幾何分布有哪些公式及發(fā)展分支
幾何分布有哪些公式及發(fā)展分支
幾何分布是離散型概率分布。幾何分布也是有一定的計(jì)算公式的。以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理的幾何分布的內(nèi)容，希望大家喜歡!
幾何分布的定義
其中一種定義為：在n次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)k次才得到第一次成功的機(jī)率。詳細(xì)地說，是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。
幾何分布的公式
公式：X ~ G (p)
它分兩種情況：
1. 得到1次成功而進(jìn)行n次伯努利試驗(yàn)，n的概率分布，取值范圍為『1，2，3，...』;
2. m = n-1次失敗，第n次成功，m的概率分布，取值范圍為『0，1，2，3，...』.
實(shí)際使用中指的是哪一個(gè)取決于慣例和使用方便。
這兩種分布不應(yīng)該混淆。前一種形式(X的分布)經(jīng)常被稱作shiftedgeometric distribution;但是，為了避免歧義，最好明確地說明取值范圍。
如果每次試驗(yàn)的成功概率是p，那么k次試驗(yàn)中，第k次才得到成功的概率是，
其中k= 1, 2, 3, ....
上式描述的是取得一次成功所需要的試驗(yàn)次數(shù)。而另一種形式，也就是第一次成功之前所失敗的次數(shù)，可以寫為，
其中k= 0, 1, 2, 3, ....
兩種情況產(chǎn)生的序列都是幾何數(shù)列。
比如，假設(shè)不停地?cái)S骰子，直到得到1。投擲次數(shù)是隨機(jī)分布的，取值范圍是無窮集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一個(gè)p= 1/6的幾何分布。
幾何的發(fā)展分支
幾何學(xué)發(fā)展
幾何學(xué)發(fā)展歷史悠長，內(nèi)容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等關(guān)系極其密切。幾何思想是數(shù)學(xué)中最重要的一類思想。暫時(shí)的數(shù)學(xué)各分支發(fā)展都有幾何化趨向，即用幾何觀點(diǎn)及思想方法去探討各數(shù)學(xué)理論。
平面與立體
最早的幾何學(xué)當(dāng)屬平面幾何。平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線(即圓錐曲線，就是橢圓、雙曲線和拋物線)的幾何結(jié)構(gòu)和度量性質(zhì)(面積、長度、角度)。平面幾何采用了公理化方法，在數(shù)學(xué)思想史上具有重要的意義。
平面幾何的內(nèi)容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何。為了計(jì)算體積和面積問題，人們實(shí)際上已經(jīng)開始涉及微積分的最初概念。
笛卡爾引進(jìn)坐標(biāo)系后，代數(shù)與幾何的關(guān)系變得明朗， 且日益緊密起來。這就促使了解析幾何的產(chǎn)生。解析幾何是由笛卡爾、費(fèi)馬分別獨(dú)立創(chuàng)建的。這又是一次具有里程碑意義的事件。從解析幾何的觀點(diǎn)出發(fā)，幾何圖形的性質(zhì)可以歸結(jié)為方程的分析性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì)。幾何圖形的分類問題(比如把圓錐曲線分為三類)，也就轉(zhuǎn)化為方程的代數(shù)特征分類的問題，即尋找代數(shù)不變量的問題。
立體幾何歸結(jié)為三維空間解析幾何的研究范疇，從而研究二次曲面(如球面，橢球面、錐面、雙曲面，鞍面)的幾何分類問題，就歸結(jié)為研究代數(shù)學(xué)中二次型的不變量問題。
總體上說，上述的幾何都是在歐氏空間的幾何結(jié)構(gòu)--即平坦的空間結(jié)構(gòu)--背景下考察，而沒有真正關(guān)注彎曲空間下的幾何結(jié)構(gòu)。歐幾里得幾何公理本質(zhì)上是描述平坦空間的幾何特性，特別是第五公設(shè)引起了人們對其正確性的疑慮。由此人們開始關(guān)注其彎曲空間的幾何， 即“非歐幾何”。非歐幾何中包括了最經(jīng)典幾類幾何學(xué)課題， 比如“球面幾何”，“羅氏幾何”等等。另一方面，為了把無窮遠(yuǎn)的那些虛無縹緲的點(diǎn)也引入到觀察范圍內(nèi)， 人們開始考慮射影幾何。
這些早期的非歐幾何學(xué)總的來說，是研究非度量的性質(zhì)，即和度量關(guān)系不大，而只關(guān)注幾何對象的位置問題--比如平行、相交等等。 這幾類幾何學(xué)所研究的空間背景都是彎曲的空間。
微分幾何
為了引入彎曲空間的上的度量(長度、面積等等)，我們就需要引進(jìn)微積分的方法去局部分析空間彎曲的性質(zhì)。微分幾何于是應(yīng)運(yùn)而生。研究曲線和曲面的微分幾何稱為古典微分幾何。但古典微分幾何討論的對象必須事先嵌入到歐氏空間里，才定義各種幾何概念等等(比如切線、曲率)。一個(gè)幾何概念如果和幾何物體所處的空間位置無關(guān)，而只和其本身的性態(tài)相關(guān)，我們就說它是內(nèi)蘊(yùn)的。用物理的語言來說，就是幾何性質(zhì)必須和參考系選取無關(guān)。
內(nèi)蘊(yùn)幾何
哪些幾何概念是內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)的?這是當(dāng)時(shí)最重要的理論問題。高斯發(fā)現(xiàn)了曲面的曲率(即反映彎曲程度的量)竟然是內(nèi)蘊(yùn)的---盡管它的原始定義看上去和所處的大空間位置有關(guān)。這個(gè)重要發(fā)現(xiàn)就稱為高斯絕妙定理。古典幾何的另一個(gè)重要發(fā)現(xiàn)就是高斯-博納特公式，它反映了曲率和彎曲空間里的三角形三角之和的關(guān)系。
研究內(nèi)蘊(yùn)幾何的學(xué)科首屬黎曼幾何·黎曼在一次著名的演講中，創(chuàng)立了這門奠基性的理論。它首次強(qiáng)調(diào)了內(nèi)蘊(yùn)的思想， 并將所有此前的幾何學(xué)對象都?xì)w納到更一般的范疇里，內(nèi)蘊(yùn)地定義了諸如度量等等的幾何概念。 這門幾何理論打開了近代幾何學(xué)的大門，具有里程碑的意義。它也成為了愛因斯坦的廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
從黎曼幾何出發(fā)，微分幾何進(jìn)入了新的時(shí)代，幾何對象擴(kuò)展到了流形(一種彎曲的幾何物體)上--這一概念由龐加萊引入。由此發(fā)展出了諸如張量幾何、黎曼曲面理論、復(fù)幾何、霍奇理論、纖維叢理論、芬斯勒幾何、莫爾斯理論、形變理論等等。
從代數(shù)的角度看， 幾何學(xué)從傳統(tǒng)的解析幾何發(fā)展成了更一般的一門理論--代數(shù)幾何。傳統(tǒng)代數(shù)幾何就是研究多項(xiàng)式方程組的零點(diǎn)集合作為幾何物體所具有的幾何結(jié)構(gòu)和性質(zhì)--這種幾何體叫做代數(shù)簇。解析幾何所研究的直線、圓錐曲線、球面、錐面等等都是其中的特例。稍微推廣一些，就是代數(shù)曲線，特別是平面代數(shù)曲線， 它相應(yīng)于黎曼曲面。代數(shù)幾何可以用交換代數(shù)的環(huán)和模的語言來描述，也可以從復(fù)幾何、霍奇理論等分析的方法去探討。代數(shù)幾何的思想也被引入到數(shù)論中， 從而促使了抽象代數(shù)幾何的發(fā)展，比如算術(shù)代數(shù)幾何。
拓?fù)鋵W(xué)
拓?fù)鋵W(xué)是和傳統(tǒng)幾何密切相關(guān)的一門重要學(xué)科，也可以視為一種“柔性”的幾何學(xué)， 也是所有幾何學(xué)的研究基礎(chǔ)。拓?fù)鋵W(xué)研究始于歐拉，經(jīng)由龐加萊等人的研究發(fā)展，逐漸成為比較成熟的數(shù)學(xué)分支和活躍的研究方向。拓?fù)鋵W(xué)思想是數(shù)學(xué)思想中極為關(guān)鍵的內(nèi)容。它討論了刻畫幾何物體最基本的一些特征，比如虧格(洞眼個(gè)數(shù))等等 。由此發(fā)展出了同調(diào)論、同倫論等等基礎(chǔ)性的理論。
其他學(xué)科
除了以上傳統(tǒng)幾何學(xué)之外，我們還有閔可夫斯基建立的“數(shù)的幾何”; 與近代物理學(xué)密切相關(guān)的新學(xué)科“熱帶幾何”;探討維數(shù)理論的“分形幾何”;還有“凸幾何”、“組合幾何”、“計(jì)算幾何”、“排列幾何”、“直觀幾何”等等。
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3.什么是幾何分布