秋季學期理科高二年級數(shù)學期中題
我們在學習數(shù)學的時候要把知道什么方法是最適合自己的，今天小編就給大家分享一下高二數(shù)學，歡迎大家閱讀哦
理科高二數(shù)學上學期期中試卷
一. 選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.)
1.直線 的傾斜角大小( )
A. B. C. D.
2.已知正 的邊長為 ，那么用斜二測畫法得到的 的直觀圖 的面積為( )
A. B. C. D.
3.設(shè) 是兩條不同的直線, , 是兩個不同的平面,下列命題是真命題的是( )
A. 若 則 B. 若 則
C. 若 則 D. 若 則
4. 方程 所表示的直線( )
A. 恒過定點 B. 恒過定點
C. 恒過點 和 D. 都是平行直線
5.在空間直角坐標系中,已知點 , ,點 在 軸上,若 ,則點 的坐標為( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
6.已知某個幾何體的三視圖如下,根據(jù)圖中標出的尺寸(單位 ),可得這個幾何體的體積是( )
A. B. C. D.
7.如圖,在正三棱柱 中, , 、 分別是 和 的中點,則直線 與 所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
8.如圖,在正方體 中,棱長為 , 、 分別為 與 的中點, 到平面 的距離為( )
A. B.
C. D.
9.過正方形 的頂點 ,引 平面 .若 ,則平面 和平面 所成的二面角的大小是( )
A. B.
C. D.
10.在三棱錐 中, 平面 , , , 分別是 , 的中點, ,且 .設(shè) 與 所成角為 , 與平面 所成角為 ,二面角 為 ,則( )
A. B.
C. D.
11.如圖1,直線 將矩形紙 分為兩個直角梯形 和 ,將梯形 沿邊 翻折,如圖2,在翻折的過程中(平面 和平面 不重合),下面說法正確的是( )
圖1 圖2
A. 存在某一位置,使得 平面
B. 存在某一位置,使得 平面
C. 在翻折的過程中, 平面 恒成立
D. 在翻折的過程中, 平面 恒成立
12.在三棱錐 中, 平面 , , , , 是邊 上的一動點,且直線 與平面 所成角的最大值為 ,則三棱錐 的外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
二. 填空題(本大題共4小題，每題4分，共16分.)
13.已知圓錐的底面半徑為 ，母線長為 ，則它的體積是________.
14.已知直線 經(jīng)過點 且與以 , 為端點的線段 有公共點,則直線 的傾斜角的取值范圍為________.
15.在棱長為 的正方體 中， 的中點是 ，過 作與截面 平行的截面，則該截面的面積為________.
16.已知四棱錐 的底面 是矩形, 底面 ,點 、 分別是棱 、 的中點,則
?、倮?與 所在直線垂直;
?、谄矫?與平面 垂直;
?、?的面積大于 的面積;
④直線 與平面 是異面直線.
以上結(jié)論正確的是________.(寫出所有正確結(jié)論的編號)
三.解答題(本大題共4小題，共48分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
17.直線 過點 和第一、二、四象限,若直線 的橫截距與縱截距之和為 ,求直線 的方程.
18. 如圖,三棱錐 中, 兩兩垂直, 分別是 的中點.
(1)證明：平面 面 ;
(2)求直線 與平面 所成角的正弦值.
19.如圖,在四棱錐 中,底面 是菱形, ,側(cè)面 是正三角形,平面 平面 , , 為 的中點.
(1)求證 平面 .
(2)求二面角 的余弦值.
20.如圖,由直三棱柱 和四棱錐 構(gòu)成的幾何體中, ,平面 平面 .
(1)求證: ;
(2)若 為 中點,求證: 平面 ;
(3)在線段 上(含端點)是否存在點 ,使直線 與平面 所成的角為 ?若存在,求 得值,若不存在,說明理由.
數(shù)學參考答案(理科)
考查時間：90分鐘 滿分：100分
二. 選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.)
BDCAA CDDBA CB
三. 填空題(本大題共4小題，每題4分，共16分.)
13. 14. 15. 16. ①③
三.解答題(本大題共4小題，共48分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
17.(本小題10分)
解：設(shè)直線 的橫截距為 ，由題意可得縱截距為 .
∴直線 的方程為 .
∵點 在直線 上，∴ ， ，解得 或 .
當 時，直線的方程為 ，直線經(jīng)過第一、二、四象限.
當 時，直線的方程為 ，直線經(jīng)過第一、二、四象限.
綜上所述，所求直線方程為 和 . ------10分
18.(本小題12分)
(1)證明：∵ 分別是 的中點,
∴ ,又 平面 , 平面
∴ 平面 ,
同理可得： 平面 ,
又 平面 , 平面 , ,
∴平面 平面 . ------5分
(2)以 為坐標原點,以 為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：
則 ,
∴ ,
設(shè)平面 的法向量 ,則 ,
∴ ,令 可得 .
∴ .
設(shè) 與面 所成角為 ,則 .
∴ 與面 所成角的正弦值為 . ------12分
19.(本小題12分)
解：(1)取 中點 ,連接 ,∵側(cè)面 是正三角形,平面 平面 ,
∴ 底面 ,因為底面 為菱形,且 , ,
∴ , ,以 為原點,
分別以 所在直線為 軸, 軸, 軸,建立空間直角坐標系,
則 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,又 ,
∴ 平面 . ------5分
(2) ,設(shè)平面 的一個法向量 ,
則 ,
取 ,得 ,
由(1)知平面 的法向量為 ,
∴ ,
由圖象得二面角 是鈍角,所以二面角 的余弦值為 .
------12分
20.(本小題14分)
(1)證明：在直三棱柱 中,
∵ 平面 ∴
∵平面 平面 ,且平面 平面
∴ 平面
∴ ------4分
(2)在直三棱柱 中,
∵ 平面 ,∴ ,
又 ,
建立如圖所示的空間直角坐標系,由已知可得 ,
,
設(shè)平面 的法向量
∵ ∴ ,
令 則 ,
∵ 為 的中點,∴ ,
∵ ∴
又 平面 ,∴ 平面 ------8分
(3)由(2)可知平面 的法向量 ,
設(shè) ,
則 ,
若直線 與平面 所成的角為 ,
則
解得 , 故不存在這樣的點 ,使得直線 與平面 所成的角為 .
------14分
高二數(shù)學上學期期中試題帶答案
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.直線x+√3 y-2=0的傾斜角為( )
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
2.在空間直角坐標系O-xyz中，若點A(1,2,1)，B(-3,-1,4)，點C是點A關(guān)于xOy平面的對稱點，則|BC|=( )
A. √22 B. √26 C. √42 D. 5√2
3.若直線(1-a)x+ay-3=0與(2a+3)x+(a-1)y-2=0互相垂直，則a等于( )
A. -3 B. 1 C.1或-3 D. 0或-3/2
4.如圖水平放置的一個平面圖形的直觀圖是邊長為 1 cm 的正方形，則原圖形的周長是( )
A. 6cm B. 8cm C. 2(1+√3)cmD. 2(1+√2)cm
5.設(shè) m，n 是兩條不同的直線，α，β 是兩個不同的平面，下列命題中正確的是( )
A. 若 α⊥β，m⊂α，n⊂β，則 m⊥nB. 若 α"∥" β，m⊂α，n⊂β，則 m"∥" n
C. 若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，則 α⊥βD. 若 m⊥α，m"∥" n，n"∥" β，則 α⊥β
6.過點p(5,3)作圓 的兩條切線，設(shè)兩切點分別為A、B，則直線AB的方程為( )A. B.
C. D.
7.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題，題中描繪的器具的三視圖如圖所示(單位：寸).若在某天某地下雨天時利用該器具接的雨水的深度為 6 寸，則這天該地的降雨量約為()(注：平均降雨量等于器具中積水除以器具口面積.
參考公式：V= 1/3(S_上+S_下+√(S_上 S_下 ))h,其中S_上,S_下分別表示上、下底面的面積,h為高)
A. 2 寸 B. 3 寸 C. 4 寸 D. 5 寸
8.已知兩點 A(0,-3)，B(4,0)，若點 P 是圓 x^2+y^2-2y=0 上的動點，則 △ABP 面積的最小值是( )
A. 6B. 11/2C. 8D.21/2
9.已知過球面上 、 、 三點的截面和球心 的距離等于球半徑的一半,AB=BC=CA=2,則球 的體積為( )
A. B. C. D.
10.已知圓C:x^2+y^2=3，從點A(-2,0)觀察點 B(2,a)，要使視線不被圓C擋住，則a的取值范圍是 ( )
A.(-∞,-4/3 √3)∪(4/3 √3,+∞)B. (-∞,-2)∪(2,+∞)
C. (-∞,-2√3)∪(2√3,+∞)D. (-∞,-4√3)∪(4√3,+∞)
11.已知圓 C:x^2+y^2=2，直線 l:x+2y-4=0，點 P(x_0,y_0 ) 在直線l上，若存在圓 C 上的點Q，使得∠OPQ=〖45〗^°(O 為坐標原點)，則 x_0 的取值范圍是 ( )
A. [0,1]B. [0,8/5]C. [-1/2,1]D. [-1/2,8/5]
12.如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線 DE翻轉(zhuǎn)為∆A_1 DE.若M為線段A_1 C的中點，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，有下列命題：
?、?BM 是定值;
?、邳cM 在圓上運動;
③一定存在某個位置，使 DE⊥A_1 C;
?、苋?，則MB"∥" 平面A_1 DE.
其中正確的個數(shù)為( )
A、1 B、2 C、3 D、4
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,滿分20分.
13.圓 的一條經(jīng)過點(-2，1)的切線方程為 .
14.設(shè)圓C_1的方程為〖(x-5)〗^2+〖(y-3)〗^2=9，圓C_2的方程x^2+y^2-4x+2y-9=0，則兩圓的關(guān)系為___________.
15.已知圓錐的頂點為S，母線 SA，SB 互相垂直，SA與圓錐底面所成角為 〖30〗^°，若△SAB 的面積為 8，則該圓錐的體積為 .
16.M是直線x+2y-4=0上的一個動點，點A、B的坐標分別為(-1，0)、B(1，0)，則|MA|+|MB|的最小值為.
三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
如圖,在四棱錐 中,四邊形 為直角梯形, , ,
底面 ,且 , , 為 的中點.
(Ⅰ) 求證: 平面 ;
(Ⅱ)求證: .
(本小題滿分12分)
如圖,已知四邊形 是矩形, 是坐標原點, 、 、 、 按逆時針排列, 的坐標是(4,3), .
(1)求點 的坐標;
(2)求 所在直線的方程;
(3)求ABC的外接圓方程.
(本小題滿分12分)
已知圖 1 中，四邊形 ABCD 是等腰梯形，AB"∥" CD，EF"∥" CD，DM⊥AB 于 M 、交 EF 于點 N，DN=3√3，MN=√3，現(xiàn)將梯形 DCFE 沿 EF 折起，記折起后 C，D 為 Cʹ，Dʹ 且使 DʹM=2√6，如圖 2 示.
(1)證明：DʹM⊥平面ABFE;
(2)若圖 1 中，∠A=〖60〗^°，求點 M 到
平面 AEDʹ 的距離.
20、(本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐 中，底面 是平形四邊形，設(shè) ， ，點 為 的中點，且 .
(1)若 ，求二面角 的正切值;
(2)是否存在 使 ，若存在求出 ，若不存在請說明理由。
21.(本小題滿分12分)
如圖，在正方體ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1中，E,F,G分別是AB,CC_1,AD的中點.
(1)求異面直線EG與B_1 C所成角的大小;
(2)棱CD上是否存在點T，使AT//平面B_1 EF?若存在，求出 的值;若不存在，請說明理由.
22.(本小題滿分12分)
如圖，過點E(1,0)的直線與圓O:x^2+y^2=4相交于A,B兩點，過點C(2,0)且與AB垂直的直線與圓O的另一交點為D.
(1)當點B坐標為(0,-2)時，求直線CD的方程;
(2)求四邊形ACBD面積S的最大值.
考試答案
數(shù)學(理科)
選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D C B D C A B A D B C
填空題
13. 2x-y+5=0 14. 相交 15. 8π 16. 4
解答題
17. 解:(Ⅰ) 取 的中點 ,連結(jié) ,…………1分
因為 為 的中點,所以 ,又 …………2分
所以 ,所以四邊形 為平行四邊形,
所以 ,………………………………………4分
又 平面 , 平面 ,
所以 平面 .………………………………5分
(Ⅱ)在直角梯形 中, , ,
, ,過 作 于 ,
由平幾知識易得 ,
所以 ,所以 ……………………7分
又 底面 , 底面 ,
所以 …………………9分
又 ,所以 平面 .
，所以有 .…………………10分
18.解：(1)因為四邊形 是矩形, 所在直線的斜率
所以 的斜率為 , 所在的直線方程為 ,………………1分
因為 ,設(shè) ,
則 , ……………………3分
所以 (舍去),所以點 的坐標為 .……………………4分
(2)因為 與 平行, 所以 所在直線的斜率 …………6分
所以 所在直線的方程為 ,即 ………8分
(3)解法一：由題意知ABC的外接圓也是矩形ABCO的外接圓，所以線段AC的中點即為圓心，半徑 ………………………………9分
因為 ，所以圓心坐標為 …………………10分
又 ，所以半徑 ……………11分
所以ABC外接圓的方程為 …………………12分
解法二：因為AB所在直線方程為 ，即
聯(lián)立直線AB與BC的方程 得點B的坐標為
又線段BC的中點坐標為 ，其中垂線 的斜率 ，
故 ，同理得線段AB的中垂線
聯(lián)立直線 和 的方程得ABC外接圓圓心坐標為 ，設(shè)半徑為r,
則
所以ABC外接圓的方程為
給分說明:第 (Ⅱ)問中的直線若正確地寫成一般式或斜截式均給滿分.
19.解：(1) 因為 AB"∥" CD，EF"∥" CD，DM⊥AB，
所以 DM⊥EF，即 DʹN⊥EF，MN⊥EF，…………………1分
又 DʹN∩MN=N，MN⊂平面DʹMN，DʹN⊂平面DʹMN，
所以 EF⊥平面MNDʹ，又因為 DʹM⊂平面DʹMN，
所以 EF⊥DʹM，…………………3分
因為 DʹM=2√6，DʹN=3√3，MN=√3，
所以 DʹM^2+MN^2=DʹN^2，所以 DʹM⊥MN，…………………5分
又 MN∩EF=N，MN⊂平面ABFE，EF⊂平面ABFE，
所以 DʹM⊥平面ABFE.…………………6分
(2) 在 Rt△ADM 中，因為 ∠A=〖60〗^°，DM=4√3，
所以 AM=4，AD=8，…………………7分
因為 EF"∥" AB，所以 DE/AE=DN/MN=3，
所以 DE=6，AE=2，…………………8分
所以
■(V_(Dʹ-AEM)&=1/3 S_(△AEM)⋅DʹM@&=1/3×1/2×4×2×sin〖60〗^°×2√6@&=4√2,)…………………9分
在 Rt△ADʹM 中，ADʹ=√(AM^2+DʹM^2 )=2√10，所以 DʹE^2+AE^2=ADʹ^2，
所以 DʹE⊥AE，S_(△AEDʹ)=1/2 AE⋅DʹE=6，…………………10分
設(shè)點 M 到平面 AEDʹ 的距離為 h，
則 V_(M-AEDʹ)=1/3 S_(△AEDʹ)⋅h=2h，
所以 2h=4√2，解得 h=2√2，
所以點 M 到平面 AEDʹ 的距離為 2√2.…………………12分
20.解：(1)連接 ，因為 是平形四邊形，所以 ，
又 ， ，由余弦定理得 ，所以
所以 ，即 …………………2分
又因為 ， ，所以 ，
又 ，所以
因為 ，所以
所以 是二面角 的平面角，…………………4分
在 中， ，即二面角 的正切值為2.…6分
(2)解法一：假設(shè)存在 使
由(1)知 ， ，所以 ，
因為 ，所以 …………………………8分
設(shè) 在平行四邊形 中，
所以 ……………………9分
設(shè) ，由 得
解得 ，故 …………………10分
所以
所以有 ，故
即存在 ，使 …………………12分
解法二：假設(shè)存在 使
由(1)知 ， ，所以 ，
因為 ，所以 ，設(shè)
在 中，
在 中，
在平行四邊形 中， ，所以
所以
因為 ，所以 ，
即 ，解得
又 ，所以 .
即存在 ，使
21.解：(1)連接BD,B_1 D,CD_1.
因為E,G分別是AB,AD的中點，所以EG//BD.………………2分
又因為B_1 D_1//BD.所以∠CB_1 D_1為異面直線EG與B_1 C所成角.
在ΔCB_1 D_1中，因為CB_1=B_1 D_1=CD_1,所以∠CB_1 D_1=60°.……………5分
(2)在棱CD上取點T，使得DT=1/4 DC，則AT//平面B_1 EF.……………6分
證明如下:延長BC,B_1 F交于H，連EH交DC于K. …………………7分
因為CC_1//BB_1，F(xiàn)為CC_1中點，所以C為BH中點.
因為CD//AB，所以KC//AB，且KC=1/2 EB=1/4 CD. …………………9分
因為DT=1/4 DC，E為AB中點，所以TK//AE且TK=AE，
即四邊形AEKT為平行四邊形，
所以AT//EK，即AT//EH. …………………11分
又EH⊂平面B_1 EF，AT⊄平面B_1 EF，
所以AT//平面B_1 EF.此時 …………………12分
22.解：(1)當點B坐標為(0,-2)時，直線AB的斜率為(0-(-2))/(1-0)=2，
因為CD與AB垂直，所以直線CD的斜率為-1/2，…………………3分
所以直線CD的方程為y=-1/2 (x-2)，即x+2y-2=0.…………………4分
(2)當直線AB與x軸垂直時，AB=2√3,CD=4，
所以四邊形ACBD面積S= 1/2 AB•CD=4√3.…………………6分
當直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB方程為y=k(x-1)，即kx-y-k=0，
則直線CD方程為y=-1/k (x-2)，即x+ky-2=0…………………7分
點O到直線AB的距離為(|k|)/√(k^2+1)，
所以AB=2√(4-〖((|k|)/√(k^2+1))〗^2 )=2√((3k^2+4)/(k^2+1))，
點O到直線CD的距離為2/√(k^2+1)，所以CD=2√(4-〖(2/√(k^2+1))〗^2 )=4√(k^2/(k^2+1))，………………9分
則四邊形ACBD面積S= 1/2 AB•CD= 1/2•2√((3k^2+4)/(k^2+1))•4√(k^2/(k^2+1))=4√(((3k^2+4)k^2)/〖(k^2+1)〗^2 )，………10分
令k^2+1=t>1(當k=0時四邊形ACBD不存在)，
所以S=4√((3t+1)(t-1)/t^2 )=4√(4-〖(1/t+1)〗^2 )∈(0,4√3)，…………………11分
故四邊形ACBD面積S的最大值為4√3.…………………12分
理科高二上學期數(shù)學期中試題
第I卷(選擇題，共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請把答案填在答題卷相應(yīng)的位置上.
1. 將121化為六進制數(shù)為( )
A. B. C. D.
2. 某學校要從高一年級的752名學生中選取15名學生代表去敬老院慰問老人，若采用系統(tǒng)抽樣方法，首先要隨機剔除2名學生，再從余下的750名學生中抽取15名學生，則其中學生甲被選中的概率為( )
A. B. C. D.
3. 如圖所示莖葉圖記錄了甲乙兩組各5名同學的數(shù)學成績 甲組成績中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示 若兩個小組的平均成績相同，則下列結(jié)論正確的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 條件p： ，條件q： ，若p是q的必要條件，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5. 從包含小華的4位同學中依次任選3人參加知識競賽，則其中小華不是第一個被選中的概率是( )
A. B. C. D.
6. 如圖，給出的是計算 值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)可填入的條件是( )
A. B. . C. D.
7.一動圓P過定點 ，且與已知圓N：外切，則動圓圓心
P的軌跡方程是( )
A. B.
C. D.
8.設(shè) 是橢圓 的左、右焦點，過 的直線 交橢圓于 兩點，若 的最大值為 ，則橢圓的離心率為
A. B. C. D.
9.點 是橢圓 上一點， 分別是橢圓的左、右焦點，若 ，則 的正弦值為( )
A. B. C. D.
10.已知雙曲線C: ，過點 的直線 與雙曲線C只有一個公共點，則符合這樣條件的直線 共有( )
A.1條 B.2條 C. 3條 D. 4條
11.以下四個命題中，正確的個數(shù)是( )
命題“若 是周期函數(shù)，則 不是三角函數(shù)”的否命題是“若 是周期函數(shù)，則 是三角函數(shù)”;
命題“存在 ， ”的否定是“對于任意 ， ”;
“ ”是“ ”成立的充要條件;
命題 ： 且 ，命題 ： ，則p是q的必要不充分條件.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12.已知拋物線 的焦點為 ，設(shè) 是拋物線上的兩個動點，如滿足 ，則 的最小值為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案寫在答題卷相應(yīng)位置上.
13.拋物線 的準線方程為 .
14.若樣本數(shù)據(jù) ， ， ， 的標準差為4，則數(shù)據(jù) ， ， ， 的方差為_____ .
15.已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ，若雙曲線上存在點 使 ，則離心率的取值范圍是 .
16.已知命題 ：對 都 ,使得函數(shù) 至少有一個零點。命題 ：方程 為雙曲線方程，若 為真，則實數(shù) 的取值范圍為 .
三、解答題(本大題共6小題，滿分70分，解答過程要有必要文字說明與推理過程.)
17.(本小題滿分10分)
已知命題 實數(shù) 滿足 ;命題 實數(shù) 滿足 若 是 的充分不必要條件，求實數(shù) 的取值范圍.
18. (本小題滿分12分)
已知命題 命題 使方程 表示焦點在 軸上的橢圓.
(1)若命題 為真命題，求實數(shù) 的取值范圍;
(2)若命題“ ”為真，命題“ ”為假，求實數(shù) 的取值范圍.
19. (本小題滿分12分)
(1)設(shè)關(guān)于 的一元二次方程 若 是從 這四個數(shù)中任取的一個數(shù)， 是從 這三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實數(shù)根的概率.
(2)某校早上 開始上課，假設(shè)該校學生小張與小王在早上 之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，求小張比小王至少早 分鐘到校的概率.
20. (本小題滿分12分)
某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：
日 期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日
晝夜溫差x(°C) 8 13 11 12 10 6
就診人數(shù)y(個) 16 28 25 27 22 12
該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率;
(2)若選取的是5月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)1至4月份的數(shù)據(jù)，求出 關(guān)于 的線性回歸方程 ;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問(2)中所得線性回歸方程是否理想?
參考公式： ，
21.(本小題滿分12分)
已知橢圓 的對稱軸為坐標軸，焦點是 ，又點P 在橢圓 上.
求橢圓 的方程;
設(shè) 為拋物線 上一動點，過點 作拋物線 的切線交橢圓 于 兩點，求 面積的最大值.
22. (本小題滿分12分)
設(shè)拋物線的頂點在坐標原點，焦點 在 軸正半軸上，過點 的直線交拋物線于 兩點，線段 的長是 的中點到 軸的距離是 .
(1)求拋物線的標準方程;
(2)過點 作斜率為 的直線與拋物線交于 兩點，直線 交拋物線于 ，
①求證： 軸為 的角平分線;
?、谌?交拋物線于 ，且 ，求 的值.
試題答案
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答題(本大題共6小題，滿分70分)
17. ，…………2分
即 …………4分
記 …………5分
是 的充分不必要條件 的充分不必要條件…………6分
…………7分
…………8分
實數(shù) 的取值范圍為 …………10分
表示焦點在x軸上的橢圓，
∴ ，解得： ， 故 為真命題： ;…………5分
(2) 解得： ，
故 為真時： ………………7分
若命題“ ”為真，命題“ ”為假，則 一真一假，
故 ，…………………9分
解得： …………………12分
19. (1)解：設(shè)事件 為“方程 有實數(shù)根”
則 ，即 …………2分
基本事件共12個：
其中第一個數(shù)表示 的取值，第二個數(shù)表示 的取值.…………4分
事件 中含有6個基本事件，
事件 發(fā)生的概率 .…………6分
設(shè)小張到校的時間為 ，小王到校的時間為 可以看成平面中的點試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Ω 是一個矩形區(qū)域，
對應(yīng)的面積 = …………8分
則小張比小王至少早10分鐘到校事件 作出符合題意的圖象(圖略)
滿足A事件的面積 .…………10分
由幾何概率概型可知 …………12分
20. 解：(1)設(shè)抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)為事件 .因為從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有15種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的其中，抽到相鄰兩個月份的數(shù)據(jù)的情況有5種，
所以 …………3分
(2) 由數(shù)據(jù)求得 …………6分
代入公式可得 再由 …………8分
所以 關(guān)于 的線性回歸方程為 …………9分
(3)當 時， 同樣，當 時， …………11分
所以該小組所得線性回歸方程是理想的.…………12分
21.解：(1)由橢圓的定義可知 …………2分
易知橢圓的焦點在 軸上，且
所以橢圓 的方程是 .…………4分
(2)設(shè)曲線 上的點 ，易知 的斜率存在，設(shè) 將它代入 .消去 并整理得 ， 與拋物線相切
. …………6分
將 代入 整理得 …………7分
設(shè) ， .則 ，
，∴ …………9分
設(shè)點 到直線 的距離為 ，則 .
∴ .…………11分
當 時取到等號，滿足題意.∴ .…………12分
22.解(1)設(shè)拋物線方程為 ，由拋物線定義可知, …………1分
又 中點到 軸距離為3，則 ，故 ，…………2分
所以拋物線的方程 .…………3分
①設(shè) 直線 為 …………4分
…………6分
而 = …………7分
故 ，所以 軸為 的角平分線.…………8分
?、谕砜傻?軸為 的角平分線，故 三點共線,
由拋物線的對稱性知 ,
則 …………9分
又 則 ………10分
設(shè)直線 為
………11分
故 則 ,又 ………12分
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