高二數(shù)學(xué)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

高二數(shù)學(xué)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

　　高中數(shù)學(xué)拋物線的學(xué)習(xí)目標(biāo)是讓學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對(duì)比、概括、轉(zhuǎn)化等方面的能力.小編整理了相關(guān)資料，希望能幫助到您。

　　一.課題：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)

　　二.教學(xué)目標(biāo)：

　　1.使學(xué)生掌握拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程.

　　2.要求學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對(duì)比、概括、轉(zhuǎn)化等方面的能力.

　　3.通過一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)引入拋物線的定義，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行理論來源于實(shí)踐的辯證唯物主義思想教育.

　　三.教學(xué)重、難點(diǎn)：

　　1. 重點(diǎn)：拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.(解決辦法：通過一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)與橢圓、雙曲線的定義相比較引入拋物線的定義;通過一些例題加深對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)).

　　2. 難點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).(解決辦法：由三種建立坐標(biāo)系的方法中選出一種最佳方法，避免了硬性規(guī)定坐標(biāo)系.)

　　四、教學(xué)過程

　　(一)導(dǎo)出課題：我們已學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線.今天我們將學(xué)習(xí)第四種圓錐曲線--拋物線，以及它的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.課題是"拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程".

　　請(qǐng)大家思考兩個(gè)問題：

　　問題1：同學(xué)們對(duì)拋物線已有了哪些認(rèn)識(shí)?

　　在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運(yùn)行軌道;在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖象?

　　問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征?

　　在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對(duì)稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形.

　　引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果拋物線的對(duì)稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了.今天，我們突破函數(shù)研究中這個(gè)限制，從更一般意義上來研究拋物線.

　　(二)拋物線的定義

　　1.回顧：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e的軌跡，

　　當(dāng)01時(shí)是雙曲線，那么當(dāng)e=1時(shí)，它又是什么曲線?

　　2.簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)

　　如圖2-29，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣;把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點(diǎn)A，截取繩子的長(zhǎng)等于A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F;用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動(dòng)，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線.反復(fù)演示后，請(qǐng)同學(xué)們來歸納拋物線的定義，教師總結(jié).

　　3.定義：

　　平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上).定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

　　(三)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　設(shè)定點(diǎn)F到定直線l的距離為p(p為已知數(shù)且大于0).下面，我們來求拋物線的方程.怎樣選擇直角坐標(biāo)系，才能使所得的方程取較簡(jiǎn)單的形式呢?

　　讓學(xué)生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導(dǎo)，最后簡(jiǎn)單小結(jié)建立直角坐標(biāo)系的幾種方案：

　　方案1：(由第一組同學(xué)完成，請(qǐng)一優(yōu)等生演板.)

　　以l為y軸，過點(diǎn)F與直線l垂直的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(圖2-30).設(shè)定點(diǎn)F(p，0)，動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，過M作MD⊥y軸于D，拋物線的集合為：p={M||MF|=|MD|}.

　　化簡(jiǎn)后得：y=2pxp (p>0).

　　方案2：(由第二組同學(xué)完成，請(qǐng)一優(yōu)等生演板)

　　以定點(diǎn)F為原點(diǎn)，平行l(wèi)的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系(圖2-31).設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，且設(shè)直線l的方程為x=-p，定點(diǎn)F(0，0)，過M作MD⊥l于D，拋物線的集合為：

　　p={M||MF|=|MD|}.

　　化簡(jiǎn)得：y=2px+p (p>0).

　　方案3：(由第三、四組同學(xué)完成，請(qǐng)一優(yōu)等生演板.)

　　取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(圖2-32).

　　拋物線上的點(diǎn)M(x，y)到l的距離為d，拋物線是集合p={M||MF|=d}.

　　化簡(jiǎn)后得：y=2px(p>0).

　　比較所得的各個(gè)方程，應(yīng)該選擇哪些方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢?

　　引導(dǎo)學(xué)生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.這是因?yàn)檫@個(gè)方程不僅具有較簡(jiǎn)的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項(xiàng)系數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的2倍.由于焦點(diǎn)和準(zhǔn)線在坐標(biāo)系下的不同分布情況，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情形(列表如下)：

　　由學(xué)生講清為什么會(huì)出現(xiàn)四種不同的情形，四種情形中P>0;并指出圖形的位置特征和方程的形式應(yīng)結(jié)合起來記憶.即：當(dāng)對(duì)稱軸為x軸時(shí)，方程等號(hào)右端為±2px，相應(yīng)地左端為y;當(dāng)對(duì)稱軸為y軸時(shí)，方程等號(hào)的右端為±2py，相應(yīng)地左端為x.同時(shí)注意：當(dāng)焦點(diǎn)在正半軸上時(shí)，取正號(hào);當(dāng)焦點(diǎn)在負(fù)半軸上時(shí)，取負(fù)號(hào).

　　(四)四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用

　　例題：(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;

　　(2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0，2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　方程是x=8y.

　　練習(xí)：根據(jù)下列所給條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

　　(1)焦點(diǎn)是F(3，0); 答案是：(1)y=12x;(2)y=x;(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2. (3)y=4x，y=4x，x=4y，x=4y.

　　由三名學(xué)生演板，教師予以訂正.

　　這時(shí)，教師小結(jié)一下：由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個(gè)系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個(gè)條件，就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了;若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒有給定，則所求的標(biāo)準(zhǔn)方程就會(huì)有多解.

　　(五)小結(jié)：

　　本次課主要介紹了拋物線的定義，推導(dǎo)出拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式，并加以運(yùn)用.

　　五、作業(yè)：

　　到準(zhǔn)線的距離是多少?點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是多少?

　　2.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)x=2y;(2)4x+3y=0;(3)2y+5x=0;(4)y6x=0.

　　3.根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并描點(diǎn)畫出圖形：

　　(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6;

　　(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并經(jīng)過點(diǎn)p(6，3).

　　4.求焦點(diǎn)在直線3x4y12=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　作業(yè)答案：

　　3.(1)y=24x，y=2x，(2)x=12y(圖略)

　　4.分別令x=0，y=0得兩個(gè)焦點(diǎn)F1(0，3)，F(xiàn)2(4，0)，從而可得拋物線方程為x=12y或y=16x.