證明三角形重心判定定義

三角形的重心是三角形三條邊的中線的交點，三角形的重心與三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等。下面小編給大家?guī)碜C明三角形重心判定定義，希望能幫助到大家!

證明三角形重心判定定義

1、重心到頂點的距離是重心到對邊中點的距離的2倍。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其重心坐標為((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。

推論：由性質1可知GA+GB+GC=0

向量BO與向量BF共線，故可設BO=xBF,

根據(jù)三角形加法法則：向量AO=AB+BO

=a+ xBF=a+ x(AF-AB)

= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.

向量CO與向量CD共線，故可設CO=yCD,

根據(jù)三角形加法法則：向量AO=AC+CO

=b+ yCD=b+y(AD-AC)

= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.

則1-x= y/2， x/2=1-y，

解得x=2/3,y=2/3.

證明三角形重心判定定理

中線定理，又稱重心定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關系。

三角形一條中線兩側所對邊平方的和等于底邊的平方的一半加上這條中線的平方的2倍。

在△ABC中，AI為BC邊上的中線。求證：AB?+AC?=1/2(BC)?+2AI?

以BC的中點I為原點，直線BC為x軸，射線IC方向為x軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系。設A點坐標為(m，n)，B點坐標為(-a，0)，則C點坐標為(a，0)。

過A點做AD⊥x軸交x軸于點D，AE⊥y軸交y軸于點E，則D(m，0)，E(0，n)。

由勾股定理可得

AO?=m?+n?,

中線定理的證明

中線定理的證明

AB?=(a-m)?+n?=a?-2am+m?+n?,

AC?=(a+m)?+n?=a?+2am+m?+n?.

∴AB?+AC?=a?+2am+m?+n?+a?-2am+m?+n?

=2a?+2m?+2n?=2a?+2(m?+n?)

又∵AO?=m?+n?,

∴AB?+AC?=2a?+2AO?

又∵B(-a，0)，C(a，0),

∴a=BC

∴a?=BC?

∴2a?=2·BC?=BC?

∴AB?+AC?=BC?+2AO?=BC?+2AI?。

證明三角形重心判定性質

1、三角形的重心與三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等。

2、三角形的重心也是它的中點三角形的重心。

證明：過E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

證明三角形重心判定定義相關文章：

★ 等腰三角形知識總結

★ 中考數(shù)學三角形復習試題以及答案

★ 初中數(shù)學知識點總結

★ 初二數(shù)學第一章思維導圖

★ 初中九年級數(shù)學知識點

★ 初三數(shù)學上冊第一單元知識點(暑期預習)

★ 八年級數(shù)學知識點下冊

★ 高中數(shù)學重點知識點最新

★ 初二數(shù)學知識點復習整理

★ 高考數(shù)學重點知識概括整理