高二數(shù)學下學期期末考試題
數(shù)學中有許多概念，如何讓學生正確地掌握概念，應該指明學習概念需要怎樣的一個過程，應達到什么程度，今天小編就給大家分享了高二數(shù)學，歡迎大家來多多參考哦
高二數(shù)學下學期期末聯(lián)考試題
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題：本大題共12小題， 每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1.已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
2.復數(shù) 的實部為
A. B. C. D.
3. 的展開式中 的系數(shù)為
A. B. C. D.
4.《九章算術》中，將底面是直角三角形的 直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為
A. B. C. D.
5若實數(shù) 滿足條件 ，則 的最小值為
A. B. C. D.
6.在等比數(shù)列 中， ，公比為 ，前 項和為 ，若數(shù)列 也是等比數(shù)列，則 等于
A. B. C. D.
7.直線 分別與 軸， 軸交于 ， 兩點，點 在圓 上，則 面積的取值范圍是
A. B. C. D.
8.函數(shù) 的部分圖象可能是
A. B.
C. D.
9.拋物線 的焦點為 ，點 ， 為拋物線上一點，且 不在直線 上，則 周長的最小值為
A. B. C. D.
10.正四棱錐的頂點都在同一球面 上，若該棱錐的高和底面邊長均為 ，則該球的體積為
A. B. C. D.
11.在長方體 中， ， ，則異面直線 與 所成角的余弦值為
A. B. C. D.
12.已知 是定義域為 的奇函數(shù)，滿足 .若 ，則
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.曲線 在點 處的切線方程為__________.
14.已知向量 ， ， .若 ，則 __________.
15.學校藝術節(jié)對同一類的 四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：
甲說：“是 或 作品獲得 一等獎”
乙說：“ 作品獲得一等獎”
丙說：“ 兩項作品未獲得一等 獎”
丁說：“是 作品獲得一等獎”
若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是___________.
16.如圖在 中， ， ，點 是 外一點， , 則平面四邊形 面積的最大值是___________.
三、解答題：本大題共6小題，共 70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分) 記 為等差數(shù)列 的前 項和，已知 ， .
(Ⅰ)求 的通項公式;
(Ⅱ)求 ，并求 的最小值.
[來源:學|科|網(wǎng)]
18.(本小題滿分12分)在如圖所示的六面體中，面 是邊長為 的正方形，面 是直角梯形， ， ， .
(Ⅰ)求證： //平面 ;
(Ⅱ)若二面角 為 ，求直線 和平面 所成角的正弦值.
19. (本小題滿分12分)為迎接 月 日的“全民健身日”，某大學學生會從全體男生中隨機抽取 名男生參加 米中長跑測試，經(jīng)測試得到每個男生的跑步所用時間的莖葉圖(小數(shù)點前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點的后一位數(shù)字為葉)，如圖，若跑步時間不高于 秒，則稱為“好體能”.
(Ⅰ) 寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅱ)要從這 人中隨機選取 人，求至少有 人是“好體能”的概率;
(Ⅲ)以這 人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校男生的總體數(shù)據(jù)，若從該校男生(人數(shù)眾多)任取 人，記 表示抽到“好體能”學生的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學期望.
(20)(本小題滿分12分) 設橢圓 的右頂點為A，上頂點為B.已知橢圓的離心率為 ， .
(I)求橢圓的方程;
(II)設直線 與橢圓交于 兩點， 與直線 交于點M，且點P，M均在第四象限.若 的面積是 面積的2倍，求k的值.
21.已知函數(shù) .
(Ⅰ)求函數(shù) 的最大值;
(Ⅱ)已知 ，求證 .
22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知直線 ： ( 為參數(shù))，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系.圓 的極坐標方程為 .
(Ⅰ) 求圓心 的極坐標;
(Ⅱ)設點 的直角坐標為 ，直線 與圓 的交點為 ,求 的值.
23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
已知關于 的不等式
(Ⅰ)當 時，求不等式解集;
(Ⅱ)若不等式有解，求 的范圍.
數(shù)學理科答案
選擇題 CADDB CBBCA AD
填空題
17(I)設 的公差為d，由題意得 .……………………………………………………………… 3分
由 得d=2.
所以 的通項公式為 .………………………………………………………………………………… 6分
(II)由(1)得 .………………………………………………………………………9分
所以當n=4時， 取得最小值，最小值為−16.………………………………………………………………………12分
18證明：(I)連接 相交于點 ，取 的中點為 ,連接 .
是正方形， 是 的中點， ,
又因為 ,所以 且 ，
所以四邊形 是平行四邊形，……………………………………………………………………… ………… 3分
，又因為 平面 , 平面
平面 …………………………………………………………………5分
(II) 是正方形， 是直角梯形， ，
, 平面 ,同理可得 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 ,
又因為二面角 為 ，
所以 , , ,由余弦定理得 ,
所以 ,又因為 平面 ，
,所以 平面 ，…………………………………………………7分
以 為坐標原點， 為 軸、 為 軸、 為 軸建立空間直角坐標系.
則 ,………………… …………………8分
所以 ,設平面 的一個法向量為 ，
則 即 令 ，則 ，
所以 ………………………………………………………11分
設直線 和平面 所成角為 ，
則 ………………………………………12分
19解： (I)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是 ;………………………………………………………………3分
(II)設求至少有 人是“好體能”的事件為A,則事件A包含得基本事件個數(shù)為;
總的基本事件個數(shù)為 ， …………………………………………7分
(Ⅲ) 的可能取值為
由于該校男生人數(shù)眾多，故 近似服從二項分布 …………………………………………………………9分
， , ,
的分布列為
故 的數(shù)學期望 ………………………………………………………………………1 2分
20(I)解：設橢圓的焦距為2c，由已知得 ，又由 ，可得
由 ,從而 .
所以，橢圓的方程為 . …………………………………………………………………………5分
(II)解：設點P的坐標為 ，點M的坐標為 ，由題意， ，
點 的坐標為 由 的面積是 面積的2倍，可得 ，
從而 ，即 .……………………………………………………………………………6分
易知直線 的方程為 ，由方程組
消去y，可得 .
由方程組 消去 ，可得 . …………………………………………………………9分
由 ， 可得 ，
兩邊平方，整理得 ，解得 ，或 .
當 時， ，不合題意，舍去;
當 時， ， ，符合題意.
所以， 的值為 . ………………………………………………………………………………12分
21解：(I)因為 ，
…………………………………………………………2分
當 時 ;當 時 ，
則 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減. 所以 的最大值為 . …………………………………………………………………5分
(II)由 得， ，………7分
則 ，又因為 ，有 ，
構造函數(shù) ………………………………………9分
則 ，
當 時， ，可得 在 單調(diào)遞增，
有 ， ……………………………………………………11分
所以有 .………………………………………12分
22解：(I)由題意可知圓的直角坐標系方程為 ，
所以圓心的極坐標為 . ……………………………………………4分
(II)因為圓的直角坐標系方程為 ，直線方程為 ，
得到 所以 . ………………………………………10分
23解：(I)當 時，則
所以
即不等式解集為 . ………………………………………………5分
(II)令 ，由題意可知;
又因為
所以 ，即 . …………………………………………10分
高二數(shù)學理科下學期期末試題閱讀
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.下列運算正確的為( )
A. ( 為常數(shù)) B.
C. D.
2.已知 ，則復數(shù) ( )
A. B. C. D.
3.已知曲線 在點 處的切線平行于直線 ，那么點 的坐標為( )
A. 或 B. 或
C. D.
4.隨機變量 ，且 ，則 ( )
A.0.20 B.0.30 C.0.70 D.0.80
5.設 ，那么 ( )
A. B. C. D.
6.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數(shù)，事件 “第一次取到的是偶數(shù)”， “第二次取到的是偶數(shù)”，則 ( )
A. B. C. D.
7.用反證法證明命題“已知函數(shù) 在 上單調(diào)，則 在 上至多有一個零點”時，要做的假設是( )
A. 在 上沒有零點 B. 在 上至少有一個零點
C. 在 上恰好有兩個零點 D. 在 上至少有兩個零點
8.在 的展開式中，各項系數(shù)與二項式系數(shù)和之比為 ，則 的系數(shù)為( )
A.21 B.63 C.189 D.729
9.如圖是函數(shù) 的導函數(shù) 的圖象，則下面判斷正確的是( )
A.在 上 是增函數(shù)
B.在 上 是減函數(shù)
C.在 上 是增函數(shù)
D.在 時， 取極大值
10.若 是離散型隨機變量， ， ，又已知 ， ，則 的值為( )
A. B. C.3 D.1
11.已知某超市為顧客提供四種結賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中的三種結賬方式，那么他們結賬方式的可能情況有( )種
A.19 B.26 C.7 D.12
12.已知在 上的可導函數(shù) 的導函數(shù)為 ，滿足 ，且 為偶函數(shù)， ，則不等式 的解集為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每小題5分，共計20分)
13.某研究性學習小組調(diào)查研究學生玩手機對學習的影響，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表
玩手機 不玩手機 合計
學習成績優(yōu)秀 4 8 12
學習成績不優(yōu)秀 16 2 18
合計 20 10 30
經(jīng)計算 的值，則有 的把握認為玩手機對學習有影響.
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
， .
14.由曲線 與 圍成的封閉圖形的面積是 .
15.對于三次函數(shù) ，定義：設 是函數(shù) 的導數(shù) 的導數(shù)，若方程 有實數(shù)解 ，則稱點 為函數(shù) 的“拐點”，有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心;且‘拐點’就是對稱中心.”根據(jù)此發(fā)現(xiàn)，若函數(shù) ，計算 .
16.對于函數(shù) ，若存在區(qū)間 ，當 時， 的值域為 ，則稱 為 倍值函數(shù).下列函數(shù)為2倍值函數(shù)的是 (填上所有正確的序號).
① ②
?、?④
三、解答題(共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.已知 ， ， 為實數(shù).
(Ⅰ)若 ，求 ;
(Ⅱ)若 ，求實數(shù) ， 的值.
18.已知函數(shù) .
(Ⅰ)若 在 處取得極值，求 的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若 在區(qū)間 內(nèi)有極大值和極小值，求實數(shù) 的取值范圍.
19.某校倡導為特困學生募捐，要求在自動購水機處每購買一箱礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出礦泉水箱數(shù)和收入情況，列表如下：
售出水量 (單位：箱)
7 6 6 5 6
收入 (單位：元)
165 142 148 125 150
學校計劃將捐款以獎學金的形式獎勵給品學兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎學金500元;綜合考核21～50名，獲二等獎學金300元;綜合考核50名以后的不獲得獎學金.
(Ⅰ)若售出水量箱數(shù) 與 成線性相關，則某天售出9箱水時，預計收入為多少元?
(Ⅱ)甲乙兩名學生獲一等獎學金的概率均為 ，獲二等獎學金的概率均為 ，不獲得獎學金的概率均為 ，已知甲乙兩名學生獲得哪個等級的獎學金相互獨立，求甲乙兩名學生所獲得獎學金之和 的分布列及數(shù)學期望.
附：回歸直線方程 ，其中 ， .
20.如圖(1)是一個仿古的首飾盒，其左視圖是由一個半徑為 分米的半圓和矩形 組成，其中 長為 分米，如圖(2).為了美觀，要求 .已知該首飾盒的長為 分米，容積為4立方分米(不計厚度)，假設該首飾盒的制作費用只與其表面積有關，下半部分的制作費用為每平方分米2百元，上半部制作費用為每平方分米4百元，設該首飾盒的制作費用為 百元.
(Ⅰ)寫出 關于 的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)當 為何值時，該首飾盒的制作費用最低?
21.已知函數(shù) 在點 處的切線與直線 垂直.
(Ⅰ)求函數(shù) 的極值;
(Ⅱ)若 在 上恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.
22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系 中，直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)， )，以坐標原點 為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 的極坐標方程為 .
(Ⅰ)求直線 的普通方程與曲線 的直角坐標方程;
(Ⅱ)若直線 與曲線 交于 、 兩點，求 的最小值.
23.選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) ， .
(Ⅰ)若 恒成立，求 的取值范圍;
(Ⅱ)已知 ，若 使 成立，求實數(shù) 的取值范圍.
高二數(shù)學(理科)試題參考答案
一、選擇題
1-5: CABBD 6-10: BDCCD 11、12：BA
二、填空題
13. 99.5 14. 1 15. 2018 16. ①②④
三、解答題
17.解：(Ⅰ)∵ ，∴ .
∴ ，
∴ ;
(Ⅱ)∵ ，
∴
.
∴ ，
解得 ，
∴ ， 的值為：-3，2.
18.解： ，
(Ⅰ)∵ 在 處取得極值，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，令 ，則 ，
∴ ，
∴函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
(Ⅱ)∵ 在 內(nèi)有極大值和極小值，
∴ 在 內(nèi)有兩不等實根，對稱軸 ，
∴ ，
即 ，
∴ .
19.解：(Ⅰ) ， ，
，
，
所以線性回歸方程為 ，
當 時， 的估計值為206元;
(Ⅱ)甲乙兩名同學所獲得獎學金之和 的可能取值為0，300，500，600，800，1000;
;
;
;
;
;
.
0 300 500 600 800 1000
所以 的數(shù)學期望 .
20.解：(Ⅰ)由題知 ，
∴ .
又因 ，得 ，
∴
.
(Ⅱ)令 ，
∴ ，
令 則 ，
∵ ，
當 時 ，函數(shù) 為增函數(shù).
∴ 時， 最小.
答：當 分米時，該首飾盒制作費用最低.
21.解：(Ⅰ)函數(shù) 的定義域為 ， ，
所以函數(shù) 在點 處的切線的斜率 .
∵該切線與直線 垂直，所以 ，解得 .
∴ ， ，
令 ，解得 .
顯然當 時， ，函數(shù) 單調(diào)遞增;當 時， ，函數(shù) 單調(diào)遞減.
∴函數(shù) 的極大值為 ，函數(shù) 無極小值.
(Ⅱ) 在 上恒成立，等價于 在 上恒成立，
令 ，則 ，
令 ，則 在 上為增函數(shù)，即 ，
?、佼?時， ，即 ，則 在 上是增函數(shù)，
∴ ，故當 時， 在 上恒成立.
②當 時，令 ，得 ，
當 時， ，則 在 上單調(diào)遞減， ，
因此當 時， 在 上不恒成立，
22.解：(Ⅰ)將 ( 為參數(shù)， )消去參數(shù) ，
得直線， ，即 .
將 代入 ，得 ，
即曲線 的直角坐標方程為 .
(Ⅱ)設直線 的普通方程為 ，其中 ，又 ，
∴ ，則直線 過定點 ，
∵圓 的圓心 ，半徑 ， ，
故點 在圓 的內(nèi)部.
當直線 與線段 垂直時， 取得最小值，
∴ .
23.解：(Ⅰ)∵ ，若 恒成立，需 ，
即 或 ，
解得 或 .
(Ⅱ)∵ ，∴當 時， ，
∴ ，即 ， 成立，
由 ，∵ ，∴ (當且僅當 等號成立)，
∴ .
又知 ，∴ 的取值范圍是 .
有關高二數(shù)學下學期期末試卷
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.不需寫出解題過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.
1.已知復數(shù) 是純虛數(shù)( 為虛數(shù)單位)，則實數(shù) 的值為 .
2.已知點 ， ，則 .
3.若 ，則 的值為 .
4.已知隨機變量 服從二項分布 ，那么方差 的值為 .
5.三個同學猜同一個謎語，如果每人猜對的概率都是 ，并且各人猜對與否相互獨立，那么他們同時猜對的概率為 .
6.已知矩陣 ，則矩陣 的逆矩陣為 .
7.若從4名男生和3名女生中任選2人參加演講比賽，則至少選出1名女生的概率為 .(結果用分數(shù)表示)
8.在極坐標系中，已知 到直線 ： ， 的距離為2，則實數(shù) 的值為 .
9.設向量 ， ，且 ，則 的值為 .
10.圓 ： 在矩陣 對應的變換作用下得到了曲線 ，曲線 的矩陣 對應的變換作用下得到了曲線 ，則曲線 的方程為 .
11.若 的二項展開式中的第3項的二項式系數(shù)為15，則 的展開式中含 項的系數(shù)為 .
12.將4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有2個空盒的方法共有 種(用數(shù)字作答).
13.對于自然數(shù)方冪和 ， ， ，求和方法如下：
，
，
…
，
將上面各式左右兩邊分別相加，就會有 ，解得 ，類比以上過程可以求得 ， 且與 無關，則 的值為 .
14.化簡 .
二、解答題：本大題共6小題，15-17題每題14分，18-20題每題16分，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.已知復數(shù) ， 為虛數(shù)單位.
(1)求 ;
(2)若復數(shù) 滿足 ，求 的最大值.
16.已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點 重合，極軸與 軸的正半軸重合，若直線 的參數(shù)方程為： ( 為參數(shù))，曲線 的極坐標方程為： .
(1)求直線 的普通方程和曲線 的直角坐標方程;
(2)求直線 被曲線 截得線段的長.
17.已知矩陣 ，向量 .
(1)求 的特征值 、 和特征向量 、 ;
(2)求 的值.
18.如圖，在正四棱柱 中， ， ，建立如圖所示的空間直角坐標系 .
(1)若 ，求異面直線 與 所成角的大小;
(2)若 ，求直線 與平面 所成角的正弦值;
(3)若二面角 的大小為 ，求實數(shù) 的值.
19.假設某士兵遠程射擊一個易爆目標，射擊一次擊中目標的概率為 ，三次射中目標或連續(xù)兩次射中目標，該目標操作，停止射擊，否則就一直獨立地射擊至子彈用完.現(xiàn)有5發(fā)子彈，設耗用子彈數(shù)為隨機變量 .
(1)若該士兵射擊兩次，求至少射中一次目標的概率;
(2)求隨機變量 的概率分布與數(shù)學期望 .
20.設 ，其中 ， ， 與 無關.
(1)若 ，求 的值;
(2)試用關于 的代數(shù)式表示： ;
(3)設 ， ，試比較 與 的大小.
理 科 數(shù) 學
一、填空題
1. -1 2. 5 3. 4或9 4. 5. 6.
7. 8. 1 9. 168 10.
11. 160 12. 84 13. 14.
二、解答題
15.解：(1)
(2)設 ，因為 ，所以
在復平面中，復數(shù) 對應點 ，
復數(shù) 對應點的軌跡是以為 圓心，2為半徑的圓;
因為AO= ,所以 的最大值為 .
16.解：(1)直線 的普通方程為 ，
曲線 的普通方程為 .
(2)曲線 表示以 為圓心，2為半徑的圓，
圓心到直線 的距離 ，
故直線 被曲線 截得的線段長為 .
17.解：(1)矩陣 的特征多項式為 ，
令 ，解得 ， ，
當 時，解得 ;
當 時，解得 .
(2)令 ，得 ，求得 .
所以
18.解：(1)當 時， ，， ， ， ，
則 ，
，
故 ，
所以異面直線 與 所成角為 .
(2)當 時， ， ， ， ， ，
則 ， ，
設平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時 ，
設 與平面 所成角為 ，因為 ，
則 ，
所以 與平面 所成角的正弦值為 .
(3)由 得， ， ，
設平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時 ，
又平面 的法向量 ，
故 ，解得 ，
由圖形得二面角 大于 ，所以符合題意.
所以二面角 的大小為 ， 的值為 .
19. 解：(1)該士兵射擊兩次，至少射中一次目標的概率為
.
(2)耗用子彈數(shù) 的所有可能取值為2，3，4，5.
當 時，表示射擊兩次，且連續(xù)擊中目標， ;
當 時，表示射擊三次，第一次未擊中目標，且第二次和第三次連續(xù)擊中目標，
;
當 時，表示射擊四次，第二次未擊中目標，且第三次和第四次連續(xù)擊中目標，
;
當 時，表示射擊五次，均未擊中目標，或只擊中一次目標，或擊中兩次目標前四次擊中不連續(xù)兩次或前四次擊中一次且第五次擊中，或擊中三次第五次擊中且前四次無連續(xù)擊中。
;
隨機變量 的數(shù)學期望
.
20.解：(1)由題意知 ，所以 .
(2)當 時， ，
兩邊同乘以 得：
，
等式兩邊對 求導，得：
，
令 得：
，
即 .
(3) ， ，
猜測： ，
① 當 時， ， ， ，此時不等式成立;
?、诩僭O 時，不等式成立，即： ，則 時，
所以當 時，不等式也成立;
根據(jù)①②可知， ，均有 .
【實際上問題即比較 與 的大小關系;】
理 科 數(shù) 學
(考試時間120分鐘，試卷滿分160分)
注意事項:
1.答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上規(guī)定的地方.
2.答題時，請使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字跡工整，筆跡清楚.
3.請按照題號在答題卡上各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.請保持卡面清潔，不折疊，不破損.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.不需寫出解題過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.
1.
答案：-1
2.
答案：5
3.
答案：4或9
4.
答案：
5.
答案：
6.
答案：
7.
答案：
8.
答案：1
9.
答案：168
10.
答案：
11.
答案：160
12.
答案：84
13.
答案：
14.
答案：
二、解答題：本大題共6小題，15-17題每題14分，18-20題每題16分，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.
解： (1) ……………………6分
(2)設 ，因為 ，所以 ……………………8分
在復平面中，復數(shù) 對應點 ，
復數(shù) 對應點的軌跡是以為 圓心，2為半徑的圓;
……………………10分
因為AO= ,所以 的最大值為 . ……………………14分
16.
解：(1)直線 的普通方程為 ， ……………………4分
曲線 的普通方程為 . ……………………8分
(2)曲線 表示以 為圓心，2為半徑的圓，
圓心到直線 的距離 ， ……………………10分
故直線 被曲線 截得的線段長為 . …………………14分
17.
解： (1)矩陣 的特征多項式為 ，
令 ，解得 ， ， ………4分
當 時，解得 ; ………6分
當 時，解得 . ………8分
(2)令 ，得 ，求得 . …………………10分
所以
………………14分
18.解：(1)當 時， ，， ， ， ，
則 ，
， ………………2分
故 ，
所以異面直線 與 所成角為 .……………………4分
(2)當 時， ， ， ， ， ，
則 ， ，
設平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時 ， ……………………7分
設 與平面 所成角為 ，因為 ，
則 ，
所以 與平面 所成角的正弦值為 . ……………………10分
(3)由 得， ， ，
設平面 的法向量 ，
則由 得，
不妨取 ，則 ， 此時 ， ……………13分
又平面 的法向量 ，
故 ，解得 ，
由圖形得二面角 大于 ，所以符合題意.
所以二面角 的大小為 ， 的值為 . ……………16分
19.
解：(1)該士兵射擊兩次，至少射中一次目標的概率為
………4分
(2)耗用子彈數(shù) 的所有可能取值為2，3，4，5.
當 時，表示射擊兩次，且連續(xù)擊中目標， ; ………6分
當 時，表示射擊三次，第一次未擊中目標，且第二次和第三次連續(xù)擊中目標，
; ………8分
當 時，表示射擊四次，第二次未擊中目標，且第三次和第四次連續(xù)擊中目標，
; ………10分
當 時，表示射擊五次，均未擊中目標，或只擊中一次目標，或擊中兩次目標前四次擊中不連續(xù)兩次或前四次擊中一次且第五次擊中，或擊中三次第五次擊中且前四次無連續(xù)擊中。
;
………12分
隨機變量 的數(shù)學期望
………16分
20.
解：(1)由題意知 ，所以 . ………2分
(2)當 時， ，
兩邊同乘以 得：
，
………………………4分
等式兩邊對 求導，得：
………………………6分
令 得：
，
即 …………………………………………8分
(3) ，
猜測： ………………………………………………10分
② 當 時， ， ， ，此時不等式成立;
………………………………………………11分
②假設 時，不等式成立，即： ，則 時，
所以當 時，不等式也成立; ………………………………………………15分
根據(jù)①②可知， ，均有 . …………………………16分
【實際上問題即比較 與 的大小關系;】
高二數(shù)學下學期期末試卷閱讀
第I卷 選擇題(60分)
一.選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1.已知 是虛數(shù)單位，且 ，則
A. B. C. D.
2.下列不等式成立的有
?、?，② ，③
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
3.已知 ， 則 等于
A. B. C. D.
4.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布 N(2，σ2)，P(ξ≤4)=0.84，則 P(ξ≤0)=
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
5.一牧場有 10 頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為 0.02.設發(fā)病 的牛的頭數(shù)為ξ，則 Dξ等于
A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
6.將小亮等 名同學全部安排到 、 、 、 四個社區(qū)參加社區(qū)活動，每個社區(qū)至少安排一人，則小亮在 社區(qū)的安排方案共有
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
7.某中學有高中生 人，初中生 人，高中生中男生、女生人數(shù)之比為 ，初中生中男生、女生人數(shù)之比為 ，為了解學生的學習狀況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為 的樣本，已知從初中生中抽取男生 人，則從高中生中抽取的女生人數(shù)是
A. B. C. D.
8.若 ， 滿足約束條件 ，則 的最小值是
A. B. C. D.
9.一個盒子里裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的12個球，其中黃球5個，藍球4個，綠球3個.現(xiàn)從盒子中隨機取出兩個球，記事件 為“取出的兩個球顏色不同”，事件 為“取出一個黃球，一個綠球”，則
A. B. C. D.
10.設函數(shù) ， .若當 時，不等式 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍
A. B. C. D.
11.已知函數(shù) ，在區(qū)間 內(nèi)任取兩個實數(shù) ， ，且 ，若不等式 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是
A. B. C. D.
12.已知拋物線 上一動點到其準線與到點M(0，4)的距離之和的最小值為 ，F(xiàn)是拋物線的焦點， 是坐標原點，則 的內(nèi)切圓半徑為
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.二項式 展開式中含 項的系數(shù)是 .
14.已知函數(shù) 的圖象在點 處的切線斜率為 ，則 .
15.在平面直角坐標系中，點A，點B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x +y -4 =0相切，則圓C面積的最小值為 .
16.已知函數(shù) 的定義域是 ，關于函數(shù) 給出下列命題：
?、賹τ谌我?，函數(shù) 是 上的減函數(shù);②對于任意 ，函數(shù) 存在最小值;
?、鄞嬖?，使得對于任意的 ，都有 成立;
④存在 ，使得函數(shù) 有兩個零點.
其中正確命題的序號是________.(寫出所有正確命題的序號)
三.解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) ，且當 時，函數(shù) 取得極值為 .
(1)求 的解析式;
(2)若關于 的方程 在 上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù) 的取值范圍.
18.(本小題滿分12分)
世界那么大，我想去看看，每年高考結束后，處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動機強烈，旅游可支配收入日益增多，可見高中畢業(yè)生旅游是一個巨大的市場.為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費支出(單位:百元)的情況，相關部門隨機抽取了某市的1000名畢業(yè)生進行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：
組別 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)
頻數(shù) 2 250 450 290 8
(1)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);
(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態(tài)分布 ，若該市共有高中畢業(yè)生35000人，試估計有多少位同學旅游費用支出在 8100元以上;
(3)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在[80,100)錯誤!未找到引用源。范圍內(nèi)的8名學生中有5名女生，3名男生， 現(xiàn)想選其中3名學生回訪，記選出的男生人數(shù)為 ，求 的分布列與數(shù)學期望.
附:若 錯誤!未找到引用源。，則
，
19.(本小題滿分12分)
如圖所示，三棱錐 中， 平面 ， ， ， 為 上一點， ， ， 分別為 ， 的中點.
(1)證明： ;
(2)求平面 與平面 所成角的余弦值.
20.(本小題滿分12分)
已知中心在原點 ，焦點在 軸上的橢圓 過點 ，離心率為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)設過定點 的直線 與橢圓 交于不同的兩點 ，且 ，求直線 的斜率 的取值范圍;
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性;
(2)若不等式 在 時恒成立，求實數(shù) 的取值范圍;
(3)當 時，證明： .
(二)選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22.(本小題滿分10分)
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系中， 是過點 且傾斜角為 的直線.以坐標原點 為極點，以 軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 的極坐標方程為 .
(1)求直線 的參數(shù)方程與曲線 的直角坐標方程;
(2)若直線 與曲線 交于兩點 ， ，求 .
23.(本小題滿分10分)
[選修4-5：不等式選講]
已知函數(shù) .
(1)當 時，解不等式 ;
(2)當 時，不等式 對任意 恒成立，求實數(shù) 的取
值范圍.
理科數(shù)學參考答案
一.選擇題
1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.D
二.填空題
13. 210 14. 15. 16. ②④
三.解答題
17.解：(1) ，
由題意得， ，即 ，解得 ，
∴ .
(2)由 有兩個不同的實數(shù)解，
得 在 上有兩個不同的實數(shù)解，
設 ，
由 ，
由 ，得 或 ，
當 時， ，則 在 上遞增，
當 時， ，則 在 上遞減，
由題意得 ，即 ，解得 ，
18.解：(1)設樣本的中位數(shù)為 ，
則 錯誤!未找到引用源。，
解得 ，所得樣本中位數(shù)為錯誤!未找到引用源。(百元).
估計有805位同學旅游費用支出在8100元以上.
(3) 的可能取值為0，1，2，3，
， ，
，
∴錯誤!未找到引用源。的分布列為
0 1 2 3
19. 解 設PA=1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系(如圖).
則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
又AN=14AB，M、S分別為PB、BC的中點，
∴N(12，0,0)，M(1,0，12)，S(1，12，0)，
(1)CM→=(1，-1，12)，SN→=(-12，-12，0)，
∴CM→•SN→=(1，-1，12)•(-12，-12，0)=0，
因此CM⊥SN.
(2) NC→=(-12，1,0)，設a=(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，
∴CM→•a=0，NC→•a=0.
則x-y+12z=0，-12x+y=0.∴x=2y，z=-2y.取y=1，則得 =(2,1，-2).
平面NBC的法向量
因為平面NBC與平面C MN所成角是銳二面角;所以平面NBC與平面CMN所成角的余弦值為 ..
20.解：(1)設橢圓 的方程為： ，
由已知： 得： ， ，
所以，橢圓 的方程為： .
(2)由題意，直線斜率存在，故設直線 的方程為
由 得
由 即有
即
有
解得
綜上：實數(shù) 的取值范圍為
21.解：(1)∵y=f(x)-g(x)=ln(ax+1)-x-2x+2，
y′=aax+1-4(x+2)2=ax2+4a-4(ax+1)(x+2)2，
當a≥1時，y′≥0，所以函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函數(shù);
當0
(2)當a≥1時，函數(shù)y=f(x)-g(x)是[0，+∞)上的增函數(shù).
所以f(x)-g(x)≥f(0)-g(0)= 1，
即不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0，+∞)時恒成立，
當0
綜上，實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞)
(3)當a=1時，由(2)得不等式f(x)>g(x)+1在x∈(0，+∞)時恒成立，
即ln(x+1)>2xx+2 ，所以 ，
即12k+1<12[ln(k+1)-lnk].
所以13<12(ln2-ln1)，15<12(ln3-ln2)，17<12(ln4-ln3)，...，12n+1<12[ln(n+1)-lnn].
將上面各式相加得到，13+15+17+…+12n+1<12[(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+(ln(n+1)-lnn)]=12ln(n+1)=12f(n).
∴原不等式成立.
22.解：(1)直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)).
由曲線 的極坐標方程 ，得 ，
把 ， ，代入得曲線 的直角坐標方程為 .
(2)把 代入圓 的方程得 ，
化簡得 ，
設 ， 兩點對應的參數(shù)分別為 ， ，
則 ，∴ ， ，則 .
23.解：(1)當 時，由 得： ，
故有 或 或 ，
∴ 或 或 ，∴ 或 ，
∴ 的解集為 .
(2)當 時 ，∴ ，
由 得： ，∴ ，∴ 的取值范圍為 .
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