加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合提高學(xué)生解題能力

　　一、 緒論

　　恩格斯說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”.數(shù)學(xué)中的兩大研究對象“數(shù)”和“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素.數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展的一條主線，使數(shù)學(xué)在實踐中的應(yīng)用更加廣泛和深遠(yuǎn).一方面，借助于圖形的性質(zhì)將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直觀感;另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，可以獲得準(zhǔn)確的結(jié)論.“數(shù)”和“形”的信息轉(zhuǎn)換、相互滲透，不僅使解題簡潔明快，還開拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑.數(shù)形結(jié)合是連接“數(shù)”和“形”的“橋”，它不僅是一種重要的解題方法，更是一種重要的數(shù)學(xué)思想.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合的思想更是貫穿始終.

　　二、研究的目的和意義

　　數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn).華羅庚教授說：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非.”數(shù)形結(jié)合就是充分運用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.

　　數(shù)形結(jié)合思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的精髓之一，是把許多知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多抽象問題學(xué)生往往覺得難以理解，如果教師能靈活地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直觀、易感知的問題，學(xué)生就易理解，就能把問題解決，從而獲得成功的體驗，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.尤其是對于較難問題，學(xué)生若能獨立解決或在老師的啟發(fā)和引導(dǎo)下把問題解決，心情更是愉悅，這樣，就容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、興趣和積極性.同時，學(xué)生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合法，并不斷進(jìn)行嘗試、運用，許多問題就能迎刃而解.

　　三、數(shù)形結(jié)合在提高學(xué)生解題能力中的作用

　　作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”. 其中數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”.

　　根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種數(shù)形結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到順利解決.

　　(一)“以形助數(shù)”

　　點評:運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，以開拓自己的

　　思維視野.

　　點評:數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),簡化計算.

　　點評:許多函數(shù)的最值問題，存在著幾何背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給問題以幾何直觀描述，從數(shù)形結(jié)合中找出問題的邏輯關(guān)系，啟發(fā)思維，難題巧解.

　　點評:向量具有一套良好的運算性質(zhì)，通過建立直角坐標(biāo)系可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運算，變抽象的邏輯推理為具體的向量運算，借助數(shù)的精確與規(guī)范嚴(yán)密性闡明了立體幾何的屬性，既簡化了空間想象能力難的問題，又顯得特別簡潔.

　　在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍.

　　四、數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想

　　數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)新課程所滲透的重要思想方法之一.新教材中的內(nèi)容能很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.教材中這一思想方法的滲透對發(fā)展學(xué)生的解題思路、尋找最佳解題方法有著指導(dǎo)性的作用，可對問題進(jìn)行正確的分析、比較、合理聯(lián)想，逐步形成正確的解題觀，還可在學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生對抽象概念給予形象化的理解和記憶，提高數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，并提升對現(xiàn)實世界的認(rèn)識能力，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不斷完善自己.

　　新課標(biāo)的教學(xué)內(nèi)容早已全面實施，按新課標(biāo)的教學(xué)大綱要求與知識點傳授的層次性來看，數(shù)形結(jié)合法教學(xué)主要經(jīng)歷三個階段：

　　第一階段是數(shù)形對應(yīng)，它是數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)，主要是通過平時概念的教學(xué)逐步滲透，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)、訓(xùn)練、體會、逐步領(lǐng)悟和掌握.一方面，實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)，平面上點與有序?qū)崝?shù)對間的對應(yīng)，函數(shù)與圖象的對應(yīng)，曲線與方程的對應(yīng)等，以及以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如向量、三角函數(shù)等等都為數(shù)形結(jié)合創(chuàng)造了條件，提供了理論支撐.另一方面，高中數(shù)學(xué)概念具有較強(qiáng)的抽象性、概括性，學(xué)生在理解時有較大的難度.可以借助形的幾何直觀性來達(dá)到幫助學(xué)生理解的目的.例如，將函數(shù)與圖象結(jié)合起來,用幾何方法表述函數(shù)關(guān)系來幫助學(xué)生理解函數(shù)的抽象.

　　第二階段是數(shù)形轉(zhuǎn)化，它體現(xiàn)了數(shù)與形關(guān)系在解決問題過程中，如何作為一種方法而得到運用.數(shù)學(xué)問題是開展數(shù)學(xué)思維的前提,解決問題的過程,本質(zhì)上就是一個思維訓(xùn)練的過程.我們可以將數(shù)形結(jié)合滲透在問題的解決過程中,主要體現(xiàn)在以下三個方面：

　　(1)以形助數(shù)體會形在問題解決中的直觀性 ;

　　(2)以數(shù)助形體會數(shù)的論證在問題解決中的簡潔性;

　　(3)數(shù)形結(jié)合體會兩者的統(tǒng)一性 .

　　第三階段是數(shù)形分工，這是把應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想作為解決問題中的一種策略.例如，高三復(fù)習(xí)中重點開設(shè)數(shù)形結(jié)合思想方法專題，以達(dá)到系統(tǒng)鞏固的目的.

　　縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，往往事半功倍.因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必須加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)與解題能力.