數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系精選論文(2)
數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系精選論文
數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系精選論文篇二
摘要：在數(shù)學(xué)哲學(xué)中，直覺主義可謂引起引起了現(xiàn)代學(xué)術(shù)思想的一次革命。雖然直覺主義可以追溯到康德，甚至柏拉圖。然而，它是近現(xiàn)代的，20世紀(jì)前20年，它作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)哲學(xué)思潮而聞名。它是邏輯學(xué)哲學(xué)中的一次風(fēng)暴逆襲，是經(jīng)典數(shù)學(xué)的有力挑戰(zhàn)者。直覺主義強(qiáng)調(diào)“構(gòu)造”，出發(fā)于“心智”。直覺主義把整個(gè)自然數(shù)論視為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，直覺主義拒絕排中律和反證律，抵制實(shí)無窮而推崇潛無窮。隨著計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生和發(fā)展，直覺主義在數(shù)字構(gòu)造中起到了積極的應(yīng)用。同時(shí)，直覺主義對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)的創(chuàng)新教育等方面都有著不可忽視的影響。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)哲學(xué) 直覺主義 傳統(tǒng)邏輯 布勞威爾
一、 “存在必須是被構(gòu)造”——直覺主義的產(chǎn)生
直覺(intuition)一詞意為未經(jīng)充分邏輯推理的，直觀的，直接領(lǐng)捂事物本質(zhì)的思考。與H.柏格森、B.克羅齊、E.胡塞爾等人的直覺主義不同，我們這里所研究的“直覺”并不是指主體對(duì)于客觀事物的一種直接把握能力，而是指思維的本能上的一種心智活動(dòng)。在這里，直覺主義提倡的直覺，并非辯證唯物主義的“直觀的感覺”，其本意是“先驗(yàn)的心智構(gòu)造”，以此為出發(fā)點(diǎn)，形成了對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象“存在性”與“可構(gòu)造性”等同的要求。[1]直覺主義哲學(xué)是一種反理性主義的唯心主義哲學(xué)思潮。數(shù)學(xué)研究中的構(gòu)造主義是一種有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的觀點(diǎn)，它主張自然數(shù)及其某些規(guī)律和方法，特別是數(shù)學(xué)歸納法，是可靠的出發(fā)點(diǎn)，其它一切數(shù)學(xué)對(duì)象和理論都應(yīng)該從自然數(shù)構(gòu)造出來。[2]“存在必須是被構(gòu)造”，這是直覺主義派最著名的口號(hào)。也因此，直覺主義是一種構(gòu)造邏輯。直覺派認(rèn)為，數(shù)學(xué)中的概念和方法都是必須可以被構(gòu)造的，非構(gòu)造性的證明不是直覺主義者能接受的。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，集合論悖論的問題不可能通過對(duì)已有的數(shù)學(xué)作某種局部的修改和限制加以解決，而必須依靠一些可信的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)已有的數(shù)學(xué)進(jìn)行全面的審視和改造。直覺主義認(rèn)為邏輯依賴于數(shù)學(xué),而非數(shù)學(xué)依賴邏輯。數(shù)學(xué)建立在直覺的基礎(chǔ)上。同時(shí)，直覺主義認(rèn)為哲學(xué)、邏輯甚至計(jì)數(shù)等概念都比數(shù)學(xué)復(fù)雜得多,不能作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)需要更簡單、更直接的概念,它就是直覺,直覺是心智的一項(xiàng)基本功能。[3]一位直覺主義數(shù)學(xué)家阿倫特·海廷(Arend Heyting)在他的論文《數(shù)學(xué)的直覺主義基礎(chǔ)》中指出：“立即處理數(shù)學(xué)的構(gòu)造也許是符合直覺主義者的積極態(tài)度了。這個(gè)構(gòu)造的最重要基石是一(unity)的概念，它是整數(shù)序列所依賴的構(gòu)造原則。整數(shù)必須作為單位(units)來看待，這些單位僅僅由于在這個(gè)序列中的位置而相互區(qū)別。”[4]61
直覺主義者認(rèn)為，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在于數(shù)學(xué)直覺，在他們看來，建立在數(shù)學(xué)直覺之上的理論能使“概念和推理十分清楚地呈現(xiàn)在我們面前”，即“對(duì)于思想來說是如此的直接，而其結(jié)果又是如此的清楚，以致不再需要任何鑄的什么基礎(chǔ)了”(A·黑丁:《直覺主義導(dǎo)論》)。任何數(shù)學(xué)對(duì)象被視為思維構(gòu)造的產(chǎn)物，所以一個(gè)對(duì)象的存在性等價(jià)于它的構(gòu)造的可能性。這和經(jīng)典的方法不同，因?yàn)榻?jīng)典方法說一個(gè)實(shí)體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對(duì)于直覺主義者，這是不正確的;不存在性的否定不表示可能找到存在性的構(gòu)造證明。正因?yàn)槿绱耍庇X主義是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的一種;但它不是唯一的一類。直覺主義的基本哲學(xué)立場是，數(shù)學(xué)是人類心智“固有”的一種創(chuàng)造活動(dòng)，是主體的自身的活動(dòng)，而不是對(duì)外在的描述.數(shù)學(xué)概念是一種自主的智力活動(dòng)的結(jié)果，智力活動(dòng)則是研究自明定律所支配的思想構(gòu)造。[5]
二、顛覆傳統(tǒng)邏輯，形式主義的逆襲——直覺主義的特點(diǎn)
直覺主義不承認(rèn)實(shí)無窮，拒絕實(shí)際無窮的抽象。也就是說，它不考慮像所有自然數(shù)的集合或任意有理數(shù)的序列無窮這樣的無窮實(shí)體作為給定對(duì)象。數(shù)學(xué)上的實(shí)無窮思想是指：把無限的整體本身作為一個(gè)現(xiàn)成的單位，是已經(jīng)構(gòu)造完成了的東西，換言之，即是把無限對(duì)象看成為可以自我完成的過程或無窮整體。數(shù)學(xué)上存在著潛無窮與實(shí)無窮之爭，就如同哲學(xué)上存在著唯物主義與唯心主義之爭。而且必將長時(shí)間的持續(xù)的爭論不休。數(shù)學(xué)上的潛無窮思想是指：把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長著被不斷產(chǎn)生出來的東西來解釋。舉個(gè)形象點(diǎn)的例子就是，構(gòu)成一條直線的點(diǎn)有無窮個(gè)，并且這條直線永遠(yuǎn)延伸著，不會(huì)有終結(jié)的一天。它永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在。按照全稱和條件量詞的標(biāo)準(zhǔn)直覺主義，一個(gè)證明就是這樣的潛無窮結(jié)構(gòu)，這可能是合理的。(達(dá)米特《直覺主義邏輯的哲學(xué)基礎(chǔ)》)[4]142按照此觀點(diǎn)，所有的自然數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)榭梢詫⑺械淖匀粩?shù)看做是一個(gè)完成了的無窮整體。很顯然，直覺主義支持潛無窮的觀點(diǎn)，即把無窮集合看成無限延伸著的序列。
直覺主義反對(duì)排中律，這意味著直覺主義者可能和經(jīng)典的數(shù)學(xué)家對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)命題的含義有不同理解。排中律和同一律、矛盾律并稱為形式邏輯的三大基本規(guī)律。傳統(tǒng)邏輯首先把排中律當(dāng)作事物的規(guī)律，意為任一事物在同一時(shí)間里具有某屬性或不具有某屬性，而沒有其他可能。排中律同時(shí)也是思維的規(guī)律，即一個(gè)命題是真的或不是真的，此外沒有其他可能。例如，說A 或 B, 對(duì)于一個(gè)直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。但是，對(duì)于排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因?yàn)椴荒芗僭O(shè)人們總是能夠證明命題A或它的否命題。
直覺主義主要對(duì)抗的是形式主義。多個(gè)世紀(jì)以來，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的無懈可擊的精確性的信念的依據(jù)是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的主要對(duì)象。直覺主義表示，精確性存在于人類心智之中，形式主義者認(rèn)為，存在于紙面上。[4]90
直覺主義具有非邏輯性和整體性。數(shù)學(xué)直覺是作為邏輯的對(duì)立面而介定的一種認(rèn)識(shí)方法,因此非邏輯性是數(shù)學(xué)直覺的最主要特性?？梢哉f數(shù)學(xué)直覺的其他特性都是由它的非邏輯性所決定的,這是許多哲學(xué)家、科學(xué)家的共同見解。[6]直覺主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)是心靈的創(chuàng)造活動(dòng)，心靈是豐富的，邏輯則是貧乏的。因此，堅(jiān)決不能用貧乏的邏輯規(guī)則來全面準(zhǔn)確地規(guī)劃豐富的心靈活動(dòng)。直覺主義的另一位代表人物阿倫特?海廷(Arend Heyting)說：“邏輯屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)”。在對(duì)于直覺主義整體性上，一個(gè)日本數(shù)學(xué)家有如下精辟的解釋：當(dāng)一個(gè)人已經(jīng)長期而持續(xù)地從事了研究并已成為一個(gè)完全成熟的研究人員時(shí),他就已經(jīng)在自己的頭腦中形成了一種相對(duì)穩(wěn)定的知識(shí)體系。經(jīng)過他自己的努力,這種知識(shí)體系已被綜合成為一種特殊的,確定的形式。而且自己綜合的工作當(dāng)然本身就是一種極有價(jià)值的經(jīng)驗(yàn)。[7]
彭加勒在《數(shù)學(xué)中的直覺和邏輯》一文中寫道：
哲學(xué)家告訴我們，純邏輯永遠(yuǎn)也不能使我們得到任何東西;它不能創(chuàng)造任何新東西，任何科學(xué)也不能僅僅從它產(chǎn)生出來。在某種憊義上，這些哲學(xué)家是對(duì)的;要構(gòu)成算術(shù)，像要構(gòu)成幾何學(xué)或構(gòu)成任何科學(xué)一樣，除了純邏輯之外，還需要其他東西。為了稱呼這種東西，我們只好使用直覺這個(gè)詞?？墒?，在這同一諭后，潛藏著多少不同的意思呢?比較一下這四個(gè)公理:(1)等于第三個(gè)最的兩個(gè)量相等;(2)若一定理對(duì)數(shù)1為真，假定它對(duì)N為真，如果我們證明它對(duì)N+1為真，則它對(duì)所有整數(shù)均為真;(3)設(shè)在一直線上，C點(diǎn)在A與B之間，D點(diǎn)在A與C之間，則D點(diǎn)將在A與B之間;(4)通過一個(gè)定點(diǎn)僅有一條直線與已知直線平行。所有這四個(gè)公理都?xì)w之于直覺，不過第一個(gè)闡明了形式邏輯諸法則中的一個(gè)法則;第二個(gè)是真實(shí)的先驗(yàn)綜合判斷，它是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ);第三個(gè)求助于想象:第四個(gè)是偽定義。直覺不必建立在感覺明白之上;感覺不久便會(huì)變得無能為力。[8]
值得注意的是，直覺主義不是神秘主義。直覺的“不可解釋性”并不等于直覺的“神秘性”，盡管直覺是“不可解釋”的，但它卻有著確定的本質(zhì)。我們認(rèn)為，直覺是認(rèn)識(shí)過程中的一種飛躍，因此它就不是一種經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)，而是原來的思想路線的中斷，不可能按照通常的思維方式，用結(jié)論和推理的環(huán)節(jié)把它連接起來，所以直覺是“不可解釋的”。[9]
三、從Kant到Dummett，直覺主義派的主要人物及其思想
伊曼努爾·康德(Immanuel Kant, 1724-1804)，從某種意義上來說，直覺主義是由哲學(xué)家康德開始的。1755到1770年，康德在哥尼斯堡大學(xué)教物理和數(shù)學(xué)，他認(rèn)為我們所有的感覺都來自于一個(gè)預(yù)先假定的外部世界。雖然這些感覺不能提供任何知識(shí)，但是被感知到的物體間相互作用就產(chǎn)生了知識(shí)。心智將這些感覺梳理清楚，得到對(duì)空間和時(shí)間的直覺?？档抡f，感性直覺有兩個(gè)純形式，它們是先天知識(shí)的原則，這兩個(gè)純形式就是空間和時(shí)間?？臻g是外直覺的純形式，而時(shí)間是內(nèi)直覺的純形式，它們都不是從外鄰經(jīng)驗(yàn)得來的，而是必然的、先天的觀念。空間和時(shí)間不是客觀存在的，而是心智的創(chuàng)作。心智理解經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)喚醒心智。雖然康德的思想有著直覺主義的影子，但是依舊沒有直觀地提出直覺主義，就數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的方法而言，直覺主義是現(xiàn)代的。[10]
亨利·彭加勒(常譯作龐加萊，Henry Poincare，1854-1912)，當(dāng)代語境中的數(shù)學(xué)直覺主義的先驅(qū)。后人評(píng)價(jià)為數(shù)學(xué)哲學(xué)與當(dāng)代數(shù)學(xué)直覺主義之間的一座橋梁。邏輯主義對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理解是虛幻的。它使數(shù)學(xué)失去基礎(chǔ)。然而數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是存在的，它就是我們的直覺。它賦予數(shù)學(xué)以意義，從而給數(shù)學(xué)以對(duì)象。彭加勒指明了一座(本來就)架在人類精神和數(shù)學(xué)存在之間的橋梁，那便是我們的數(shù)學(xué)直覺。[11]彭加勒主張自然數(shù)是最基本的直覺，認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法是一種包含直觀的思維方法，是不能簡單地歸結(jié)為邏輯的。他主張使用有限個(gè)詞能定義的概念，主張數(shù)學(xué)對(duì)象的可構(gòu)造性。他還在另一種意義上理解和強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)直覺，將其看做選擇和發(fā)明的工具。彭加勒認(rèn)為，我們有多種直覺。然而，最重要的可以歸結(jié)為兩類：一是“純粹直覺”，即他通常所說的“純粹數(shù)的直覺”、“純粹邏輯形式的直覺”、“數(shù)學(xué)次序的直覺”等，這主要是解析家的直覺;二是“可覺察的直覺”，即想象，這主要是幾何學(xué)家“形”的直覺。對(duì)于這兩類直覺，他認(rèn)為都是必要的，各自發(fā)揮著不同的作用。他認(rèn)為，這兩類直覺“似乎發(fā)揮出我們心靈的兩種不同的本能”，它們像“兩盞探照燈，引導(dǎo)陌生人相互來往于兩個(gè)世界”。[12]
布勞威爾(L.E.J.Brouwer，1881-1966)，直覺主義真正的創(chuàng)始人和奠基人是布勞威爾。布勞威爾在數(shù)學(xué)上的直覺主義立場來源于他的哲學(xué)。1907年他在博士論文《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中提出直覺主義觀點(diǎn),認(rèn)為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是先驗(yàn)的初始直覺。數(shù)學(xué)是起源于和產(chǎn)生于頭腦的人類活動(dòng)，不存在于頭腦之外，因此，是獨(dú)立于真實(shí)世界的。布勞威爾認(rèn)為數(shù)學(xué)思維是智力構(gòu)造的一個(gè)過程，它建造自己的天地，獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)，并且只受到必須建立于基本的數(shù)學(xué)直覺之上的限制。[10]布勞維爾發(fā)表的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》表明直覺主義的立場是強(qiáng)調(diào)“直覺”，這并不是說否認(rèn)數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性,而只是突出直覺、靈感和創(chuàng)造力在數(shù)學(xué)中的地位。直覺主義者認(rèn)為數(shù)學(xué)不僅是最講究嚴(yán)格性的科學(xué),也是最富有創(chuàng)造性的科學(xué)。布勞維爾認(rèn)為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是先驗(yàn)的初始直覺,他和他的學(xué)生說他們所說的直覺正是人心對(duì)于它本身所構(gòu)造的東西的清晰理解。[13]布勞維爾修改了康德的先驗(yàn)時(shí)空學(xué)說，放棄了“外直覺的純形式”的先驗(yàn)時(shí)空概念，以適應(yīng)非歐幾何的發(fā)展;池把數(shù)學(xué)的基本直覺建立在“內(nèi)直覺的純形式”的先驗(yàn)時(shí)間概念的基礎(chǔ)之上。[14]布勞威爾還提出了“二·一原則”(tow-oneness)。他認(rèn)為這是數(shù)學(xué)的基本直覺。即假設(shè)N成立，則N+1成立。這個(gè)過程可以無限重復(fù)，創(chuàng)造了一切有限序數(shù)，因?yàn)?ldquo;二·一原則”的元素之一可以被認(rèn)為是一個(gè)新的“二·一原則”。布勞威爾認(rèn)為，在這個(gè)數(shù)學(xué)的基本直覺中，聯(lián)通和分離、連續(xù)和離散得到統(tǒng)一，并直接引出了線性連續(xù)統(tǒng)的直覺，即“介于”(between)的直覺。(布勞威爾《直覺主義和形式主義》)[4]93
阿倫特·海廷(Arend Heyting，1898-1980)，他是布勞威爾的學(xué)生。繼承了布勞威爾有關(guān)數(shù)學(xué)直覺主義的思想。他認(rèn)為，直覺主義是從一定的、多少有點(diǎn)任意的假設(shè)出發(fā)的。它的主題是構(gòu)造性的數(shù)學(xué)思想。這使得它處于經(jīng)典數(shù)學(xué)之外。形式主義和直覺主義的差別在于，直覺主義的進(jìn)行獨(dú)立于形式化，形式化只能追隨在數(shù)學(xué)構(gòu)造的后面。邏輯不是直覺主義的立足點(diǎn)，數(shù)學(xué)構(gòu)造在頭腦中是很直接的，結(jié)論也應(yīng)該是很清楚的，所以不需要任何基礎(chǔ)。海廷主張，在描述直覺主義數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)在日常生活中去理解。比如，在注視那邊樹木時(shí)，我確信我看到樹木，而實(shí)際上光波達(dá)到我眼中，使我構(gòu)造出樹木這一信念需要相當(dāng)?shù)挠?xùn)練。這種觀點(diǎn)是自然的。兩個(gè)人說話，我向你灌輸意見，實(shí)際制造了空氣的震動(dòng)。這是理論的構(gòu)造。(阿倫特·海廷《論辯》)[4]77-88
邁克爾·達(dá)米特(又譯米歇爾·杜麥特Michael Dummett，1925-2011)，當(dāng)代數(shù)學(xué)直覺主義學(xué)派的代表人物。達(dá)米特認(rèn)為，數(shù)學(xué)首先是先驗(yàn)的，然后是分析的。達(dá)米特曾經(jīng)從語言學(xué)角度和意義理論角度為直覺主義辯護(hù)。直覺主義關(guān)于數(shù)學(xué)陳述意義的解釋避免了以真概念為核心概念的意義理論的不足，它把說話者關(guān)于數(shù)學(xué)陳述的理解與說話者使用這個(gè)陳述的實(shí)際能力結(jié)合在一起，因此具有很大的優(yōu)點(diǎn)。從直覺主義關(guān)于數(shù)學(xué)陳述的意義說明出發(fā)，達(dá)米特提出了以證實(shí)為核心概念的新的意義理論的構(gòu)想。[15]202達(dá)米特指出：“對(duì)于直覺主義邏輯來說，排中律的雙重否定是有效的語義原則，就像二值邏輯認(rèn)為排中律本身是有效的一樣：斷言任何陳述既不真也不假是不一致的。”[4]132
四、直覺主義的意義以及合理性
直覺主義對(duì)古典邏輯中的排中律和雙重否定律等原理中的部分原則以及非構(gòu)造性的結(jié)論持否定態(tài)度，也不承認(rèn)數(shù)學(xué)中的實(shí)無限的對(duì)象和方法。數(shù)學(xué)的歷史也表明，數(shù)學(xué)知識(shí)與理論不僅無法脫離對(duì)外部世界的永恒的依存關(guān)系，而且數(shù)學(xué)的錯(cuò)誤不是通過限制數(shù)學(xué)，如排斥非構(gòu)造數(shù)學(xué)和傳統(tǒng)邏輯而得到克服的。數(shù)學(xué)真理的積累以及對(duì)謬誤的拋棄是通過數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷增長和理論的不斷完善獲得的。一句話、數(shù)學(xué)的生命在于生生不息的創(chuàng)造過程中。慶幸的是，直覺主義由十其思想體系中某種先天的弱點(diǎn)而末成為數(shù)學(xué)的統(tǒng)治思想。但也應(yīng)看到其構(gòu)造思想的重要價(jià)值。[16]123-124可以說，直覺主義學(xué)派在本質(zhì)上是主觀和荒謬的，以直覺上的可構(gòu)造性為由來絕對(duì)的肯定直覺派數(shù)學(xué)是不能真正解決問題的。但是，直覺主義揭示了經(jīng)典邏輯只具有相對(duì)的真理性，在具體的數(shù)學(xué)工作中具有重要意義。
首先，數(shù)學(xué)哲學(xué)中的直覺主義學(xué)派高度認(rèn)可直覺和個(gè)人的創(chuàng)造性思維在科學(xué)實(shí)踐中的作用，推動(dòng)了現(xiàn)代遞歸函數(shù)論的建立和發(fā)展，這無疑對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)步起到了很積極的作用。其次，直覺主義者倡導(dǎo)的構(gòu)造性的能行性的研究方法,促進(jìn)了人工智能和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展。這種積極探討可行性方法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)以及計(jì)算機(jī)科學(xué)中具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。第三，直覺主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的思想方法在素質(zhì)教育理論研究與實(shí)踐上，具有寶貴的參考價(jià)值。在數(shù)學(xué)教育中，邏輯的作用很明顯，其特征為，從已知知識(shí)出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則進(jìn)行推導(dǎo)和演算,一步一步地達(dá)到對(duì)研究對(duì)象的認(rèn)識(shí)。而直覺主義可以跳躍式地認(rèn)知，雖然能一步得到正確答案，卻無法說清楚其中的步驟。直覺主義雖排斥傳統(tǒng)邏輯，但與邏輯關(guān)系十分密切，對(duì)培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)邏輯觀念有著不可忽視的作用。另外，直覺主義有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)教育中大膽猜測的思維習(xí)慣。這種創(chuàng)新和探索精神有利于數(shù)學(xué)的進(jìn)步和發(fā)展。
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[4] 保羅·貝納塞拉夫(美)，希拉里?普特南(美).數(shù)學(xué)哲學(xué)[M].北京：商務(wù)印書館，2003.
[5] 黃秦安.數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)文化[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，1999.
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