天津市高考數(shù)學(xué)一模考試卷
天津市高考數(shù)學(xué)一?？荚嚲?/p>
天津市的高考正在緊張的復(fù)習(xí)當(dāng)中，數(shù)學(xué)往年的一?？荚嚲硎呛芎玫膹?fù)習(xí)資料，大家要利用好一模試卷。下面由學(xué)習(xí)啦小編為大家提供關(guān)于天津市高考數(shù)學(xué)一模考試卷，希望對大家有幫助!
天津市高考數(shù)學(xué)一模考試卷選擇題
1.集合A={x|x>0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，則(∁RA)∩B=( )
A.(0，+∞) B.{﹣2，﹣1，1，2} C.{﹣2，﹣1} D.{1，2}
2.已知x，y滿足約束條件 ，則z=3x+y的取值范圍為( )
A.[6，10] B.(6，10] C.(﹣2，10] D.[﹣2，10)
3.如圖所示的程序框圖，輸出S的值是( )
A.30 B.10 C.15 D.21
4.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的側(cè)面PAB的面積是( )
A. B.2 C.1 D.
5.α，β表示不重合的兩個平面，m，l表示不重合的兩條直線.若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，則“l∥m”是“l∥α且l∥β”的( )
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F與雙曲 的右焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且 ，則A點的橫坐標(biāo)為( )
A. B.3 C. D.4
7.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則 • 的值為( )
A.﹣ B. C. D.
8.已知函數(shù)f(x)= ，若有三個不同的實數(shù)a，b，c，使得f(a)=f(b)=f(c)，則a+b+c的取值范圍為( )
A.(2π，2017π) B.(2π，2018π) C.( ， ) D.(π，2017π)
天津市高考數(shù)學(xué)一?？荚嚲矸沁x擇題
二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
9.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) = .
10.在(2x2﹣ )5的二項展開式中，x的系數(shù)為 .
11.已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，則cosB= .
12.已知曲C的極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ，設(shè)直線L的參數(shù)方程 ，(t為參數(shù))設(shè)直線L與x軸的交點M，N是曲線C上一動點，求|MN|的最大值 .
13.已知下列命題：
?、倜}：∀x∈(0，2)，3x>x3的否定是：∃x∈(0，2)，3x≤x3;
?、谌鬴(x)=2x﹣2﹣x，則∀x∈R，f(﹣x)=﹣f(x);
③若f(x)=x+ ，則∃x0∈(0，+∞)，f(x0)=1;
④等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4=3，則S7=21;
⑤在△ABC中，若A>B，則sinA>sinB.
其中真命題是 .(只填寫序號)
14.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(2)=1，且對于任意的x∈R，都有f′(x)< ，則不等式f(log2x)> 的解集為 .
三、解答題(本大題共6小題，共80分)
15.(13分)已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
16.(13分)為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國內(nèi)發(fā)行總量為2000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀卡).某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中 是省外游客，其余是省內(nèi)游客.在省外游客中有 持金卡，在省內(nèi)游客中有 持銀卡.
(Ⅰ)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率;
(Ⅱ)在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.
17.(13分)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2.
(Ⅰ)求證：CE∥平面PAD;
(Ⅱ)求PD與平面PCE所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱AB上是否存在一點F，使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在，求 的值;如果不存在，說明理由.
18.(13分)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q>0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)bn= ，Tn為{bn}的前n項和，求T2n.
19.(14分)已知函數(shù)f(x)=x﹣ ﹣2lnx，a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，且x1
(3)在(2)的條件下，證明：f(x2)
20.(14分)已知橢圓E： (a>b>0)的離心率 ，且點 在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)直線l與橢圓E交于A、B兩點，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過點 .求△AOB(O為坐標(biāo)原點)面積的最大值.
天津市高考數(shù)學(xué)一?？荚嚲泶鸢?/h2>
一、選擇題
1.集合A={x|x>0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，則(∁RA)∩B=( )
A.(0，+∞) B.{﹣2，﹣1，1，2} C.{﹣2，﹣1} D.{1，2}
【考點】交、并、補(bǔ)集的混合運算.
【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義，寫出運算結(jié)果即可.
【解答】解：集合A={x|x>0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，
則∁RA={x|x≤0}，
所以(∁RA)∩B={﹣2，﹣1}.
故選：C.
【點評】本題考查了交集和補(bǔ)集的定義與運算問題，是基礎(chǔ)題.
2.已知x，y滿足約束條件 ，則z=3x+y的取值范圍為( )
A.[6，10] B.(6，10] C.(﹣2，10] D.[﹣2，10)
【考點】簡單線性規(guī)劃.
【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.
【解答】解：由約束條件 作出可行域如圖，
化目標(biāo)函數(shù)為y=﹣3x+z，
由圖可知，當(dāng)直線y=﹣3x+z過A時，z取最大值，
由 ，得A(4，﹣2)，此時zmax=3×4﹣2=10;
當(dāng)直線y=﹣3x+z過點B時，由 ，解得B(0，﹣2)，故z>3×0﹣2=﹣2.
綜上，z=3x+y的取值范圍為(﹣2，10].
故選：C.
【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.
3.如圖所示的程序框圖，輸出S的值是( )
A.30 B.10 C.15 D.21
【考點】程序框圖.
【分析】由已知中的程序框圖，可得該程序的功能是利用循環(huán)計算并輸出滿足條件的S值，模擬程序的運行過程，可得答案.
【解答】解：當(dāng)S=1時，滿足進(jìn)入循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后S=3，t=3
當(dāng)S=3時，滿足進(jìn)入循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后S=6，t=4
當(dāng)S=6時，滿足進(jìn)入循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體后S=10，t=5
當(dāng)S=15時，不滿足進(jìn)入循環(huán)的條件，
故輸出的S值為15
故選C.
【點評】本題考查的知識點是程序框圖，在寫程序的運行結(jié)果時，我們常使用模擬循環(huán)的辦法，但程序的循環(huán)體中變量比較多時，要用表格法對數(shù)據(jù)進(jìn)行管理.
4.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的側(cè)面PAB的面積是( )
A. B.2 C.1 D.
【考點】由三視圖求面積、體積.
【分析】如圖所示，該幾何體為三棱錐，其中底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱PC⊥底面ABC.取AB的中點D，連接CD，PD，可得CD⊥AB，PD⊥AB.
【解答】解：如圖所示，該幾何體為三棱錐，其中底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱PC⊥底面ABC.
取AB的中點D，連接CD，PD，
則CD⊥AB，PD⊥AB，
CD= ，PD= = = .
∴S△PAB= = .
故選：A.
【點評】本題考查了三棱錐的三視圖、三角形面積計算公式、空間位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
5.α，β表示不重合的兩個平面，m，l表示不重合的兩條直線.若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，則“l∥m”是“l∥α且l∥β”的( )
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面平行的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
【解答】解：充分性：∵α∩β=m，∴m⊂α，m⊂β，
∵l∥m，l⊄α，l⊄β，
∴l∥α，l∥β，
必要性：過l作平面γ交β于直線n，
∵l∥β，
∴l∥n，
若n與m重合，則l∥m，
若n與m不重合，則n⊄α，
∵l∥α，∴n∥α，
∵n⊂β，α∩β=m，
∴n∥m，
故l∥m，
故“l∥m”是“l∥α且l∥β”的充要條件，
故選：C
【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，根據(jù)空間直線和平面平行的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
6.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F與雙曲 的右焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點為K，點A在拋物線上且 ，則A點的橫坐標(biāo)為( )
A. B.3 C. D.4
【考點】圓錐曲線的共同特征.
【分析】根據(jù)雙曲線 得出其右焦點坐標(biāo)，可知拋物線的焦點坐標(biāo)，從而得到拋物線的方程和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可求得K的坐標(biāo)，設(shè)A(x0，y0)，過A點向準(zhǔn)線作垂線AB，則B(﹣3，y0)，根據(jù)|AK|= |AF|及AF=AB=x0﹣(﹣3)=x0+3，進(jìn)而可求得A點坐標(biāo).
【解答】解：∵雙曲線 ，其右焦點坐標(biāo)為(3，0).
∴拋物線C：y2=12x，準(zhǔn)線為x=﹣3，
∴K(﹣3，0)
設(shè)A(x0，y0)，過A點向準(zhǔn)線作垂線AB，則B(﹣3，y0)
∵|AK|= |AF|，又AF=AB=x0﹣(﹣3)=x0+3，
∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，從而y02=(x0+3)2，即12x0=(x0+3)2，
解得x0=3.
故選B.
【點評】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì).考查了學(xué)生對拋物線基礎(chǔ)知識的熟練掌握.
7.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則 • 的值為( )
A.﹣ B. C. D.
【考點】平面向量數(shù)量積的運算.
【分析】由題意畫出圖形，把 、 都用 表示，然后代入數(shù)量積公式得答案.
【解答】解：如圖，
∵D、E分別是邊AB、BC的中點，且DE=2EF，
∴ • = =
= =
= = =
= .
故選：B.
【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量加減法的三角形法則，是中檔題.
8.已知函數(shù)f(x)= ，若有三個不同的實數(shù)a，b，c，使得f(a)=f(b)=f(c)，則a+b+c的取值范圍為( )
A.(2π，2017π) B.(2π，2018π) C.( ， ) D.(π，2017π)
【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷.
【分析】作出y=f(x)的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的對稱性可得a+b=π，求出c的范圍即可得出答案.
【解答】解：當(dāng)x∈[0，π]時，f(x)=cos(x﹣ )=sinx，
∴f(x)在[0，π]上關(guān)于x= 對稱，且fmax(x)=1，
又當(dāng)x∈(π，+∞)時，f(x)=log2017 是增函數(shù)，
作出y=f(x)的函數(shù)圖象如圖所示：
令log2017 =1得x=2017π，
∵f(a)=f(b)=f(c)，
∴a+b=π，c∈(π，2017π)，
∴a+b+c=π+c∈(2π，2018π).
故選：B.
【點評】本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題.
二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
9.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) = ﹣4﹣3i .
【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.
【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù) 得答案.
【解答】解： = ，
故答案為：﹣4﹣3i.
【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.
10.在(2x2﹣ )5的二項展開式中，x的系數(shù)為 ﹣ .
【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，即可求出x的系數(shù)是什么.
【解答】解：∵二項式(2x﹣ )5展開式的通項公式是
Tr+1= •(2x2)5﹣r• =(﹣1)r• •25﹣r• •x10﹣3r，
令10﹣3r=1，解得r=3;
∴T3+1=(﹣1)3• •22• •x;
∴x的系數(shù)是﹣ •22• =﹣ .
故答案為：﹣ .
【點評】本題考查了二項式展開式的通項公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)性題目.
11.已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，則cosB= .
【考點】余弦定理;正弦定理.
【分析】由正弦定理與sinA=2sinC，可解得a=2c，將這些代入由余弦定理得出的關(guān)于cosB的方程即可求出.
【解答】解：在△ABC中，∵sinA=2sinC，
∴由正弦定理得a=2c，
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
將b2=ac及a=2c代入上式解得：cosB= = = .
故答案為： .
【點評】本題主要考查正弦定理與余弦定理，屬于運用定理建立所求量的方程通過解方程來求值的題目，訓(xùn)練目標(biāo)是靈活運用公式求值，屬于基礎(chǔ)題.
12.已知曲C的極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ，設(shè)直線L的參數(shù)方程 ，(t為參數(shù))設(shè)直線L與x軸的交點M，N是曲線C上一動點，求|MN|的最大值 .
【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程;直線的參數(shù)方程.
【分析】首先將曲線C化成普通方程，得出它是以P(0，1)為圓心半徑為1的圓，然后將直線L化成普通方程，得出它與x軸的交點M的坐標(biāo)，最后用兩個點之間的距離公式得出PM的距離，從而得出曲C上一動點N到M的最大距離.
【解答】解：∵曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ，化成普通方程：
x2+y2﹣2y=0，即x2+(y﹣1)2=1
∴曲線C表示以點P(0，1)為圓心，半徑為1的圓
∵直L的參數(shù)方程是：
∴直L的普通方程是：4x+3y﹣8=0
∴可得L與x軸的交點M坐標(biāo)為(2，0)
∴
由此可得曲C上一動點N到M的最大距離等于
故答案為：
【點評】本題考查了簡單的曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化為普通方程、以及圓上動點到圓外一個定點的距離最值的知識點，屬于中檔題.
13.已知下列命題：
①命題：∀x∈(0，2)，3x>x3的否定是：∃x∈(0，2)，3x≤x3;
②若f(x)=2x﹣2﹣x，則∀x∈R，f(﹣x)=﹣f(x);
③若f(x)=x+ ，則∃x0∈(0，+∞)，f(x0)=1;
?、艿炔顢?shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4=3，則S7=21;
?、菰凇鰽BC中，若A>B，則sinA>sinB.
其中真命題是?、佗冖堍荨?(只填寫序號)
【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用.
【分析】①，根據(jù)含有量詞的命題的否定形式判定;
?、?，若f(x)=2x﹣2﹣x，則∀x∈R，f(﹣x)=﹣f(x)，;
?、郏瑢τ诤瘮?shù)f(x)=x+ ，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，f(x)=1;
?、?， ，;
?、荩鬉>B，則a>b，⇒2RsinA>2RsinB⇒sinA>sinB，.
【解答】解：對于①，命題：∀x∈(0，2)，3x>x3的否定是：∃x∈(0，2)，3x≤x3，正確;
對于②，若f(x)=2x﹣2﹣x，則∀x∈R，f(﹣x)=﹣f(x)，正確;
對于③，對于函數(shù)f(x)=x+ ，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，f(x)=1，故錯;
對于④，等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4=3， ，故正確;
對于⑤，在△ABC中，若A>B，則a>b⇒2RsinA>2RsinB⇒sinA>sinB，故正確.
故答案為：①②④⑤
【點評】本題考查了命題真假的判定，涉及到了函數(shù)、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題.
14.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(2)=1，且對于任意的x∈R，都有f′(x)< ，則不等式f(log2x)> 的解集為 {x丨0
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;指、對數(shù)不等式的解法.
【分析】構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，由題意可知F(x)=f(x)﹣ x在R單調(diào)遞減，原不等式轉(zhuǎn)化成F(log2x)>F(2)，(x>0)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得不等式的解集.
【解答】解：設(shè)F(x)=f(x)﹣ x，求導(dǎo)F′(x)=f′(x)﹣ <0，則F(x)在R單調(diào)遞減，
由f(log2x)> ，即f(log2x)﹣ •log2x> ，
由f(2)﹣ ×2= ，
∴F(log2x)>F(2)，(x>0)，
則log2x<2，解得：0
∴不等式的解集為：{x丨0
故答案為：：{x丨0
故答案為：{x丨0
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.
三、解答題(本大題共6小題，共80分)
15.(13分)(2017•紅橋區(qū)一模)已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象.
【分析】(Ⅰ)由三角函數(shù)化簡可得f(x)=2sin(2x+ )+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)由x∈ 結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐步計算可得2sin(2x+ )+3∈[2，5]，可得最值.
【解答】解：(Ⅰ)化簡可得
= •2sinxcosx+2cos2x+2
= sin2x+cos2x+1+2
=2sin(2x+ )+3，
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T= =π，
由2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得kπ+ ≤x≤kπ+
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+ ，kπ+ ](k∈Z);
(Ⅱ)∵x∈ ，∴2x+ ∈[ ， ]，
∴sin(2x+ )∈[ ，1]，
∴2sin(2x+ )∈[﹣1，2]，
∴2sin(2x+ )+3∈[2，5]，
∴函數(shù)的最大值和最小值分別為5，2.
【點評】本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性及最值，屬中檔題.
16.(13分)(2017•紅橋區(qū)一模)為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國內(nèi)發(fā)行總量為2000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀卡).某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中 是省外游客，其余是省內(nèi)游客.在省外游客中有 持金卡，在省內(nèi)游客中有 持銀卡.
(Ⅰ)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率;
(Ⅱ)在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.
【考點】離散型隨機(jī)變量的期望與方差;等可能事件的概率.
【分析】(Ⅰ)由題意得，境外游客有27人，其中9人持金卡;境內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡.記出事件，表示出事件的概率，根據(jù)互斥事件的概率公式，得到結(jié)論.
(Ⅱ)ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出其對應(yīng)的概率，能得到ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.
【解答】解：(Ⅰ)由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡;省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡.設(shè)事件B為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”，
事件A1為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”，
事件A2為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”.
P(B)=P(A1)+P(A2)
= +
= = .
所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是 .…(6分)
(Ⅱ)ξ的可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
所以 .…(12分)
【點評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復(fù)試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應(yīng)注意解題的格式.
17.(13分)(2017•紅橋區(qū)一模)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2.
(Ⅰ)求證：CE∥平面PAD;
(Ⅱ)求PD與平面PCE所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱AB上是否存在一點F，使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在，求 的值;如果不存在，說明理由.
【考點】點、線、面間的距離計算;直線與平面平行的判定;直線與平面所成的角.
【分析】(Ⅰ)設(shè)PA中點為G，連結(jié)EG，DG，可證四邊形BEGA為平行四邊形，又正方形ABCD，可證四邊形CDGE為平行四邊形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即證明CE∥平面PAD.
(Ⅱ)如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)平面PCE的一個法向量為 =(x，y，z)，由 ，令x=1，則可得 =(1，1，2)，設(shè)PD與平面PCE所成角為a，由向量的夾角公式即可得解.
(Ⅲ)設(shè)平面DEF的一個法向量為 =(x，y，z)，由 ，可得 ，由 • =0，可解a，然后求得 的值.
【解答】(本小題共14分)
解：(Ⅰ)設(shè)PA中點為G，連結(jié)EG，DG.
因為PA∥BE，且PA=4，BE=2，
所以BE∥AG且BE=AG，
所以四邊形BEGA為平行四邊形.
所以EG∥AB，且EG=AB.
因為正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，
所以EG∥CD，且EG=CD.
所以四邊形CDGE為平行四邊形.
所以CE∥DG.
因為DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以CE∥平面PAD. …(4分)
(Ⅱ)如圖建立空間坐標(biāo)系，則B(4，0，0)，C(4，4，0)，
E(4，0，2)，P(0，0，4)，D(0，4，0)，
所以 =(4，4，﹣4)， =(4，0，﹣2)， =(0，4，﹣4).
設(shè)平面PCE的一個法向量為 =(x，y，z)，
所以 ，可得 .
令x=1，則 ，所以 =(1，1，2).
設(shè)PD與平面PCE所成角為a，
則sinα=|cos< ， >|=| =| |= ..
所以PD與平面PCE所成角的正弦值是 . …(9分)
(Ⅲ)依題意，可設(shè)F(a，0，0)，則 ， =(4，﹣4，2).
設(shè)平面DEF的一個法向量為 =(x，y，z)，
則 .
令x=2，則 ，
所以 =(2， ，a﹣4).
因為平面DEF⊥平面PCE，
所以 • =0，即2+ +2a﹣8=0，
所以a= <4，點 .
所以 . …(14分)
【點評】本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，點、線、面間的距離計算，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.
18.(13分)(2017•紅橋區(qū)一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q>0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)bn= ，Tn為{bn}的前n項和，求T2n.
【考點】數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式.
【分析】(I)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q>0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2.可得a3=a4﹣2a2，a2q=a2(q2﹣2)，解得q.進(jìn)而得出a1，可得an.
(II)n為奇數(shù)時，bn= = = .n為偶數(shù)時，bn= .分組求和，利用“裂項求和”方法可得奇數(shù)項之和;利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式可得偶數(shù)項之和.
【解答】解：(I)∵等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q>0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2.
∴a3=a4﹣2a2，可得a2q=a2(q2﹣2)，
∴q2﹣q﹣2=0，解得q=2.∴a1+a2=2a2﹣2，即a1=a2﹣2=2a1﹣2，解得a1=2.
∴an=2n.
(II)n為奇數(shù)時，bn= = = .
n為偶數(shù)時，bn= .
∴T2n= + +…+ + +…+
= + +…+
= + +…+ .
設(shè)A= +…+ ，
則 A= +…+ + ，
∴ A= +…+ ﹣ = ﹣ ，
∴A= ﹣ .
∴T2n= + ﹣ .
【點評】本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、分類討論方法、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
19.(14分)(2017•紅橋區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=x﹣ ﹣2lnx，a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，且x1
(3)在(2)的條件下，證明：f(x2)
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
【分析】(1)求出函數(shù)的定義域為(0，+∞)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′(x)=0，①當(dāng)△≤0，②當(dāng)△>0，a<1時，若a≤0，若a>0，分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性.當(dāng)0
(2)求出函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，等價于方程x2﹣2x+a=0在(0，+∞)，直接推出結(jié)果.
(3)通過(1)，(2)，推出0
求解即可.
【解答】(本小題滿分14分)
(1)解：函數(shù) 的定義域為(0，+∞)， ，…(1分)
令f′(x)=0，得x2﹣2x+a=0，其判別式△=4﹣4a，
?、佼?dāng)△≤0，即a≥1時，x2﹣2x+a≥0，f′(x)≥0，此時，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增;…(2分)
?、诋?dāng)△>0，即a<1時，方程x2﹣2x+a=0的兩根為 ， ，…(3分)
若a≤0，則x1≤0，則x∈(0，x2)時，f′(x)<0，x∈(x2，+∞)時，f′(x)>0，
此時，f(x)在(0，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，+∞)上單調(diào)遞增;…(4分)
若a>0，則x1>0，則x∈(0，x1)時，f′(x)>0，x∈(x1，x2)時，f′(x)<0，x∈(x2，+∞)時，f′(x)>0，
此時，f(x)在(0，x1)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，+∞)上單調(diào)遞增.…
綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)0
當(dāng)a≥1時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.…(6分)
(2)解：由(1)可知，函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，等價于方程x2﹣2x+a=0在(0，+∞)有
兩不等實根，故0
(3)證明：由(1)，(2)得0
令g(t)=t﹣2lnt﹣1，1
則 ，…(10分)
由于1
故g(t)
∴f(x2)﹣x2+1=g(x2)<0.…(13分)
∴f(x2)
【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
20.(14分)(2017•紅橋區(qū)一模)已知橢圓E： (a>b>0)的離心率 ，且點 在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)直線l與橢圓E交于A、B兩點，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過點 .求△AOB(O為坐標(biāo)原點)面積的最大值.
【考點】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】(Ⅰ)運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，討論直線AB的斜率為0和不為0，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達(dá)定理和弦長公式，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的最值的求法，可得面積的最大值.
【解答】解：(Ⅰ)由已知，e= = ，a2﹣b2=c2，
∵點 在橢圓上，
∴ ，解得a=2，b=1.
∴橢圓方程為 ;
(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB的垂直平分線過點 ，∴AB的斜率k存在.
當(dāng)直線AB的斜率k=0時，x1=﹣x2，y1=y2，
∴S△AOB= •2|x|•|y|=|x|•
= ≤ • =1，
當(dāng)且僅當(dāng)x12=4﹣x12，取得等號，
∴ 時，(S△AOB)max=1;
當(dāng)直線AB的斜率k≠0時，設(shè)l：y=kx+m(m≠0).
消去y得：(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△>0可得4k2+1>m2①，
x1+x2=﹣ ，x1x2= ，可得 ，
，
∴AB的中點為 ，
由直線的垂直關(guān)系有 ，化簡得1+4k2=﹣6m②
由①②得﹣6m>m2，解得﹣6
又O(0，0)到直線y=kx+m的距離為 ，
，
= ，
∵﹣6
由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得 ;
即 時，(S△AOB)max=1;
綜上：(S△AOB)max=1.
【點評】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達(dá)定理和弦長公式，以及基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.
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