初三上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷(2)
初三上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷
初三上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷參考答案
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填在答題卡對(duì)應(yīng)題目上.(注意：在試題卷上作答無(wú)效).
1.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式.
【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子，進(jìn)行化簡(jiǎn)，則不能化簡(jiǎn)的選項(xiàng)中式子即為所求.
【解答】解： 是最簡(jiǎn)二次根式，故選項(xiàng)A正確，
，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡(jiǎn)的方法.
2.已知方程x2+mx+3=0的一個(gè)根是1，則m的值為( )
A.4 B.﹣4 C.3 D.﹣3
【考點(diǎn)】一元二次方程的解.
【分析】根據(jù)一元二次方程的解把x=1代入一元二次方程得到還有m的一次方程，然后解一次方程即可.
【解答】解：把x=1代入x2+mx+3=0得1+m+3=0，
解得m=﹣4.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.
3.已知 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).
【分析】根據(jù)分比性質(zhì)，可得答案.
【解答】解： ，則 = = ，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用分比性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
4.“射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”這個(gè)事件是( )
A.確定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.不確定事件
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.
【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類(lèi)型即可.
【解答】解：“射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中靶心”這個(gè)事件是隨機(jī)事件，屬于不確定事件，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則cosB的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求解.
【解答】解：cosB= = .
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦的定義，在直角三角形中，余弦為鄰邊比斜邊.
6.如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA=1：25，則 的值為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得到答案.
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴ = = ，
∴ = ，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.
7.已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+4m+n+2mn的值為( )
A.1 B.3 C.﹣5 D.﹣9
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解即可得出m+n=﹣3、mn=﹣2、m2+3m=2，將其代入m2+4m+n+2mn中即可求出結(jié)論.
【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n=﹣3，mn=﹣2，m2+3m=2，
∴m2+4m+n+2mn=m2+3m+m+n+2mn=2﹣3﹣2×2=﹣5.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，熟練掌握x1+x2=﹣ 、x1x2= 是解題的關(guān)鍵.
8.如圖1，在三角形紙片ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線(xiàn)剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可.
【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似;
B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似;
C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似;
D、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.
二、填空題：本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分.請(qǐng)把答案直接填在答題卡對(duì)應(yīng)題中橫線(xiàn)上.(注意：在試題卷上作答無(wú)效)
9.二次根式 有意義，則x的取值范圍是 x≥5 .
【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.
【分析】根據(jù)二次根式的意義，被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出方程，解方程即可.
【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣5≥0，
解得x≥5.
故答案為：x≥5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.
10.計(jì)算 的結(jié)果為 2 .
【考點(diǎn)】二次根式的乘除法.
【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則求出答案.
【解答】解：原式= = =2 .
故答案為：2 .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.
11.將方程x2﹣4x﹣3=0配方成(x﹣h)2=k的形式為 (x﹣2)2=7 .
【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.
【分析】移項(xiàng)后兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方可得.
【解答】解：∵x2﹣4x=3，
∴x2﹣4x+4=3+4，即(x﹣2)2=7，
故答案為：(x﹣2)2=7.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵.
12.如圖，在△ABC中，G是重心.如果AG=6，那么線(xiàn)段DG的長(zhǎng)為 3 .
【考點(diǎn)】三角形的重心.
【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)三角形的重心到一頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，直接求得結(jié)果.
【解答】解：∵三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，
∴DG= AG=3.
故答案為：3.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形重心問(wèn)題，掌握三角形的重心的性質(zhì)：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其道對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍.運(yùn)用三角形的中位線(xiàn)定理即可證明此結(jié)論.
13.為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2014年以來(lái)，某區(qū)加大了教育經(jīng)費(fèi)的投入，2014年該區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)7000萬(wàn)元，2016年投入教育經(jīng)費(fèi)8470萬(wàn)元.設(shè)該區(qū)這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為 7000(1+x)2=8470 .
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.
【分析】增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×(1+增長(zhǎng)率)，參照本題，如果教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2014年投入7000萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2016年投入8470萬(wàn)元即可得出方程.
【解答】解：設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，
則2015的教育經(jīng)費(fèi)為：7000×(1+x)
2016的教育經(jīng)費(fèi)為：7000×(1+x)2.
那么可得方程：7000(1+x)2=8470.
故答案為：7000(1+x)2=8470.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的運(yùn)用，解此類(lèi)題一般是根據(jù)題意分別列出不同時(shí)間按增長(zhǎng)率所得教育經(jīng)費(fèi)與預(yù)計(jì)投入的教育經(jīng)費(fèi)相等的方程.
14.如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)M，N在AC上，ME⊥AD于點(diǎn)E，NF⊥AB于點(diǎn)F.若ME=3，NM=NF=2，則AN 的長(zhǎng)為 4 .
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角可得∠1=∠2，然后求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出求解即可.
【解答】解：在菱形ABCD中，∠1=∠2，
又∵M(jìn)E⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM=∠AFN=90°，
∴△AFN∽△AEM，
∴ = ，
即 = ，
解得AN=4.
故答案為：4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于得到△AFN和△AEM相似.
15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y= x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，將△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (﹣1， ) .
【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).
【分析】在RT△AOB中，求出AO的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO=CD=4、OB=BD、△OBD是等邊三角形，進(jìn)而可得RT△COE中∠COE=60°、CO=2，由三角函數(shù)可得OE、CE.
【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵OB=2，AB⊥x軸，點(diǎn)A在直線(xiàn)y= x上，
∴AB=2 ，OA= =4，
∴RT△ABO中，tan∠AOB= = ，
∴∠AOB=60°，
又∵△CBD是由△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
∴∠D=∠AOB=∠OBD=60°，AO=CD=4，
∴△OBD是等邊三角形，
∴DO=OB=2，∠DOB=∠COE=60°，
∴CO=CD﹣DO=2，
在RT△COE中，OE=CO•cos∠COE=2× =1，
CE=CO•sin∠COE=2× = ，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣1， )，
故答案為：(﹣1， ).
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查在旋轉(zhuǎn)的情況下點(diǎn)的坐標(biāo)變化，熟知旋轉(zhuǎn)過(guò)程中圖形全等即對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、旋轉(zhuǎn)角都相等的應(yīng)用是解題的切入點(diǎn)也是關(guān)鍵.
16.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接BF，下列四個(gè)結(jié)論：①△CEF∽△ACD;② =2;③sin∠CAD= ;④AB=BF.其中正確的結(jié)論有 ①②④ (寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì);解直角三角形.
【分析】①正確.四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB.
?、谡_由AE= AD= BC，又AD∥BC，所以 = = .
?、坼e(cuò)誤.設(shè)CF=a，AF=2a，由DF2=AF•CF=2a2，得DF= a，AD= = a，可得sinCAD= = = .
④正確.連接AE，由∠ABE+∠AFE=90°，推出A、B、E、F四點(diǎn)共圓，推出∠AFB=∠AEB，由△ABE≌△CDE，推出∠AEB=∠CED，由∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，推出∠BAF=∠CED，推出∠BAF=∠BFA，即可證明.
【解答】解：過(guò)D作DM∥BE交AC于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△ADC，故①正確;
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴ = ，
∵CE= BC= AD，
∴ = =2，
∴AF=2CE，故②正確，
設(shè)CF=a，AF=2a，由DF2=AF•CF=2a2，得DF= a，AD= = a
∴sinCAD= = = ，故③錯(cuò)誤.
連接AE，∵∠ABE+∠AFE=90°，
∴A、B、E、F四點(diǎn)共圓，
∴∠AFB=∠AEB，
∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，
∴△ABE≌△CDE，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，
∴∠BAF=∠CED，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BA=BF，故④正確.
故答案為①②④.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用此時(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.
三、解答題：本大題共8小題，共72分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17.(10分)(2016秋•宜賓期末)(1)計(jì)算： ﹣2sin60°+(1﹣ )0﹣|﹣ |.
(2)解方程：x2+6x﹣1=0.
【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法;實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】(1)根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算;
(2)利用公式法解方程.
【解答】解：(1)原式=2 ﹣2× +1﹣
=2 ﹣ +1﹣
=1;
(2)△=62﹣4×1×(﹣1)=40，
x= =﹣3± ，
所以x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.也考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算.
18.若x= ﹣ ，y= + ，求x2y+xy2的值.
【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算法則求出x+y、xy，利用提公因式法把原式變形，代入計(jì)算即可.
【解答】解：∵x= ﹣ ，y= + ，
∴x+y=( ﹣ )+( + )=2 ，xy=( ﹣ )( + )=1，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=2 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則、提公因式法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.
19.我市某校開(kāi)展“經(jīng)典誦讀”比賽活動(dòng)，誦讀材料有《論語(yǔ)》，《三字經(jīng)》，《弟子規(guī)》(分別用字母A、B、C依次表示這三個(gè)誦讀材料)，將A、B、C這三個(gè)字母分別寫(xiě)在3張完全相同的不透明卡片的正面上，把這3張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.小華和小敏參加誦讀比賽，比賽時(shí)小華先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的內(nèi)容，放回后洗勻，再由小敏從中隨機(jī)抽取一張卡片，選手按各自抽取的卡片上的內(nèi)容進(jìn)行誦讀比賽.
(1)小華誦讀《弟子規(guī)》的概率是 ;
(2)請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求小華和小敏誦讀兩個(gè)不同材料的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【分析】(1)直接根據(jù)概率公式求解;
(2)利用列表法展示所有9種等可能性結(jié)果，再找出小華和小敏誦讀兩個(gè)不同材料的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.
【解答】解：(1)小華誦讀《弟子規(guī)》的概率= ;
故答案為 .
(2)列表得：
小華
小敏 A B C
A (A，A) (A，B) (A，C)
B (B，A) (B，B) (B，C)
C (C，A) (C，B) (C，C)
由表格可知，共有9種等可能性結(jié)果，其中小華和小敏誦讀兩個(gè)不同材料的結(jié)果有6種，
所以P(小華和小敏誦讀兩個(gè)不同材料)= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率.
20.如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為30m，寬為24m的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為480m2，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為多少米?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】設(shè)人行通道的寬度為x米，將兩塊矩形綠地合在一起長(zhǎng)為(30﹣3x)m，寬為(24﹣2x)m，根據(jù)矩形綠地的面積為480m2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，經(jīng)檢驗(yàn)后得出x=20不符合題意，此題得解.
【解答】解：設(shè)人行通道的寬度為x米，將兩塊矩形綠地合在一起長(zhǎng)為(30﹣3x)m，寬為(24﹣2x)m，
由已知得：(30﹣3x)•(24﹣2x)=480，
整理得：x2﹣22x+40=0，
解得：x1=2，x2=20，
當(dāng)x=20時(shí)，30﹣3x=﹣30，24﹣2x=﹣16，
不符合題意，
故人行通道的寬度為2米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵.
21.如圖，已知AB∥CD，AD、BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在ED上，且∠CBF=∠D.
(1)求證：FB2=FE•FA;
(2)若BF=3，EF=2，求△ABE與△BEF的面積之比.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)要證明FB2=FE•FA，只要證明△FBE∽△FAB即可，根據(jù)題目中的條件可以找到兩個(gè)三角形相似的條件，本題得以解決;
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論可以得到AE的長(zhǎng)，然后根據(jù)△ABE與△BEF如果底邊分別為AE和EF，則底邊上的高相等，面積之比就是AE和EF的比值.
【解答】(1)證明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D.
又∵∠CBF=∠D，
∴∠A=∠CBF，
∵∠BFE=∠AFB，
∴△FBE∽△FAB，
∴
∴FB2=FE•FA;
(2)∵FB2=FE•FA，BF=3，EF=2
∴32=2×(2+AE)
∴
∴ ，
∴△ABE與△BEF的面積之比為5：4.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件.
22.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+m2+1=0.
(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè)x1，x2分別是方程的兩個(gè)根，且滿(mǎn)足x12+x22=x1x2+10，求實(shí)數(shù)m的值.
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系;根的判別式.
【分析】(1)若一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍;
(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x1+x2=2m﹣1，x1•x2=m2+1，再把x12+x22=x1x2+10利用完全平方公式變形為(x1+x2)2﹣3x1•x2=10，然后代入計(jì)算即可求解.
【解答】解：(1)由題意有△=(2m﹣1)2﹣4(m2+1)≥0，
解得m≤﹣ ，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤﹣ ;
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=2m﹣1，x1•x2=m2+1，
∵x12+x22=x1x2+10，
∴(x1+x2)2﹣2x1•x2=x1x2+10，
∴(2m﹣1)2﹣3(m2+1)=10，
∴2m2+9m﹣5=0，
解得m1=6，m2=﹣2，
∵m≤﹣ ，
∴m=6舍去，
∴m=﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，利用兩根關(guān)系得出的結(jié)果必須滿(mǎn)足△≥0的條件.
23.(10分)(2016秋•宜賓期末)如圖，已知斜坡AB長(zhǎng)為80米，坡角(即∠BAC)為30°，BC⊥AC，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分坡體(用陰影表示)修建一個(gè)平行于水平線(xiàn)CA的平臺(tái)DE和一條新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡角為45°，求平臺(tái)DE的長(zhǎng);(結(jié)果保留根號(hào))
(2)一座建筑物GH距離A處36米遠(yuǎn)(即AG為36米)，小明在D處測(cè)得建筑物頂部H的仰角(即∠HDM)為30°.點(diǎn)B、C、A、G、H在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)C、A、G在同一條直線(xiàn)上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高度.(結(jié)果保留根號(hào))
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題;解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.
【分析】(1)根據(jù)題意得出∠BEF=45°，解直角△BDF，求出BF，DF，進(jìn)而得出EF的長(zhǎng)，即可得出答案;
(2)利用在Rt△DPA中，DP= AD，以及PA=AD•cos30°進(jìn)而得出DM的長(zhǎng)，利用HM=DM•tan30°得出即可.
【解答】解：(1)∵修建的斜坡BE的坡角為45°，
∴∠BEF=45°，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=40，
∴BF=EF= BD=20，DF= ，
∴DE=DF﹣EF=20 ﹣20，
∴平臺(tái)DE的長(zhǎng)為(20 ﹣20)米;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AC，垂足為P.
在Rt△DPA中，DP= AD= ×40=20，PA=AD•cos30°=20 ，
在矩形DPGM中，MG=DP=20，DM=PG=PA+AG=20 +36.
在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=(20 +36)× =20+12 ，
則GH=HM+MG=20+12 +20=40+12 .
答：建筑物GH高為(40+12 )米.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題以及仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)圖形構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)得出是解題關(guān)鍵.
24.(12分)(2016秋•宜賓期末)已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB.△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，速度為1cm/s;同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB方向勻速移動(dòng)，速度為1cm/s;當(dāng)△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)，如圖②.設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s)(0
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB?
(2)當(dāng)t=3時(shí)，求△QMC的面積;
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥MQ?若存在，求出t的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題;一元二次方程的解;三角形的面積;相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)PQ∥AB，得出關(guān)于t的比例式，求解即可;
(2)過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于D，根據(jù)△CPD∽△CBA，列出關(guān)于t的比例式，表示出PD的長(zhǎng)，再根據(jù)S△QMC= QC•PD，進(jìn)行計(jì)算即可;
(3)過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，根據(jù)△CPD∽△CBA，得出 ， ，再根據(jù)△PDQ∽△QEM，得到 ，即PD•EM=QE•DQ，進(jìn)而得到方程 = ，求得 或t=0(舍去)，即可得出當(dāng) 時(shí)，PQ⊥MQ.
【解答】解：(1)如圖所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，
∴Rt△ABC中，AC=4，
若PQ∥AB，則有 ，
∵CQ=PA=t，CP=4﹣t，QB=5﹣t，
∴ ，
即20﹣9t+t2=t2，
解得 ，
當(dāng) 時(shí)，PQ∥AB;
(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠PDC=∠A=90°，
∵∠PCD=∠BCA
∴△CPD∽△CBA，
∴ ，
當(dāng)t=3時(shí)，CP=4﹣3=1，
∵BA=3，BC=5，
∴ ，
∴ ，
又∵CQ=3，PM∥BC，
∴ ;
(3)存在時(shí)刻 ，使PQ⊥MQ，
理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，
∵△CPD∽△CBA，
∴ ，
∵BA=3，CP=4﹣t，BC=5，CA=4，
∴ ，
∴ ， .
∵PQ⊥MQ，
∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，
∴△PDQ∽△QEM，
∴ ，即PD•EM=QE•DQ.
∵ ，
，
，
∴ = ，
即2t2﹣3t=0，
∴ 或t=0(舍去)，
∴當(dāng) 時(shí)，PQ⊥MQ.
【點(diǎn)評(píng)】此題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形.
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