正弦定理和余弦定理

正弦定理可以用它們來求解三角形的邊長或角的大小，或者判斷一個(gè)三角形是否可能存在等。余弦定理則描述了三角形中任意一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角的余弦值的積的兩倍。

正弦定理是什么

正弦定理是三角學(xué)中的一個(gè)基本定理，它定義了在任意三角形中，角A、B、C所對的邊長a、b、c與它們的正弦值之比相等，都等于外接圓的直徑，即a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2r=D(r為外接圓半徑，D為直徑)。這個(gè)定理也可以表達(dá)為在任意一個(gè)平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑。

正弦定理的應(yīng)用非常廣泛，在解決三角形問題時(shí)非常有用。例如，可以用正弦定理來求解三角形的邊長或角的大小，或者判斷一個(gè)三角形是否可能存在等。

余弦定理是什么

余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個(gè)角的余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣。余弦定理中角條件是唯一的，所以角的對邊在等式左邊，兩鄰邊及角的余弦在等式右邊。等式右邊除夾角余弦值外的部分，可以看作是差的完全平方公式，可以輔助我們記憶。

正弦定理的證明方法

方法1、直接過三角形一頂點(diǎn)如C作對邊AB的垂線(設(shè)垂線長為h),則sinA=h/b,sinB=h/a,所以，sinA/a=sinB/b，同理可得sinC/c=sinB/b,因此a/sinA=b/sinB=c/sinC。

方法2、利用三角形面積公式：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2casinB,整理即得：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

方法3：作三角形的外接圓，過B作邊BC的垂線交圓于D，連接CD,因圓周角為直角，則CD長為直徑(不妨直徑長度設(shè)為d)。因圓周角相等，即角D=角A，所以sinA=sinD=BC/CD=a/d,同理可證sinB=b/d,sinC=c/d.所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。

方法4.還有一種向量的方法，在舊版課本上。

正弦定理證明具體步驟

步驟1.

在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到 a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個(gè)等式。

余弦定理的證明方法

平面向量證法：

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對角線代表兩個(gè)鄰邊大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗體字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)

再拆開，得c^2=a^2+b^2-2__a__b__CosC

同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

平面幾何證法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB__c，AD=sinB__c，DC=BC-BD=a-cosB__c

根據(jù)勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB__c)^2+(a-cosB__c)^2

b^2=sinB?·c?+a^2+cosB?·c^2-2ac__cosB

b^2=(sinB^2+cosB^2)__c^2-2ac__cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac__cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac