn)單，而與其對(duì)應(yīng)的拋物線圖像卻比較容易發(fā)生變形，例如，在其中會(huì)有一般式、頂點(diǎn)式以及零點(diǎn)式等等，因此，在解決二次函數(shù)問題的過程中，其函數(shù)式會(huì)得到非常廣泛的應(yīng)用. 在二次函數(shù)的函數(shù)式y(tǒng) = ax2 + bx + c中，具有三個(gè)變量a，b，c，在確定這三個(gè)變量時(shí)一定要給出三個(gè)相互獨(dú)立的條件，有一些時(shí)候?qū)⑺o出的條件全部應(yīng)用完成之后還不能夠得出三個(gè)變量的值，這時(shí)我們就要使用逆向思維，看給出的條件中是否含有隱含條件，我們不能夠被其中的假象迷惑;
我們還應(yīng)該學(xué)會(huì)利用二次函數(shù)與方程根之間具有的關(guān)系，寫出它的頂點(diǎn)式，我們可以對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行假設(shè)，對(duì)其圖像進(jìn)行描繪;然后使用函數(shù)所具有的一些性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行限制，并且在對(duì)頂點(diǎn)式進(jìn)行運(yùn)用的過程中要非常的靈活. 頂點(diǎn)式看著比較復(fù)雜，而其中最簡(jiǎn)單的就是它，在此過程中充分的利用頂點(diǎn)式，最后一定會(huì)找到答案.
3初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)新思路
培養(yǎng)興趣
眾所周知，數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的、抽象的、需要較強(qiáng)邏輯思維的學(xué)科，它的這些特點(diǎn)也要求了學(xué)習(xí)該學(xué)科的學(xué)生需要有較強(qiáng)的邏輯思維.但是，數(shù)學(xué)又是我們初中學(xué)習(xí)中三門主要課程之一，不可否認(rèn)，數(shù)學(xué)是其中最重要的學(xué)科，是每名學(xué)生的必學(xué)課程，同時(shí)也是初中考試的必考科目.教師可以通過培養(yǎng)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，來提高初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)效果，通過學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)二次函數(shù)課程的高積極性
使其在課堂教學(xué)時(shí)積極地配合教師的教學(xué)，集中精力跟隨教師的上課進(jìn)度，積極思考教師上課時(shí)提出的問題.在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)過程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)教師在講臺(tái)上侃侃而談，下面的學(xué)生卻昏昏欲睡，像二次函數(shù)這樣涉及大量計(jì)算和分析的科目，對(duì)于學(xué)生的接受能力來說是較難的，因此，許多學(xué)校在對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行教學(xué)講解時(shí)出現(xiàn)了嚴(yán)重的兩極化現(xiàn)象，有些成績(jī)好、理解能力好的學(xué)生，上課認(rèn)真聽講，認(rèn)為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)是極具挑戰(zhàn)性的，但是對(duì)于有些本身成績(jī)差、接受能力較弱的學(xué)生來說，二次函數(shù)是他們根本聽不懂的內(nèi)容，根本沒有學(xué)習(xí)的必要，反正他們也聽不懂.
二次函數(shù)形象化
二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)非常抽象的教學(xué)過程，正因其抽象性和邏輯性，使得學(xué)生在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)上很難接受和掌握，為了學(xué)生能夠很好地學(xué)習(xí)和掌握二次函數(shù)，二次函數(shù)教學(xué)形象化是一個(gè)很重要的教學(xué)方式.
數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行二次函數(shù)教學(xué)過程中可以充分利用二次函數(shù)的圖像講解其基本性質(zhì)，將抽象化的理論知識(shí)用實(shí)際圖像來表述，便于學(xué)生的理解和想象.同時(shí)，在對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，我們還要合理地利用圖像教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，將其具體化，每當(dāng)遇到二次函數(shù)求解時(shí)，首先根據(jù)函數(shù)方程式畫一個(gè)簡(jiǎn)易的草圖，培養(yǎng)學(xué)生畫圖的好習(xí)慣，通過自己所畫的二次圖像真正地了解二次函數(shù)，并利用其解決問題.
4初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)性質(zhì)和運(yùn)用
運(yùn)用平行線造就同底等高的三角形等積
問題3 如圖3點(diǎn)A坐標(biāo)(2，4)，直線x=2交x軸于點(diǎn)B，拋物線y=x2從點(diǎn)O沿OA方向平移，交x=2于點(diǎn)P，頂點(diǎn)M(m，n)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng).當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短?此時(shí)相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.
此題中第一問可以先由A點(diǎn)坐標(biāo)和坐標(biāo)原點(diǎn)求出直線OA的解析式，進(jìn)而用m表示出n，進(jìn)而求出拋物線y=x2平移到M點(diǎn)后的新坐標(biāo)式，再令新坐標(biāo)式中x=2，求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的表達(dá)式(含有m)，視為m的函數(shù)，m∈[0，2]時(shí)，求出何時(shí)PB最短;難點(diǎn)是在第二問，在解決第二問之前，必須定性判斷出若Q點(diǎn)存在，那么如何首先以幾何方式尋找出Q點(diǎn)的位置，并根據(jù)幾何特征采用相應(yīng)的推理或計(jì)算步驟?如圖示，可以將直線PA左右平移，假設(shè)平移后與拋物線的交點(diǎn)為D且D、M與直線x=2水平距離相等，那么△DAP與△MAP同底(底為AP)等高，必然等積，所以D點(diǎn)即所求之一;同理，可以將直線AM平移，設(shè)平移后與拋物線交于E且E點(diǎn)與P點(diǎn)到AM等距，則△EAM與△PAM同底等高(底為AM)等積，E點(diǎn)也為所求;又或同理，可以將直線MP平移，設(shè)平移后與拋物線交于F且F點(diǎn)與A點(diǎn)到AM等距，則F點(diǎn)還為所求. 一旦尋求到解決的思路，則問題迎刃而解.
充分運(yùn)用雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)及其在坐標(biāo)軸上的投影、坐標(biāo)原點(diǎn)三點(diǎn)組成的三角形定積
雙曲線與二次函數(shù)結(jié)合的問題在近年中考中屢見不鮮，充分運(yùn)用雙曲線y=(a>0)上的動(dòng)點(diǎn)及其在坐標(biāo)軸上的投影、坐標(biāo)原點(diǎn)三點(diǎn)組成的三角形定積，這個(gè)定積就是雙曲線對(duì)應(yīng)的反比例函數(shù)解析式中的定值的一半，在一些問題中成為解決難點(diǎn)的關(guān)鍵.
已知拋物線y=ax2+b與雙曲線交于C點(diǎn)，連接CO，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿OA向A點(diǎn)移動(dòng)，作PM交拋物線的對(duì)稱軸于M點(diǎn)，已知△OMP的面積S與P點(diǎn)的坐標(biāo)x關(guān)系為S=4x2，當(dāng)△OMP與△OMC全等時(shí)，S=16， 且此時(shí)DM為OD的，試求拋物線的解析式.
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