正弦定理與余弦定理的多種證明方法
正弦定理:在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。余弦定理:三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。以下是小編為大家收集的關(guān)于正弦定理與余弦定理的證明方法的相關(guān)內(nèi)容，供大家參考！
正弦定理與余弦定理的證明方法
利用三角形的面積公式證明正弦定理：
設(shè)三角形的外接圓半徑為R，則三角形的面積S為：
S=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC
由正弦定理可知：
sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R
將sinA、sinB、sinC代入面積公式得：
S=1/(4R2)acimes(a/2R)imes(b/2R)imes(c/2R)=abc/8R2
因?yàn)槿切蔚拿娣e是定值，所以abc=8R^2，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。
利用余弦定理證明正弦定理：
設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，對(duì)應(yīng)角分別為A、B、C，則有：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
將上述三個(gè)式子相乘得：
cosA×cosB×cosC=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)×(a^2+c^2-b^2)/(2ac)×(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
由于cosA、cosB、cosC的乘積是常數(shù)，因此可以得出：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
余弦定理的證明方法有很多種，這里只列舉其中一種：
余弦定理：在任意三角形ABC中，有a^2=b^2+c^2-2bc cos A。
證明：在三角形ABC中，作AD垂直于BC于D點(diǎn)。
在直角三角形ABD中，有：
cos A=(AD/AB)^2=(BD/AB)^2=(BC/AB)^2
所以，a^2=b^2+c^2-2bc cos A。
如何區(qū)分正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理都是解決三角形中缺失邊長(zhǎng)或角度的定理，但它們的應(yīng)用場(chǎng)景和計(jì)算方式不同。 正弦定理適用于已知一個(gè)角和與其對(duì)應(yīng)的兩條邊，求第三條邊或另一個(gè)角的情況。其公式為：$\frac{a}{\sin A}=\frac{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a,b,c$為三角形的三條邊，$A,B,C$為三角形的三個(gè)角度。 余弦定理適用于已知三角形的兩條邊和它們夾角，求第三條邊或另一個(gè)角的情況。其公式為：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，其中$a,b,c$為三角形的三條邊，$C$為$a,b$兩邊夾角的度數(shù)。 因此，當(dāng)已知一個(gè)角和與其對(duì)應(yīng)的兩條邊時(shí)，應(yīng)使用正弦定理;當(dāng)已知三角形的兩條邊和它們夾角時(shí)，應(yīng)使用余弦定理。
高中數(shù)學(xué)正弦定理公式
數(shù)學(xué)正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式：cos A=(b?+c?-a?)/2bc。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決三角形的問(wèn)題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來(lái)更為方便、靈活。
一、正弦定理推論公式
1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。
2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。
二、余弦定理推論公式
1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
三、正弦定理的運(yùn)用：
1、已知三角形的兩角與一邊，解三角形。
2、已知三角形的兩邊和其中一邊所對(duì)的角，解三角形。
3、運(yùn)用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。
四、余弦定理的運(yùn)用：
1、當(dāng)已知三角形的兩邊及其夾角，可由余弦定理得出已知角的對(duì)邊。
2、當(dāng)已知三角形的三邊，可以由余弦定理得到三角形的三個(gè)內(nèi)角。
3、當(dāng)已知三角形的三邊，可以由余弦定理得到三角形的面積。
正弦定理證明常見(jiàn)的四種方法
正弦定理是三角形中一個(gè)重要的定理，它描述了三角形中邊長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)角的正弦值之間的比例關(guān)系。
正弦定理的證明方法有很多種，以下是四種常見(jiàn)的證明方法：
方法一：利用三角形的面積公式
證明：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，則三角形的面積S為：
S=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC
由正弦定理可知：
sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R
將sinA、sinB、sinC代入面積公式得：
S=1/(4R2)acimes(a/2R)imes(b/2R)imes(c/2R)=abc/8R2
因?yàn)槿切蔚拿娣e是定值，所以abc=8R2，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。
方法二：利用余弦定理
證明：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，對(duì)應(yīng)角分別為A、B、C，則有：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
將上述三個(gè)式子相乘得：
cosA×cosB×cosC=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)×(a^2+c^2-b^2)/(2ac)×(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
由于cosA、cosB、cosC的乘積是常數(shù)，因此可以得出：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
方法三：利用向量數(shù)量積
證明：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，對(duì)應(yīng)角分別為A、B、C，則有：
向量BA與向量BC的數(shù)量積為：
|BA|×|BC|×cosB=(|AB|×|AC|)×cos(π-A)
由于cosB和cos(π-A)都不為0，因此可以得出：
|BA|/|BC|=|AC|/|AB|=sinA/sinC
同理可以得出：
|BA|/|AB|=sinB/sinA
|BC|/|AC|=sinC/sinB
因此可以得出：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
方法四：利用正弦定理的推論
證明：由正弦定理可知，在任意三角形ABC中，有：
a=2RimessinA
b=2RimessinB
c=2RimessinC
所以可以得出：
a/sinA=b/sinB=c/sinC
高中數(shù)學(xué)大題解題方法與技巧
一、三角函數(shù)題
注意歸一公式、誘導(dǎo)公式的正確性(轉(zhuǎn)化成同名同角三角函數(shù)時(shí)，套用歸一公式、誘導(dǎo)公式(奇變、偶不變;符號(hào)看象限)時(shí)，很容易因?yàn)榇中?，?dǎo)致錯(cuò)誤!一著不慎，滿盤(pán)皆輸!)。
二、數(shù)列題
1.證明一個(gè)數(shù)列是等差(等比)數(shù)列時(shí)，最后下結(jié)論時(shí)要寫(xiě)上以誰(shuí)為首項(xiàng)，誰(shuí)為公差(公比)的等差(等比)數(shù)列;
2.最后一問(wèn)證明不等式成立時(shí)，如果一端是常數(shù)，另一端是含有n的式子時(shí)，一般考慮用放縮法;如果兩端都是含n的式子，一般考慮數(shù)學(xué)歸納法(用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，當(dāng)n=k+1時(shí)，一定利用上n=k時(shí)的假設(shè)，否則不正確。利用上假設(shè)后，如何把當(dāng)前的式子轉(zhuǎn)化到目標(biāo)式子，一般進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，這一點(diǎn)是有難度的。簡(jiǎn)潔的方法是，用當(dāng)前的式子減去目標(biāo)式子，看符號(hào)，得到目標(biāo)式子，下結(jié)論時(shí)一定寫(xiě)上綜上：由①②得證;
3.證明不等式時(shí)，有時(shí)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性很簡(jiǎn)單(所以要有構(gòu)造函數(shù)的意識(shí))。
三、立體幾何題
1.證明線面位置關(guān)系，一般不需要去建系，更簡(jiǎn)單;
2.求異面直線所成的角、線面角、二面角、存在性問(wèn)題、幾何體的高、表面積、體積等問(wèn)題時(shí)，要建系;
3.注意向量所成的角的余弦值(范圍)與所求角的余弦值(范圍)的關(guān)系(符號(hào)問(wèn)題、鈍角、銳角問(wèn)題)。
四、概率問(wèn)題
1.搞清隨機(jī)試驗(yàn)包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù);
2.搞清是什么概率模型，套用哪個(gè)公式;
3.記準(zhǔn)均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差公式;
4.求概率時(shí)，正難則反(根據(jù)p1+p2+...+pn=1);
5.注意計(jì)數(shù)時(shí)利用列舉、樹(shù)圖等基本方法;
6.注意放回抽樣，不放回抽樣;
7.注意“零散的”的知識(shí)點(diǎn)(莖葉圖，頻率分布直方圖、分層抽樣等)在大題中的滲透;
8.注意條件概率公式;
9.注意平均分組、不完全平均分組問(wèn)題。
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法有哪些
一、夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)
高考數(shù)學(xué)題中容易題、中等題、難題的比重為3：5：2，即基礎(chǔ)題占80%，難題占20%。
無(wú)論是一輪、二輪，還是三輪復(fù)習(xí)都把“三基”即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法作為重中之重，死握一些難題的做法非常危險(xiǎn)!也只有“三基”過(guò)關(guān)，才有能力去做難題。
二、建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，是在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，把大量的數(shù)學(xué)概念、定理、公式等陳述性知識(shí)，讓學(xué)生在主動(dòng)參與、積極構(gòu)建的基礎(chǔ)上，形成越來(lái)越有層次的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生體驗(yàn)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，形成解決問(wèn)題的產(chǎn)生方式，因此，在高考復(fù)習(xí)中，在夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，把握縱橫聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。在加強(qiáng)各知識(shí)塊的聯(lián)系之后，抓主干知識(shí)，理清框架。
三、注重通性通法
近幾年的高考題都注重對(duì)通性通法的考查，這樣避開(kāi)了過(guò)死、過(guò)繁和過(guò)偏的題目，解題思路不依賴特殊技巧，思維方向多、解題途徑多、方法活、注重發(fā)散思維的考查。在復(fù)習(xí)中千萬(wàn)不要過(guò)多“玩技巧”，過(guò)多的用技巧，會(huì)使成績(jī)好的學(xué)生“走火入魔”，成績(jī)差的學(xué)生“信心盡失”。