試論化歸思想在立幾中的探究

試論化歸思想在立幾中的探究

　　我們在解決代數(shù)問題時經常使用化歸思想方法。數(shù)學解題過程實際上就是不斷的進行化歸的過程，化歸是數(shù)學研究中普遍采用的一種思想，也是解決實際問題的關鍵，而這一思想的應用在立體幾何的學習中尤為突出，不論是線線、線面、面面之間平行、垂直關系的轉化，空間圖形的證明與計算轉化為平面圖形的證明與計算，還是空間幾何關系轉化為向量的運算關系，幾乎貫穿于立體幾何的全部領域，而數(shù)學課堂上學生往往只注意了這些知識的學習，注意了新知識的增長，并未曾注意聯(lián)想到這些知識的觀點以及由此出發(fā)產生的解決問題的方法和策略，所以要增強學生對各種關系轉化的意識是關鍵，而這一意識的培養(yǎng)、增強全靠教師在教學中幫助學生有效地、有目的地進行化歸，從而提高解題能力。不妨先從實例來作研究。

　　一、題型的化歸：

　　1、化歸為基本題型：

　　立體幾何中我們知道有一些基本題形是我們平時經常研究的，如：正方體、四個面全為直角的三棱錐中的問題等。

　　棱長為a的正四面體的四個頂點均在一個球面上，求此球的表面積與體積.

　　解：以正四面體的每條棱作為一個正方體的面的一條對角線構造如圖所示的正方體，則該正四面體的外接球也就是正方體的外接球.

　　分析：聯(lián)系正四面體，如圖3，PA、PB、PC兩兩成600，高PO與棱PA所成的角即為圖8中PO與PA所成的角，而在正四面體中，PO與PA所成角的正弦值為 ，故PE= cm。

　　3、幾何問題代數(shù)化

　　如圖4，在長方形 中， ， ， 為 的中點， 為線段 (端點除外)上一動點.現(xiàn)將 沿 折起，使平面 平面 .在平面 內過點 作 ， 為垂足.設 ，則 的取值范圍是
　　

　　本題在解的過程中引進了變量 ，從而將求 的范圍問題轉化為求關于函數(shù)值域問題。

　　二、圖形的化歸

　　1、化歸為平面幾何問題

　　在立體幾何中，一般求表面距離最短問題通常都轉化為將此幾何體按一定要求側展，變空間問題為平面幾何問題。

　　如圖6，在四面體P—ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只螞蟻從A點出發(fā)沿著四面體的表面繞一周，再回到A點。

　　問：螞蟻沿著怎樣的路徑爬行時路程最短，最短路程是多少?
　　

　　解：如右圖，將四面體沿PA剪開，并將其側面展開平鋪在一個平面上，連接AA′分別交PB，PC于E，F(xiàn)兩點，則當螞蟻沿著A→E→F→A′路徑爬行時，路程最短.在△APA′中，∠APA′=90°，PA=PA′=2，∴AA′=22，即最短路程AA′的長為22.

　　2、化歸為平面圖形

　　在立體幾何中常將空間圖形中的條件有目的地化歸到幾何體內的一個平面圖形中去，再結合平面幾何知識來解決這個問題。

　　如圖7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a,E為棱CC1上的的動點.

　　(1)求證：A1E⊥BD;

　　(2)當E恰為棱CC1的中點時，求證：平面A1BD⊥平面EBD.
　　

　　證明：(1)略，

　　3、整體與局部的化歸

　　(1)補成整體：

　　設P，A，B，C是球O表面上的四個點，PA、PB、PC兩兩垂直，且 m，求球的體積與表面積。

　　解：在球O中構造一個正方體，使該正方體的棱長為1，則此正方體中的某四個點必滿足條件，故正方體的對角線長即為該球直徑，所以有 體積為 ，表面積為 。

　　將三棱錐補成正方體，是解決該題的關鍵。

　　(2)割成局部：

　　如圖8，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，

　　(Ⅰ)證明：C1C⊥BD;

　　分析：如果我們從該圖中僅觀察三棱錐C—BC1D，就可以研究上面問題。

　　綜上可見，運用化歸法解立體幾何題是一種很有力的工具，我們在解題當中，應當熟悉和掌握這一工具，并能自覺地運用這一工具?；瘹w是一種重要的數(shù)學思想。實際上，中學數(shù)學中，化歸方法的應用不僅體現(xiàn)在立體幾何中，它無處不在。所以數(shù)學中注意化歸思想的培養(yǎng)對學生學習數(shù)學，發(fā)展解題能力都無疑是至關重要的。

　　化歸方法之間彼此密切聯(lián)系，只是表現(xiàn)形式有所側重，總的來說，化歸方法就是把未知問題轉化為已知問題，把陌生問題轉化為熟悉問題，把繁雜問題轉化為簡單問題。而這里所說的轉化，不是無目的活動，問題的內部結構和相互之間的聯(lián)系，決定了處理這一問題的方式、方法。因此教師要充分揭示問題間的內部聯(lián)系，幫助學生學會分析問題，創(chuàng)造條件，實現(xiàn)轉化，是掌握化歸方法的關鍵。