高三理科數(shù)學(xué)備考試卷附答案(2)
高三理科數(shù)學(xué)備考試卷解答題
解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟
17.(12分)(2015•銀川校級一模)△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量 =(2sinB，﹣ )， =(cos2B，2cos2 ﹣1)且 ∥ .
(Ⅰ)求銳角B的大小;
(Ⅱ)如果b=2，求△ABC的面積S△ABC的最大值.
【考點(diǎn)】： 解三角形;平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.
【專題】： 計算題.
【分析】： (Ⅰ)由兩向量的坐標(biāo)及兩向量平行，利用平面向量平行時滿足的條件列出關(guān)系式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，求出tan2B的值，由B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù);
(Ⅱ)由B的度數(shù)求出sinB及cosB的值，進(jìn)而由b及cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式化簡求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值.
【解析】： 解：(Ⅰ)∵ =(2sinB，﹣ )， =(cos2B，2cos2 ﹣1)且 ∥ ，
∴2sinB(2cos2 ﹣1)=﹣ cos2B，
∴2sinBcosB=﹣ cos2B，即sin2B=﹣ cos2B，
∴tan2B=﹣ ，
又B為銳角，∴2B∈(0，π)，
∴2B= ，
則B= ;…(6分)
(Ⅱ)當(dāng)B= ，b=2，
由余弦定理cosB= 得：a2+c2﹣ac﹣4=0，
當(dāng)B= ，b=2，
由余弦定理cosB= 得：a2+c2+ac﹣4=0，
又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立)，
∴S△ABC= acsinB= ac≤ (當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立)，
則S△ABC的最大值為 .…(12分)
【點(diǎn)評】： 此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.
18.(12分)(2015•銀川校級一模)如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A、B外的一個動點(diǎn)，DC垂直于半圓O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB= .
(1)證明：平面ADE⊥平面ACD;
(2)當(dāng)三棱錐C﹣ADE體積最大時，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
【考點(diǎn)】： 與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題;平面與平面垂直的判定.
【專題】： 空間角.
【分析】： (Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此證明DE⊥平面ACD，從而得到平面ADE⊥平面ACD.
(Ⅱ)依題意推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng) 時三棱錐C﹣ADE體積最大，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值.
【解析】： (Ⅰ)證明：∵AB是直徑，∴BC⊥AC…(1分)，
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…(2分)，
∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…(3分)
∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四邊形，BC∥DE，
∴DE⊥平面ACD…(4分)，
∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…(5分)
(Ⅱ)依題意， …(6分)，
由(Ⅰ)知
=
=
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立 …(8分)
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D(0，0，1)， ， ，
∴ ， ，
， …(9分)
設(shè)面DAE的法向量為 ，
，即 ，∴ ，…(10分)
設(shè)面ABE的法向量為 ，
，即 ，∴ ，
∴ …(12分)
∵ 與二面角D﹣AE﹣B的平面角互補(bǔ)，
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值為 . …(13分)
【點(diǎn)評】： 本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.
19.(12分)(2014•安徽模擬)前不久，省社科院發(fā)布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，蕪湖市成為本年度安徽最“幸福城”.隨后，師大附中學(xué)生會組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)：
(Ⅰ)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ)若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”.求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸福”的概率;
(Ⅲ)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記ξ表示抽到“極幸福”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【考點(diǎn)】： 離散型隨機(jī)變量的期望與方差;莖葉圖.
【專題】： 概率與統(tǒng)計.
【分析】： (1)根據(jù)所給的莖葉圖看出16個數(shù)據(jù)，找出眾數(shù)和中位數(shù)，中位數(shù)需要按照從小到大的順序排列得到結(jié)論.
(2)由題意知本題是一個古典概型，至多有1人是“極幸福”包括有一個人是極幸福和有零個人是極幸福，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果.
(3)由于從該社區(qū)任選3人，記ξ表示抽到“極幸福”學(xué)生的人數(shù)，得到變量的可能取值是0、1、2、3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，算出概率，寫出分布列和期望.
【解析】： 解：(Ⅰ)眾數(shù)：8.6;中位數(shù)：8.75;
(Ⅱ)設(shè)Ai表示所取3人中有i個人是“極幸福”，至多有1人是“極幸福”記為事件A，則 ;
(Ⅲ)ξ的可能取值為0，1，2，3.
; ;
; .
則ξ的分布列為：
ξ 0 1 2 3
P
所以Eξ= .
另解：ξ的可能取值為0，1，2，3.
則ξ～B(3， )， .所以Eξ= .
【點(diǎn)評】： 本題是一個統(tǒng)計綜合題，對于一組數(shù)據(jù)，通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，題目分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題，考查最基本的知識點(diǎn).
20.(12分)(2009•河北區(qū)二模)已知A，B，C是橢圓m： + =1(a>b>0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2 ，0)，BC過橢圓m的中心，且 ，且| |=2| |.
(1)求橢圓m的方程;
(2)過點(diǎn)M(0，t)的直線l(斜率存在時)與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q，設(shè)D為橢圓m與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且| |=| |.求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【考點(diǎn)】： 直線與圓錐曲線的綜合問題;向量在幾何中的應(yīng)用.
【分析】： (1)如圖， 點(diǎn)A是橢圓m的右頂點(diǎn)，∴a=2 ;由 • =0，得AC⊥BC;由 =2 和橢圓的對稱性，得 = ;這樣，可以得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得.
(2)如圖， 過點(diǎn)M的直線l，與橢圓m交于兩點(diǎn)P，Q;當(dāng)斜率k=0時，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，則﹣2
由①②可得t的范圍.
【解析】： 解(1)如圖所示，
∵ =2 ，且BC過點(diǎn)O(0，0)，則 ;
又 • =0，∴∠OCA=90°，且A(2 ，0)，則點(diǎn)C ，
由a= ，可設(shè)橢圓的方程m： ;
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入方程m，得 ，解得c2=8，b2=4;
∴橢圓m的方程為： ;
(2)如圖所示，
由題意，知D(0，﹣2)，∵M(jìn)(0，t)，
∴1°當(dāng)k=0時，顯然﹣2
2°當(dāng)k≠0時，設(shè)l：y=kx+t，則
，消去y，得(1+3k2)x2+6ktx+3t2﹣12=0;
由△>0，可得t2<4+12k2 ①
設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且PQ的中點(diǎn)為H(x0，y0);
則x0= =﹣ ，y0=kx0+t= ，∴H ;
由 ，∴DH⊥PQ，則kDH=﹣ ，∴ =﹣ ;
∴t=1+3k2 ②
∴t>1，將①代入②，得1
綜上，得t∈(﹣2，4).
【點(diǎn)評】： 本題考查了直線與橢圓知識的綜合應(yīng)用，以及向量在解析幾何中的應(yīng)用;用數(shù)形結(jié)合的方法比較容易理清思路，解得結(jié)果.
21.(12分)(2015•宿州一模)已知函數(shù)f(x)=lnx﹣kx+1(k∈R)
(Ⅰ)當(dāng)k=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(Ⅲ)證明： + + +…+ < (n∈N*且n>1)
【考點(diǎn)】： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【專題】： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.
【分析】： (Ⅰ)由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，f′(x)= .能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)由(1)知k≤0時，f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，而f(1)=1﹣k>0，f(x)≤0不成立，故k>0，又由(1)知f(x)的最大值為f( )，由此能確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(Ⅲ)由(2)知，當(dāng)k=1時，有f(x)≤0在(0，+∞)恒成立，且f(x)在(1，+∞)上是減函數(shù)，f(1)=0，即lnx
【解析】： 解：(Ⅰ)易知f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，
又f′(x)=
當(dāng)0
當(dāng)x>1時，f′(x)<0
∴f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，在(1，+∞)上是減函數(shù).
(Ⅱ)當(dāng)k≤0時，f(1)=1﹣k>0，不成立，
故只考慮k>0的情況
又f′(x)=
當(dāng)k>0時，當(dāng)0
當(dāng) 時，f′(x)<0
在 上是增函數(shù)，在 時減函數(shù)，
此時
要使f(x)≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可
解得：k≥1.
(Ⅲ)當(dāng)k=1時，
有f(x)≤0在(0，+∞)恒成立，
且f(x)在(1，+∞)上是減函數(shù)，f(1)=0，
即lnx
令x=n2，則lnn2
即2lnn<(n﹣1)(n+1)，
∴ (n∈N*且n>1)
∴ + + +…+ < =
即： + + +…+ < (n∈N*且n>1)成立.
【點(diǎn)評】： 本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，確定實(shí)數(shù)的取值范圍，不等式的證明.考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識.
請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.選修4-1;幾何證明選講.
22.(10分)(2014•葫蘆島二模)如圖，圓O的直徑AB=10，P是AB延長線上一點(diǎn)，BP=2，割線PCD交圓O于點(diǎn)C，D，過點(diǎn)P做AP的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F.
(1)求證：∠PEC=∠PDF;
(2)求PE•PF的值.
【考點(diǎn)】： 與圓有關(guān)的比例線段.
【專題】： 選作題;立體幾何.
【分析】： (1)證明P、B、C、E四點(diǎn)共圓、A、B、C、D四點(diǎn)共圓，利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，即可證明：∠PEC=∠PDF;
(2)證明D，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，利用割線定理，即可求得PE•PF的值.
【解析】： (1)證明：連結(jié)BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=∠APE=90°，
∴P、B、C、E四點(diǎn)共圓.
∴∠PEC=∠CBA.
又∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠CBA=∠PDF，
∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣(5分)
(2)解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四點(diǎn)共圓.
∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24.﹣﹣﹣﹣(10分)
【點(diǎn)評】： 本題考查圓的性質(zhì)，考查四點(diǎn)共圓的判定，考查割線的性質(zhì)，屬于中檔題.
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程.
23.(2012•洛陽模擬)已知直線l： (t為參數(shù))，曲線C1： (θ為參數(shù)).
(Ⅰ)設(shè)l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|;
(Ⅱ)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的 倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的 倍，得到曲線C2，設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個動點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值.
【考點(diǎn)】： 圓的參數(shù)方程;函數(shù)的圖象與圖象變化;直線與圓相交的性質(zhì);直線的參數(shù)方程.
【專題】： 計算題.
【分析】： (I)將直線l中的x與y代入到直線C1中，即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出|AB|.
(II)將直線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線C2任意點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，與分母約分化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到距離d的最小值即可.
【解析】： 解：(I)l的普通方程為y= (x﹣1)，C1的普通方程為x2+y2=1，
聯(lián)立方程組 ，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為A(1，0)，B( ，﹣ )
所以|AB|= =1;
(II)曲線C2： (θ為參數(shù)).
設(shè)所求的點(diǎn)為P( cosθ， sinθ)，
則P到直線l的距離d= = [ sin( )+2]
當(dāng)sin( )=﹣1時，d取得最小值 .
【點(diǎn)評】： 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有直線與圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設(shè)出所求P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出d，進(jìn)而利用三角函數(shù)來解決問題是解本題的思路.
選修4-5;不等式選講.
24.(2012•包頭一模)選修4﹣5;不等式選講.
設(shè)不等式|2x﹣1|<1的解集是M，a，b∈M.
(I)試比較ab+1與a+b的大小;
(II)設(shè)max表示數(shù)集A的最大數(shù).h=max ，求證：h≥2.
【考點(diǎn)】： 平均值不等式;不等式比較大小;絕對值不等式的解法.
【專題】： 壓軸題;不等式的解法及應(yīng)用.
【分析】： (I)解絕對值不等式求出M=( 0，1)，可得 0
(II)由題意可得 h≥ ，h≥ ，h≥ ，可得 h3≥ = ≥8，從而證得 h≥2.
【解析】： 解：(I)由不等式|2x﹣1|<1 可得﹣1<2x﹣1<1，解得 0
由 a，b∈M，可得 0
∴(ab+1)﹣(a+b)=(a﹣1)(b﹣1)>0，
∴(ab+1)>(a+b).
(II)設(shè)max表示數(shù)集A的最大數(shù)，∵h(yuǎn)=max ，
∴h≥ ，h≥ ，h≥ ，
∴h3≥ = ≥8，故 h≥2.
【點(diǎn)評】： 本題主要考查絕對值不等式的解法，不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.
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