遼寧省高三數(shù)學一模試卷答案解析
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遼寧省高三數(shù)學一模試卷答案解析選擇題
(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1.(5分)(2015•沈陽一模)若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，則集合(∁UM)∩N等于( )
A. {2，3} B. {2，3，5，6} C. {1，4} D. {1，4，5，6}
【考點】： 交、并、補集的混合運算.
【專題】： 集合.
【分析】： 根據(jù)集合的基本運算即可得到結(jié)論.
【解析】： 解：由補集的定義可得∁UN={2，3，5}，
則(∁UN)∩M={2，3}，
故選：A
【點評】： 本題主要考查集合的基本運算，比較基礎.
2.(5分)(2015•沈陽一模)設復數(shù)z滿足(1﹣i)z=2i，則z=( )
A. ﹣1+i B. ﹣1﹣i C. 1+i D. 1﹣i
【考點】： 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.
【專題】： 計算題.
【分析】： 根據(jù)所給的等式兩邊同時除以1﹣i，得到z的表示式，進行復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，整理成最簡形式，得到結(jié)果.
【解析】： 解：∵復數(shù)z滿足z(1﹣i)=2i，
∴z= =﹣1+i
故選A.
【點評】： 本題考查代數(shù)形式的除法運算，是一個基礎題，這種題目若出現(xiàn)一定是一個送分題目，注意數(shù)字的運算.
3.(5分)(2014•安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【考點】： 充要條件.
【專題】： 計算題;簡易邏輯.
【分析】： 根據(jù)不等式的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結(jié)論.
【解析】： 解：∵x<0，∴x+1<1，當x+1>0時，ln(x+1)<0;
∵ln(x+1)<0，∴0
∴“x<0”是ln(x+1)<0的必要不充分條件.
故選：B.
【點評】： 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關鍵，比較基礎.
4.(5分)(2015•沈陽一模)拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點坐標是( )
A. (0，a) B. (a，0) C. (0， ) D. ( ，0)
【考點】： 拋物線的簡單性質(zhì).
【專題】： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】： 先將拋物線的方程化為標準式，再求出拋物線的焦點坐標.
【解析】： 解：由題意知，y=4ax2(a≠0)，則x2= ，
所以拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點坐標是(0， )，
故選：C.
【點評】： 本題考查拋物線的標準方程、焦點坐標，屬于基礎題.
5.(5分)(2015•沈陽一模)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sn+2﹣Sn=36，則n=( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【考點】： 等差數(shù)列的性質(zhì).
【專題】： 等差數(shù)列與等比數(shù)列.
【分析】： 由Sn+2﹣Sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差數(shù)列的通項公式求解n.
【解析】： 解：由Sn+2﹣Sn=36，得：an+1+an+2=36，
即a1+nd+a1+(n+1)d=36，
又a1=1，d=2，
∴2+2n+2(n+1)=36.
解得：n=8.
故選：D.
【點評】： 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的通項公式，是基礎題.
6.(5分)(2015•沈陽一模)已知某幾何體的三視圖如，根據(jù)圖中標出的尺寸 (單位：cm)，可得這個幾何體的體積是( )
A. B. C. 2cm3 D. 4cm3
【考點】： 棱柱、棱錐、棱臺的體積.
【專題】： 空間位置關系與距離.
【分析】： 由題目給出的幾何體的三視圖，還原得到原幾何體，然后直接利用三棱錐的體積公式求解.
【解析】： 解：由三視圖可知，該幾何體為底面是正方形，且邊長為2cm，高為2cm的四棱錐，
如圖，
故 ，
故選B.
【點評】： 本題考查了棱錐的體積，考查了空間幾何體的三視圖，能夠由三視圖還原得到原幾何體是解答該題的關鍵，是基礎題.
7.(5分)(2015•沈陽一模)已知x，y滿足約束條件 ，則z=2x+y的最大值為( )
A. 3 B. ﹣3 C. 1 D.
【考點】： 簡單線性規(guī)劃.
【專題】： 計算題.
【分析】： 先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可.
【解析】： 解：作圖
易知可行域為一個三角形，
當直線z=2x+y過點A(2，﹣1)時，z最大是3，
故選A.
【點評】： 本小題是考查線性規(guī)劃問題，本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題.
8.(5分)(2015•沈陽一模)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值為( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【考點】： 程序框圖.
【專題】： 計算題;規(guī)律型;算法和程序框圖.
【分析】： 分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出輸出不滿足條件S=0+1+2+8+…<100時，k+1的值.
【解析】： 解：分析程序中各變量、各語句的作用，
再根據(jù)流程圖所示的順序，
可知：該程序的作用是：
輸出不滿足條件S=0+1+2+8+…<100時，k+1的值.
第一次運行：滿足條件，s=1，k=1;
第二次運行：滿足條件，s=3，k=2;
第三次運行：滿足條件，s=11<100，k=3;滿足判斷框的條件，繼續(xù)運行，
第四次運行：s=1+2+8+211>100，k=4，不滿足判斷框的條件，退出循環(huán).
故最后輸出k的值為4.
故選：A.
【點評】： 本題考查根據(jù)流程圖(或偽代碼)輸出程序的運行結(jié)果.這是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：：①分析流程圖(或偽代碼)，從流程圖(或偽代碼)中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)(如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理)⇒②建立數(shù)學模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型③解模.
9.(5分)(2015•沈陽一模)已知函數(shù) ，若 ，則f(﹣a)=( )
A. B. C. D.
【考點】： 函數(shù)的值.
【專題】： 計算題.
【分析】： 利用f(x)=1+ ，f(x)+f(﹣x)=2即可求得答案.
【解析】： 解：∵f(x)= =1+ ，
∴f(﹣x)=1﹣ ，
∴f(x)+f(﹣x)=2;
∵f(a)= ，
∴f(﹣a)=2﹣f(a)=2﹣ = .
故選C.
【點評】： 本題考查函數(shù)的值，求得f(x)+f(﹣x)=2是關鍵，屬于中檔題.
10.(5分)(2015•沈陽一模)在△ABC中，若| + |=| ﹣ |，AB=2，AC=1，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點，則 • =( )
A. B. C. D.
【考點】： 平面向量數(shù)量積的運算.
【專題】： 計算題;平面向量及應用.
【分析】： 運用向量的平方即為模的平方，可得 =0，再由向量的三角形法則，以及向量共線的知識，化簡即可得到所求.
【解析】： 解：若| + |=| ﹣ |，
則 = ，
即有 =0，
E，F(xiàn)為BC邊的三等分點，
則 =( + )•( + )=( )•( )
=( + )•( + )
= + + = ×(1+4)+0= .
故選B.
【點評】： 本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查向量共線的定理，考查運算能力，屬于中檔題.
11.(5分)(2015•沈陽一模)函數(shù)y= 的圖象與函數(shù)y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【考點】： 奇偶函數(shù)圖象的對稱性;三角函數(shù)的周期性及其求法;正弦函數(shù)的圖象.
【專題】： 壓軸題;數(shù)形結(jié)合.
【分析】： 的圖象由奇函數(shù) 的圖象向右平移1個單位而得，所以它的圖象關于點(1，0)中心對稱，再由正弦函數(shù)的對稱中心公式，可得函數(shù)y2=2sinπx的圖象的一個對稱中心也是點(1，0)，故交點個數(shù)為偶數(shù)，且每一對對稱點的橫坐標之和為2.由此不難得到正確答案.
【解析】： 解：函數(shù) ，y2=2sinπx的圖象有公共的對稱中心(1，0)，作出兩個函數(shù)的圖象如圖
當1
而函數(shù)y2在(1，4)上出現(xiàn)1.5個周期的圖象，
在 和 上是減函數(shù);
在 和 上是增函數(shù).
∴函數(shù)y1在(1，4)上函數(shù)值為負數(shù)，且與y2的圖象有四個交點E、F、G、H
相應地，y1在(﹣2，1)上函數(shù)值為正數(shù)，且與y2的圖象有四個交點A、B、C、D
且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的橫坐標之和為8
故選D
【點評】： 發(fā)現(xiàn)兩個圖象公共的對稱中心是解決本題的入口，討論函數(shù)y2=2sinπx的單調(diào)性找出區(qū)間(1，4)上的交點個數(shù)是本題的難點所在.
12.(5分)(2015•廣西校級一模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，則不等式exf(x)>ex+3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為( )
A. (0，+∞) B. (﹣∞，0)∪(3，+∞) C. (﹣∞，0)∪(0，+∞) D. (3，+∞)
【考點】： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導數(shù)的運算.
【專題】： 導數(shù)的綜合應用.
【分析】： 構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)﹣ex，(x∈R)，研究g(x)的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解
【解析】： 解：設g(x)=exf(x)﹣ex，(x∈R)，
則g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1]，
∵f(x)+f′(x)>1，
∴f(x)+f′(x)﹣1>0，
∴g′(x)>0，
∴y=g(x)在定義域上單調(diào)遞增，
∵exf(x)>ex+3，
∴g(x)>3，
又∵g(0)═e0f(0)﹣e0=4﹣1=3，
∴g(x)>g(0)，
∴x>0
故選：A.
【點評】： 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵.
遼寧省高三數(shù)學一模試卷答案解析填空題
(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題紙上.)
13.(5分)(2015•沈陽一模)若雙曲線E的標準方程是 ，則雙曲線E的漸進線的方程是 y= x .
【考點】： 雙曲線的簡單性質(zhì).
【專題】： 計算題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.
【分析】： 求出雙曲線的a，b，再由漸近線方程y= x，即可得到所求方程.
【解析】： 解：雙曲線E的標準方程是 ，
則a=2，b=1，
即有漸近線方程為y= x，
即為y= x.
故答案為：y= x.
【點評】： 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)：漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題.
14.(5分)(2015•沈陽一模)已知{an}是等比數(shù)列， ，則a1a2+a2a3+…+anan+1= .
【考點】： 數(shù)列的求和;等比數(shù)列的通項公式.
【專題】： 計算題.
【分析】： 首先根據(jù)a2和a5求出公比q，根據(jù)數(shù)列{anan+1}每項的特點發(fā)現(xiàn)仍是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得出答案.
【解析】： 解：由 ，解得 .
數(shù)列{anan+1}仍是等比數(shù)列：其首項是a1a2=8，公比為 ，
所以，
故答案為 .
【點評】： 本題主要考查等比數(shù)列通項的性質(zhì)和求和公式的應用.應善于從題設條件中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，充分挖掘有效信息.
15.(5分)(2015•沈陽一模)若直線l： (a>0，b>0)經(jīng)過點(1，2)則直線l在x軸和y軸的截距之和的最小值是 3+2 .
【考點】： 直線的截距式方程.
【專題】： 直線與圓.
【分析】： 把點(1，1)代入直線方程，得到 =1，然后利用a+b=(a+b)( )，展開后利用基本不等式求最值.
【解析】： 解：∵直線l： (a>0，b>0)經(jīng)過點(1，2)
∴ =1，
∴a+b=(a+b)( )=3+ ≥3+2 ，當且僅當b= a時上式等號成立.
∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為3+2 .
故答案為：3+2 .
【點評】： 本題考查了直線的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中檔題.
16.(5分)(2015•沈陽一模)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A= ，AC=4，AA1=4，M為AA1的中點，點P為BM中點，Q在線段CA1上，且A1Q=3QC.則異面直線PQ與AC所成角的正弦值 .
【考點】： 異面直線及其所成的角.
【專題】： 空間角.
【分析】： 以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線PQ與AC所成角的正弦值.
【解析】： 解：以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，
建立空間直角坐標系，
則由題意得A(0，4，0)，C(0，0，0)，
B(4 ，0，0)，M(0，4，2)，A1(0，4，4)，
P(2 ，2，1)， = = (0，4，4)=(0，1，1)，
∴Q(0，1，1)， =(0，﹣4，0)， =(﹣2 ，﹣1，0)，
設異面直線PQ與AC所成角為θ，
cosθ=|cos< >|=| |= ，
∴sinθ= = .
故答案為： .
【點評】： 本題考查異面直線PQ與AC所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.
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