淺談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)
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曹天元1由 分享
在過(guò)去的一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)教學(xué)的“目標(biāo)方向”有所偏離,片面追求升學(xué)率，甚至不惜放棄占大多數(shù)的中等生與后進(jìn)生，教師的全部精力投向優(yōu)等生。教師上課時(shí)始終圍繞例題講述，采取“零售”數(shù)學(xué)知識(shí)的辦法，把數(shù)學(xué)概念當(dāng)作“尾巴”來(lái)處理，不重視概念的教學(xué)，課后布置各種題型，采取題海戰(zhàn)術(shù)，老師整天忙忙碌碌鉆在題庫(kù)里,學(xué)生昏昏欲睡埋到解題中。結(jié)果，中高考試卷中有練習(xí)過(guò)的題目拿得住，而稍有變化的習(xí)題就呆住了。事實(shí)證明：只要求學(xué)生解習(xí)題，而不給學(xué)生講透數(shù)學(xué)概念、實(shí)質(zhì)問(wèn)題，等于只是給了學(xué)生一把對(duì)號(hào)開(kāi)鎖的鑰匙，而不是教給學(xué)生解剖鎖的結(jié)構(gòu)原理。不交給學(xué)生一把萬(wàn)能鑰匙，學(xué)生是很難找到竅門(mén)的。因此有必要進(jìn)行系統(tǒng)而又嚴(yán)肅的概念教學(xué)，事實(shí)上數(shù)學(xué)知識(shí)都是以概念為基礎(chǔ)的。要使學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，首先必須獲得清晰明確的數(shù)學(xué)概念。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)劚救嗽跀?shù)學(xué)概念教學(xué)中的幾點(diǎn)想法與體會(huì)。
一、理解概念的邏輯性
數(shù)學(xué)概念可分為兩個(gè)重要方面：一是概念的“質(zhì)”，也就是概念的內(nèi)涵（概念的本質(zhì)屬性）；二是概念的“量”，也就是概念的外延（概念的所有對(duì)象的和）。假如把一個(gè)概念當(dāng)作一個(gè)集合，那么概念的內(nèi)涵就是這個(gè)集合里的元素的所有的共同屬性的總和，而概念的外延則是這個(gè)集合中所有元素的全體。內(nèi)涵和外延是不可分割的兩部分,揭示概念的內(nèi)涵就不能不涉及到概念的外延的問(wèn)題。同時(shí)，概念的外延還有大小之分，外延大的叫做種概念，外延小的則叫做屬概念。當(dāng)然，種概念與屬概念也并不是絕對(duì)的，有理數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)說(shuō)是屬概念，但它對(duì)整數(shù)來(lái)說(shuō)又是種概念。一個(gè)概念，可能有許多的屬概念。一個(gè)屬概念與其他的屬概念本質(zhì)上的差別又稱(chēng)為屬差。要想給某一概念下定義，首先應(yīng)先向?qū)W生指出與被定義的概念最接近的概念是什么，再緊接著指出被定義概念的屬差，即概念定義=種概念+屬差。如：為了定義菱形，我們教學(xué)時(shí)可以先利用“平行四邊形”這一學(xué)過(guò)的概念，其主要原因是“平行四邊形”是菱形最接近的種概念，它規(guī)定了菱形所屬的類(lèi)別，但菱形不是一般的平行四邊形，它以“有一組鄰邊相等”這一特征與平行四邊形的另一屬概念——矩形區(qū)別開(kāi)，這樣就可以得到：菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等。
為了使學(xué)生能明確被定義的概念，教師就得先做到心中有數(shù)，準(zhǔn)確地找到與其最鄰近的種概念及其屬差，抓住概念的本質(zhì)特征，把握定義中的關(guān)鍵字句，弄清概念間的區(qū)別和它們的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的內(nèi)涵，加深對(duì)概念外延的理解。
因此，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中應(yīng)特別注意把不同的概念聯(lián)系在一起，進(jìn)行比較，并從不同側(cè)面加深對(duì)概念的理解，使它系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，這樣就不會(huì)造成學(xué)生對(duì)概念理解的模糊，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤地運(yùn)用。相反，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的貯藏，有利于“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。
二、明確概念的順序性
蘇科版教材中一般的數(shù)學(xué)概念，都是通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象或某些具體的事例的分析，經(jīng)過(guò)抽象概括而導(dǎo)出的，它有一個(gè)形成的過(guò)程。它們一般是從幾個(gè)原始的概念或者公理出發(fā)，通過(guò)一番推理而擴(kuò)展成為一系列的定義或者定理.而每一個(gè)新出現(xiàn)的概念都依賴(lài)著已有的概念來(lái)表達(dá)，或是由已有的概念推導(dǎo)出來(lái)的。例如蘇科版九上中的“一元二次方程”的概念，它就是由前置概念推導(dǎo)而來(lái)的，它緣自于蘇科版八下中“一元一次方程”的概念，而“一元一次方程” 的概念又是以蘇科版七下“整式方程、方程”等作為預(yù)備概念而得出的。如果對(duì)以上某一概念不理解或者一知半解，那得出新的概念或者它的解法就會(huì)有一定的難度，因此，在平時(shí)的教學(xué)中我們一定要注意概念教學(xué)的順序性。正是這些概念的出現(xiàn)的順序性才將我們的教材有機(jī)地串聯(lián)在一起，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。
針對(duì)概念形成的階段性、發(fā)展性和連貫性，我們教師教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意：在學(xué)生對(duì)某些預(yù)備概念模糊不清的情況下，千萬(wàn)不要急于引入新概念，最好先復(fù)習(xí)涉及新概念的相關(guān)預(yù)備概念，尤其是對(duì)特別重要的、關(guān)鍵性的預(yù)備概念，教師要反復(fù)強(qiáng)調(diào)，以求得學(xué)生較為徹底的理解，方可為新概念的導(dǎo)入作出良好的鋪墊。
三、掌握概念的抽象性
中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的許多原始概念，如點(diǎn)、線、面、體、數(shù)、常數(shù)、變數(shù)等等，都是由具體的事物觀察然后再抽象出來(lái)的。人們長(zhǎng)期觀察了月亮、太陽(yáng)、光線、水面等具體事物，逐步形成了有關(guān)“圓”、“直線”、“平面”等帶有共性的、本質(zhì)的概念。這些概念是對(duì)具體的數(shù)和形的感知而形成的表象，然后再由表象經(jīng)過(guò)抽象、概括而形成的。例如：正方形的面積S和它的邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系是S=a，邊長(zhǎng)a可在a>0的范圍內(nèi)任意選取，對(duì)于a的每一個(gè)確定的值，其面積S都有一個(gè)確定的值與它相對(duì)應(yīng)。若拋開(kāi)這個(gè)個(gè)性的關(guān)系，抽出共性的東西，并加以概括，就可以得到函數(shù)的概念：“在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，若對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的任一個(gè)取值，y都有惟一一個(gè)確定的值與它相對(duì)應(yīng)，那么，我們就把y稱(chēng)之為x的函數(shù)。”由此可知，概念是人們對(duì)感性材料進(jìn)行抽象的產(chǎn)物；感性認(rèn)識(shí)是形成概念的基礎(chǔ)。如果學(xué)生沒(méi)有感性認(rèn)識(shí)或感性認(rèn)識(shí)不完備時(shí)，我們就應(yīng)該借助于實(shí)物、模型、教具、圖形或形象的語(yǔ)言進(jìn)行較為直觀的教學(xué)，從而使學(xué)生從中獲得感性認(rèn)識(shí)。對(duì)于一些概念（屬概念），教師可以直接從已知的概念（種概念）中引入，不必再經(jīng)過(guò)取得感性認(rèn)識(shí)的階段。如有理數(shù)的概念，就可以直接從整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念中引入。
一、理解概念的邏輯性
數(shù)學(xué)概念可分為兩個(gè)重要方面：一是概念的“質(zhì)”，也就是概念的內(nèi)涵（概念的本質(zhì)屬性）；二是概念的“量”，也就是概念的外延（概念的所有對(duì)象的和）。假如把一個(gè)概念當(dāng)作一個(gè)集合，那么概念的內(nèi)涵就是這個(gè)集合里的元素的所有的共同屬性的總和，而概念的外延則是這個(gè)集合中所有元素的全體。內(nèi)涵和外延是不可分割的兩部分,揭示概念的內(nèi)涵就不能不涉及到概念的外延的問(wèn)題。同時(shí)，概念的外延還有大小之分，外延大的叫做種概念，外延小的則叫做屬概念。當(dāng)然，種概念與屬概念也并不是絕對(duì)的，有理數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)說(shuō)是屬概念，但它對(duì)整數(shù)來(lái)說(shuō)又是種概念。一個(gè)概念，可能有許多的屬概念。一個(gè)屬概念與其他的屬概念本質(zhì)上的差別又稱(chēng)為屬差。要想給某一概念下定義，首先應(yīng)先向?qū)W生指出與被定義的概念最接近的概念是什么，再緊接著指出被定義概念的屬差，即概念定義=種概念+屬差。如：為了定義菱形，我們教學(xué)時(shí)可以先利用“平行四邊形”這一學(xué)過(guò)的概念，其主要原因是“平行四邊形”是菱形最接近的種概念，它規(guī)定了菱形所屬的類(lèi)別，但菱形不是一般的平行四邊形，它以“有一組鄰邊相等”這一特征與平行四邊形的另一屬概念——矩形區(qū)別開(kāi)，這樣就可以得到：菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等。
為了使學(xué)生能明確被定義的概念，教師就得先做到心中有數(shù)，準(zhǔn)確地找到與其最鄰近的種概念及其屬差，抓住概念的本質(zhì)特征，把握定義中的關(guān)鍵字句，弄清概念間的區(qū)別和它們的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的內(nèi)涵，加深對(duì)概念外延的理解。
因此，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中應(yīng)特別注意把不同的概念聯(lián)系在一起，進(jìn)行比較，并從不同側(cè)面加深對(duì)概念的理解，使它系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，這樣就不會(huì)造成學(xué)生對(duì)概念理解的模糊，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤地運(yùn)用。相反，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的貯藏，有利于“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。
二、明確概念的順序性
蘇科版教材中一般的數(shù)學(xué)概念，都是通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象或某些具體的事例的分析，經(jīng)過(guò)抽象概括而導(dǎo)出的，它有一個(gè)形成的過(guò)程。它們一般是從幾個(gè)原始的概念或者公理出發(fā)，通過(guò)一番推理而擴(kuò)展成為一系列的定義或者定理.而每一個(gè)新出現(xiàn)的概念都依賴(lài)著已有的概念來(lái)表達(dá)，或是由已有的概念推導(dǎo)出來(lái)的。例如蘇科版九上中的“一元二次方程”的概念，它就是由前置概念推導(dǎo)而來(lái)的，它緣自于蘇科版八下中“一元一次方程”的概念，而“一元一次方程” 的概念又是以蘇科版七下“整式方程、方程”等作為預(yù)備概念而得出的。如果對(duì)以上某一概念不理解或者一知半解，那得出新的概念或者它的解法就會(huì)有一定的難度，因此，在平時(shí)的教學(xué)中我們一定要注意概念教學(xué)的順序性。正是這些概念的出現(xiàn)的順序性才將我們的教材有機(jī)地串聯(lián)在一起，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。
針對(duì)概念形成的階段性、發(fā)展性和連貫性，我們教師教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意：在學(xué)生對(duì)某些預(yù)備概念模糊不清的情況下，千萬(wàn)不要急于引入新概念，最好先復(fù)習(xí)涉及新概念的相關(guān)預(yù)備概念，尤其是對(duì)特別重要的、關(guān)鍵性的預(yù)備概念，教師要反復(fù)強(qiáng)調(diào)，以求得學(xué)生較為徹底的理解，方可為新概念的導(dǎo)入作出良好的鋪墊。
三、掌握概念的抽象性
中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的許多原始概念，如點(diǎn)、線、面、體、數(shù)、常數(shù)、變數(shù)等等，都是由具體的事物觀察然后再抽象出來(lái)的。人們長(zhǎng)期觀察了月亮、太陽(yáng)、光線、水面等具體事物，逐步形成了有關(guān)“圓”、“直線”、“平面”等帶有共性的、本質(zhì)的概念。這些概念是對(duì)具體的數(shù)和形的感知而形成的表象，然后再由表象經(jīng)過(guò)抽象、概括而形成的。例如：正方形的面積S和它的邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系是S=a，邊長(zhǎng)a可在a>0的范圍內(nèi)任意選取，對(duì)于a的每一個(gè)確定的值，其面積S都有一個(gè)確定的值與它相對(duì)應(yīng)。若拋開(kāi)這個(gè)個(gè)性的關(guān)系，抽出共性的東西，并加以概括，就可以得到函數(shù)的概念：“在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，若對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的任一個(gè)取值，y都有惟一一個(gè)確定的值與它相對(duì)應(yīng)，那么，我們就把y稱(chēng)之為x的函數(shù)。”由此可知，概念是人們對(duì)感性材料進(jìn)行抽象的產(chǎn)物；感性認(rèn)識(shí)是形成概念的基礎(chǔ)。如果學(xué)生沒(méi)有感性認(rèn)識(shí)或感性認(rèn)識(shí)不完備時(shí)，我們就應(yīng)該借助于實(shí)物、模型、教具、圖形或形象的語(yǔ)言進(jìn)行較為直觀的教學(xué)，從而使學(xué)生從中獲得感性認(rèn)識(shí)。對(duì)于一些概念（屬概念），教師可以直接從已知的概念（種概念）中引入，不必再經(jīng)過(guò)取得感性認(rèn)識(shí)的階段。如有理數(shù)的概念，就可以直接從整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念中引入。