高中數(shù)學函數(shù)教學
高中數(shù)學函數(shù)教學
函數(shù)是整個高中階段的數(shù)學學習的一條主線，因此研究高中函數(shù)的教學設(shè)計具有重要意義。下面學習啦小編為你整理了高中數(shù)學函數(shù)教學，希望對你有幫助。
高中數(shù)學函數(shù)教學：冪函數(shù)
教學目標
1、通過對冪函數(shù)概念的學習以及對冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的歸納與概括，讓學生體驗數(shù)學概念的形成過程，培養(yǎng)學生的抽象概括能力。
2、使學生理解并掌握冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)，并能初步運用所學知識解決有關(guān)問題，培養(yǎng)學生的靈活思維能力。
教學難點
冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程
教學重點
冪函數(shù)的性質(zhì)及運用
教學過程
一、 教學導入
數(shù)學和日常生活是密不可分的，觀察下列問題中的函數(shù)個有什么共同特征?
(1)如果李斯在超市買了每支1元的水筆n(支)，那么他應(yīng)支付p=n元。這里p是n的函數(shù)。
(2)如果正方形的邊長a，那么正方形的面積為S=a2 ，這里S是a的函數(shù)。
(3)如果立方體的邊長a，那么立方體的體積為V=a3 ，這里V是a的函數(shù)。
(4)如果正方形的面積為S，那么這個正方形的邊長為a=S ，這里a是S的函數(shù)。
(5)如果壯壯t(s)內(nèi)騎車行進了1(km)，那么他騎車的平均速度為v=t-1 ( )，這里v是t的函數(shù)。
由學生討論，總結(jié)，即可得出：p=n，S=a2 ，V=a3 ，a=S ，v=t-1 都是自變量的若干次冪的形式。
這節(jié)課，我們將來共同學習另一種函數(shù)——冪函數(shù)(老師板書課題)
二、 講授新課
1、定義：一般地，函數(shù)y=xa 叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是實常數(shù)。
判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)?注意：①是否為冪的形式;②自變量是冪的底數(shù)，指數(shù)可以是任意實數(shù)。
例1、(1)y=xa 與y=ax 一樣嗎?
(2)在函數(shù)y=x+2，y=1，y=x2+x，y=2x2+3，y= 中，哪幾個函數(shù)是冪函數(shù)?
(3)已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像過點(2， )，試求出這個函數(shù)的解析式。
三、 課外作業(yè)
P49 習題2—5 A組 1、2
教學后記
本節(jié)課主要從五個具體冪函數(shù)中認識冪函數(shù)的一些性質(zhì)，畫五個冪函數(shù)的圖像并由圖像概括其性質(zhì)是教學中可能遇到的困難，所以要注意引導學生親自動手畫圖像、分組討論等形式，讓學生自己去探究，把主動權(quán)交給學生。
高中數(shù)學函數(shù)教學：指數(shù)函數(shù)
教學目標
1.使學生掌握的概念,圖象和性質(zhì).
(1)能根據(jù)定義判斷形如什么樣的函數(shù)是,了解對底數(shù)的限制條件的合理性,明確的定義域.
(2)能在基本性質(zhì)的指導下,用列表描點法畫出的圖象,能從數(shù)形兩方面認識的性質(zhì).
(3) 能利用的性質(zhì)比較某些冪形數(shù)的大小,會利用的圖象畫出形如 的圖象.
2. 通過對的概念圖象性質(zhì)的學習,培養(yǎng)學生觀察,分析歸納的能力,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.
3.通過對的研究,讓學生認識到數(shù)學的應(yīng)用價值,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.使學生善于從現(xiàn)實生活中數(shù)學的發(fā)現(xiàn)問題,解決問題.
教學建議
教材分析
(1) 是在學生系統(tǒng)學習了函數(shù)概念,基本掌握了函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行研究的,它是重要的基本初等函數(shù)之一,作為常見函數(shù),它既是函數(shù)概念及性質(zhì)的第一次應(yīng)用,也是今后學習對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ),同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用,所以應(yīng)重點研究.
(2) 本節(jié)的教學重點是在理解定義的基礎(chǔ)上掌握的圖象和性質(zhì).難點是對底數(shù) 在 和 時,函數(shù)值變化情況的區(qū)分.
(3)是學生完全陌生的一類函數(shù),對于這樣的函數(shù)應(yīng)怎樣進行較為系統(tǒng)的理論研究是學生面臨的重要問題,所以從的研究過程中得到相應(yīng)的結(jié)論固然重要,但更為重要的是要了解系統(tǒng)研究一類函數(shù)的方法,所以在教學中要特別讓學生去體會研究的方法,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究.
教法建議
(1)關(guān)于的定義按照課本上說法它是一種形式定義即解析式的特征必須是 的樣子,不能有一點差異,諸如 , 等都不是.
(2)對底數(shù) 的限制條件的理解與認識也是認識的重要內(nèi)容.如果有可能盡量讓學生自己去研究對底數(shù),指數(shù)都有什么限制要求,教師再給予補充或用具體例子加以說明,因為對這個條件的認識不僅關(guān)系到對的認識及性質(zhì)的分類討論,還關(guān)系到后面學習對數(shù)函數(shù)中底數(shù)的認識,所以一定要真正了解它的由來.
關(guān)于圖象的繪制,雖然是用列表描點法,但在具體教學中應(yīng)避免描點前的盲目列表計算,也應(yīng)避免盲目的連點成線,要把表列在關(guān)鍵之處,要把點連在恰當之處,所以應(yīng)在列表描點前先把函數(shù)的性質(zhì)作一些簡單的討論,取得對要畫圖象的存在范圍,大致特征,變化趨勢的大概認識后,以此為指導再列表計算,描點得圖象.
教學設(shè)計示例
課題
教學目標
1. 理解的定義,初步掌握的圖象,性質(zhì)及其簡單應(yīng)用.
2. 通過的圖象和性質(zhì)的學習,培養(yǎng)學生觀察,分析,歸納的能力,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.
3. 通過對的研究,使學生能把握函數(shù)研究的基本方法,激發(fā)學生的學習興趣.
教學重點和難點
重點是理解的定義,把握圖象和性質(zhì).
難點是認識底數(shù)對函數(shù)值影響的認識.
教學過程
一. 引入新課
我們前面學習了指數(shù)運算,在此基礎(chǔ)上,今天我們要來研究一類新的常見函數(shù)-------.1.6.(板書)
這類函數(shù)之所以重點介紹的原因就是它是實際生活中的一種需要.比如我們看下面的問題:
問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂 次后,得到的細胞分裂的個數(shù) 與 之間,構(gòu)成一個函數(shù)關(guān)系,能寫出 與 之間的函數(shù)關(guān)系式嗎?
由學生回答: 與 之間的關(guān)系式,可以表示為 .
問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了 次后繩子剩余的長度為 米,試寫出 與 之間的函數(shù)關(guān)系.
由學生回答: .
在以上兩個實例中我們可以看到這兩個函數(shù)與我們前面研究的函數(shù)有所區(qū)別,從形式上冪的形式,且自變量 均在指數(shù)的位置上,那么就把形如這樣的函數(shù)稱為.
一. 的概念(板書)
1.定義:形如 的函數(shù)稱為.(板書)
教師在給出定義之后再對定義作幾點說明.
2.幾點說明 (板書)
(1) 關(guān)于對 的規(guī)定:
教師首先提出問題:為什么要規(guī)定底數(shù)大于0且不等于1呢?(若學生感到有困難,可將問題分解為若 會有什么問題?如 ,此時 , 等在實數(shù)范圍內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值不存在.
若 對于 都無意義,若 則 無論 取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定 且 .
(2)關(guān)于的定義域 (板書)
教師引導學生回顧指數(shù)范圍,發(fā)現(xiàn)指數(shù)可以取有理數(shù).此時教師可指出,其實當指數(shù)為無理數(shù)時, 也是一個確定的實數(shù),對于無理指數(shù)冪,學過的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運算法則它都適用,所以將指數(shù)范圍擴充為實數(shù)范圍,所以的定義域為 .擴充的另一個原因是因為使她它更具代表更有應(yīng)用價值.
(3)關(guān)于是否是的判斷(板書)
剛才分別認識了中底數(shù),指數(shù)的要求,下面我們從整體的角度來認識一下,根據(jù)定義我們知道什么樣的函數(shù)是,請看下面函數(shù)是否是.
(1) , (2) , (3)(4) , (5) .
學生回答并說明理由,教師根據(jù)情況作點評,指出只有(1)和(3)是,其中(3) 可以寫成 ,也是指數(shù)圖象.
最后提醒學生的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然后把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函數(shù)的性質(zhì),此時研究的關(guān)鍵在于畫出它的圖象,再細致歸納性質(zhì).
3.歸納性質(zhì)
作圖的用什么方法.用列表描點發(fā)現(xiàn),教師準備明確性質(zhì),再由學生回答.
函數(shù)
1.定義域 :
2.值域:
3.奇偶性 :既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
4.截距:在 軸上沒有,在 軸上為1.
對于性質(zhì)1和2可以兩條合在一起說,并追問起什么作用.(確定圖象存在的大致位置)對第3條還應(yīng)會證明.對于單調(diào)性,我建議找一些特殊點.,先看一看,再下定論.對最后一條也是指導函數(shù)圖象畫圖的依據(jù).(圖象位于 軸上方,且與 軸不相交.)
在此基礎(chǔ)上,教師可指導學生列表,描點了.取點時還要提醒學生由于不具備對稱性,故 的值應(yīng)有正有負,且由于單調(diào)性不清,所取點的個數(shù)不能太少.
此處教師可利用計算機列表描點,給出十組數(shù)據(jù),而學生自己列表描點,至少六組數(shù)據(jù).連點成線時,一定提醒學生圖象的變化趨勢(當 越小,圖象越靠近 軸, 越大,圖象上升的越快),并連出光滑曲線.
二.圖象與性質(zhì)(板書)
1.圖象的畫法:性質(zhì)指導下的列表描點法.
2.草圖:
當畫完第一個圖象之后,可問學生是否需要再畫第二個?它是否具有代表性?(教師可提示底數(shù)的條件是 且 ,取值可分為兩段)讓學生明白需再畫第二個,不妨取 為例.
此時畫它的圖象的方法應(yīng)讓學生來選擇,應(yīng)讓學生意識到列表描點不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡單.即 = 與 圖象之間關(guān)于 軸對稱,而此時 的圖象已經(jīng)有了,具備了變換的條件.讓學生自己做對稱,教師借助計算機畫圖,在同一坐標系下得到 的圖象.
最后問學生是否需要再畫.(可能有兩種可能性,若學生認為無需再畫,則追問其原因并要求其說出性質(zhì),若認為還需畫,則教師可利用計算機再畫出如 的圖象一起比較,再找共性)
由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征.教師可列一個表,如下:
以上內(nèi)容學生說不齊的,教師可適當提出觀察角度讓學生去描述,然后再讓學生將幾何的特征,翻譯為函數(shù)的性質(zhì),即從代數(shù)角度的描述,將表中另一部分填滿.
填好后,讓學生仿照此例再列一個 的表,將相應(yīng)的內(nèi)容填好.為進一步整理性質(zhì),教師可提出從另一個角度來分類,整理函數(shù)的性質(zhì).
3.性質(zhì).
(1)無論 為何值, 都有定義域為 ,值域為 ,都過點 .
(2) 時, 在定義域內(nèi)為增函數(shù), 時, 為減函數(shù).
(3) 時, , 時, .
總結(jié)之后,特別提醒學生記住函數(shù)的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質(zhì).
三.簡單應(yīng)用 (板書)
1.利用單調(diào)性比大小. (板書)
一類函數(shù)研究完它的概念,圖象和性質(zhì)后,最重要的是利用它解決一些簡單的問題.首先我們來看下面的問題.
例1. 比較下列各組數(shù)的大小
(1) 與 ; (2) 與 ;
(3) 與1 .(板書)
首先讓學生觀察兩個數(shù)的特點,有什么相同?由學生指出它們底數(shù)相同,指數(shù)不同.再追問根據(jù)這個特點,用什么方法來比較它們的大小呢?讓學生聯(lián)想,提出構(gòu)造函數(shù)的方法,即把這兩個數(shù)看作某個函數(shù)的函數(shù)值,利用它的單調(diào)性比較大小.然后以第(1)題為例,給出解答過程.
解: 在 上是增函數(shù),且
< .(板書)
教師最后再強調(diào)過程必須寫清三句話:
(1) 構(gòu)造函數(shù)并指明函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及相應(yīng)的單調(diào)性.
(2) 自變量的大小比較.
(3) 函數(shù)值的大小比較.
后兩個題的過程略.要求學生仿照第(1)題敘述過程.
例2.比較下列各組數(shù)的大小
(1) 與 ; (2) 與 ;
(3) 與 .(板書)
先讓學生觀察例2中各組數(shù)與例1中的區(qū)別,再思考解決的方法.引導學生發(fā)現(xiàn)對(1)來說 可以寫成 ,這樣就可以轉(zhuǎn)化成同底的問題,再用例1的方法解決,對(2)來說 可以寫成 ,也可轉(zhuǎn)化成同底的,而(3)前面的方法就不適用了,考慮新的轉(zhuǎn)化方法,由學生思考解決.(教師可提示學生的函數(shù)值與1有關(guān),可以用1來起橋梁作用)
最后由學生說出 >1, <1, > .
解決后由教師小結(jié)比較大小的方法
(1) 構(gòu)造函數(shù)的方法: 數(shù)的特征是同底不同指(包括可轉(zhuǎn)化為同底的)
(2) 搭橋比較法: 用特殊的數(shù)1或0.
三.鞏固練習
練習:比較下列各組數(shù)的大小(板書)
(1) 與 (2) 與 ;
(3) 與 ; (4) 與 .解答過程略
四.小結(jié)
1.的概念
2.的圖象和性質(zhì)
3.簡單應(yīng)用
五 .板書設(shè)計
探究活動
(1) 對于 的圖象和 的圖象大家都比較熟悉也能畫出它的圖象,現(xiàn)在如果將 和 的 圖象畫在同一坐標系中,你認為它們會有幾個交點呢?為什么?
答案：有兩個交點.
(2) A先生從今天開始每天給你10萬元,而你承擔如下任務(wù):第一天給A先生1元,第二天給A先生2元,,第三天給A先生4元,第四天給A先生8元,依次下去,…,A先生要和你簽定15天的合同,你同意嗎?又A先生要和你簽定30天的合同,你能簽這個合同嗎?
答案：15天的合同可以簽,而30 天的合同不能簽.
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