高一數(shù)學歸納法分析及解題步驟
高一數(shù)學歸納法分析及解題步驟
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高一數(shù)學歸納法
《2.3數(shù)學歸納法》教學設計
青海湟川中學 劉巖
一、【教材分析】
本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2(人教A版)》第二章第三節(jié)《2.3數(shù)學歸納法》。在之前的學習中，我們已經(jīng)用不完全歸納法得出了許多結論，例如某些數(shù)列的通項公式，但它們的正確性還有待證明。因此，數(shù)學歸納法的學習是在合情推理的基礎上，對歸納出來的與正整數(shù)有關的命題進行科學的證明，它將一個無窮的歸納過程轉化為有限步驟的演繹過程。通過把猜想和證明結合起來，讓學生認識數(shù)學的本質，把握數(shù)學的思維。本節(jié)課是數(shù)學歸納法的第一課時，主要讓學生了解數(shù)學歸納法的原理，并能夠用數(shù)學歸納法解決一些簡單的與正整數(shù)有關的問題。
二、【學情分析】
我校的學生基礎較好，思維活躍。學生在學習本節(jié)課新知的過程中可能存在兩方面的困難：一是從“骨牌游戲原理”啟發(fā)得到“數(shù)學方法”的過程有困難;二是解題中如何正確使用數(shù)學歸納法，尤其是第二步中如何使用遞推關系，可能出現(xiàn)問題。
三、【策略分析】
本節(jié)課中教師引導學生形成積極主動，勇于探究的學習精神，以及合作探究的學習方式;注重提高學生的數(shù)學思維能力;體驗從“實際生活—理論—實際應用”的過程;采用“教師引導—學生探索”相結合的教學方法，在教與學的和諧統(tǒng)一中，體現(xiàn)數(shù)學的價值，注重信息技術與數(shù)學課程的合理整合。
四、【教學目標】
(1)知識與技能目標：
?、倮斫鈹?shù)學歸納法的原理與實質，掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟;
?、跁脭?shù)學歸納法證明某些簡單的與正整數(shù)有關的命題。
(2)過程與方法目標：
努力創(chuàng)設愉悅的課堂氣氛，使學生處于積極思考，大膽質疑的氛圍中，提高學生學習興趣和課堂效率，讓學生經(jīng)歷知識的構建過程，體會歸納遞推的數(shù)學思想。
(3)情感態(tài)度與價值觀目標：
通過本節(jié)課的教學，使學生領悟數(shù)學歸納法的思想，由生活實例，激發(fā)學生學習的熱情，提高學生學習的興趣，培養(yǎng)學生大膽猜想，小心求證，以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，解決問題的數(shù)學能力。
五、【教學重難點】
教學重點：借助具體實例了解數(shù)學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，能熟練運用它證明一些簡單的與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題;
教學難點：數(shù)學歸納法中遞推關系的應用。
六、【教學方法與工具】
教法指導：本節(jié)課采用的教學方法是“啟、思、演、練、結”五字教學法，即：以具體的例子引入課題，啟發(fā)學生想去了解歸納法;通過提出問題、創(chuàng)設情景，引導學生積極思考;借助電腦的動畫演示，提高直觀性與趣味性，延長學生有意注意的時間;教學中，及時精選一些練習幫助學生鞏固與強化知識，而“結”則包含兩方面的內容(1)授課中教師的及時小結與點撥(2)聽課時學生的自我小結與鞏固。
學法指導：(1)學習要求：①課前預習教材中有關內容;②聽課時積極思考大膽質疑;③課后及時完成課外作業(yè)。(2)指導措施：通過設置問題情景，激發(fā)學生大膽思考;由具體的事例吸引學生注意，通過直觀模型演示，化抽象為具體，突破教學難點;借助電腦聲像效果，營造愉悅課堂氛圍，提高學習興趣。
教學手段：多媒體輔助課堂教學。
一、教材內容解析
由于正整數(shù)無法窮盡的特點，有些關于正整數(shù)n的命題,難以對n進行一一的驗證，從而需要尋求一種新的推理方法，以便能通過有限的推理來證明無限的結論.這是數(shù)學歸納法產(chǎn)生的根源.
數(shù)學歸納法是一種證明與正整數(shù)n有關的命題的重要方法。它的獨到之處便是運用有限個步驟就能證明無限多個對象，而實現(xiàn)這一目的的工具就是遞推思想。
設p(n)表示與正整數(shù)n有關的命題，證明主要有兩個步驟：(1)證明p(1)為真;(2)證明若p(k)為真，則p(k+1)為真;有了這兩步的保證,就可實現(xiàn)以下的無窮動態(tài)的遞推過程：
P(1)真-> P(2)真-> P(3)真->… -> P(k)真-> P(k+1)真-> …
因此得到對于任何正整數(shù)n，命題p(n)都為真.
數(shù)學歸納法的兩個步驟中，第一步是證明的奠基，第二步是遞推的依據(jù)，即驗證由任意一個整數(shù)n過渡到下一個整數(shù)n+1時命題是否成立.這兩個步驟都非常重要，缺一不可.第一步確定了n=1時命題成立，n=1成為后面遞推的出發(fā)點，沒有它遞推成了無源之水;第二步確認了一種遞推關系，借助它，命題成立的范圍就能從1開始，向后面一個數(shù)一個數(shù)的無限傳遞到1以后的每一個正整數(shù)，從而完成證明.因些遞推是實現(xiàn)從有限到無限飛躍的關鍵，沒有它我們就只能停留在對有限情況的把握上.
在應用數(shù)學歸納法時，第一步中的起點1可以恰當偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可證明命題對n=n0以后的每個正整數(shù)都成立;而第二步的遞推方式也可作靈活的變動，如跳躍式前進等，但必須保證第一步中必須含有實現(xiàn)第二步遞推時的基礎.
數(shù)學歸納法名為歸納法，實質上與歸納法毫無邏輯聯(lián)系.按波利亞的說法“這個名字是隨便起的”.[1]歸納法是一種以特殊化和類比為工具的推理方法，是重要的探索發(fā)現(xiàn)的手段，是一種似真結構;而數(shù)學歸納法是一種嚴格的證明方法，一種演繹法，它的實質是“把無窮的三段論納入唯一的公式中”(龐加萊)，它得到的結論是真實可靠的.在皮亞諾提出“自然數(shù)公理”后，數(shù)學歸納法以歸納公理為理論基礎，得到了廣泛的確認和應用.而自然數(shù)中的“最小數(shù)原理”，則從反面進一步說明了數(shù)學歸納法證題的可靠性.
數(shù)學歸納法雖不是歸納法，但它與歸納法有著一定程度的關聯(lián).在數(shù)學結論的發(fā)現(xiàn)過程中，往往先通過對大量個別事實的觀察，通過歸納形成一般性的結論，最終利用數(shù)學歸納法的證明解決問題.因此可以說論斷是以試驗性的方式發(fā)現(xiàn)的，而論證就像是對歸納的一個數(shù)學補充[1]，即“觀察”+“歸納”+“證明”=“發(fā)現(xiàn)”.
二、教學目標
1. 通過對具體問題的解決思路探尋，了解數(shù)學歸納法產(chǎn)生的根源及其無窮遞推的本質，在此基礎上歸納概括出數(shù)學歸納法證題的兩個步驟.
2. 體會數(shù)學歸納法的思想，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單的恒等式.
3. 了解通過“觀察”“歸納”“證明”來發(fā)現(xiàn)定理的基本思路.
三、教學問題診斷
認知基礎：
(1) 對正整數(shù)的特點的感性認識;
(2) 對“無窮”的概念有一定的認識和興趣;
(3) 在數(shù)列的學習中對遞推思想有一定的體會;
(4) 在生活經(jīng)驗中接觸到一些具有遞推性質的事實;
(5) 在“算法”循環(huán)結構的學習中有反復試用“循環(huán)體”的體會,雖然算法實現(xiàn)的只能是有限步的循環(huán);(如下圖)
(6) 了解歸納法、演繹法等推理方法以及分析法、綜合法等證明方法，具有了一定的邏輯知識的基礎.
難點或疑點：
但數(shù)學歸納法作為一種證明的方法，且不論其方法的結構形式，運用技巧，就是對其自身的可靠性，學生都有一定的疑慮，具體可能會體現(xiàn)在以下一些方面：
1.數(shù)學歸納法所要解決的是無窮多個命題P(1),P(2),P(3),…,P(n),…恒為真的問題，由此造學生在理解上的兩點困難：(1)對“無窮”的模糊認知和神秘感;(2)對于一個關于正整數(shù)n的命題P(n)，會難以將其看作是一個隨自變量n變化的“命題值函數(shù)”.
2.為什么要引進數(shù)學歸納法?驗證為何不可行?
3.數(shù)學歸納法的兩步驟中，對第二步的認識往往難以到位.將解決由P(k)到P(k+1)的傳遞性問題，誤解為證明P(k+1)的真實性.由此造成對證明中何以用“假設”的不理解.
4.數(shù)學歸納法的第二步中由k到k+1的遞推性應保證k從第一個值時的任意一個整數(shù)都能成立,由此只要第一個值成立，就能確?？梢砸恢边f推下去.
5.數(shù)學歸納法中的遞推是一種無窮盡的動態(tài)過程，學生對于不斷反復地運用步驟二來進行推理的模式缺乏清晰的認知.
數(shù)學歸納法運用時對起點可作適當?shù)钠?，對第二步的證明有一定的技巧，這些都可以留置下一課進行深入分析，本課側重解決對數(shù)學歸納法基本原理和兩步驟的初步理解.
突破的關鍵：
由于中學階段對數(shù)學歸納法的教學缺乏理論基礎，因此學習的關鍵是通過對具體問題的解決，提煉出方法的一般模式。在經(jīng)歷問題的提出、思考的過程，通過具體的事例、直觀的模型中加以抽象概括，從而逐步加深對數(shù)學歸納法原理的理解。
(1) 借助遞推數(shù)列
遞推數(shù)列通過相鄰兩項的關系以及首項來確定數(shù)列，與數(shù)學歸納法的思想有著天然的聯(lián)系.
(2) 構建直觀模型
上圖既有多米諾骨牌的形象又有數(shù)學的形式，加上命題式的推出符號更易理解若k則k+1的遞推語句，整體上又具有流程圖的程序結構，能較好地反映出數(shù)學歸納法的本質，可以使學生的思考有較形象直觀的載體.
(2)重視歸納概括
根據(jù)遞推思想，數(shù)學歸納法的證題過程可分解為以下無窮多個步驟：
第一步，P(1)真;
第二步，P(1)真->P(2)真;
第三步，P(2)真->P(3)真;
第四步，P(3)真->P(4)真;
用最少的步驟可概括為
第一步，P(1)真;
第二步以后各步都可歸納為一個命題的證明：P(k)真ÞP(k+1)真;即若P(k)真，則P(k+1)真.
同以上兩步，就可證得對任意的正整數(shù)n,都有P(n)為真.
對于這種抽象概括，學生在數(shù)列的學習以及算法的學習中是有經(jīng)驗的和能力的.
四、教學支持條件
對于“無窮”與“遞推”的描述，僅靠語言及符號是蒼白的，借助于一些直觀形象的符號可以更有助于學生的想象與理解.
五、教學過程設計
(一)課前準備
課前播放多米諾骨牌游戲的錄像，并將其類比遷移到對提問規(guī)則的制定:某個同學回答后，將話話筒傳遞給下一位同學回答問題.
設計意圖：一方面營造輕松的氛圍，另一方面滲透遞推思想，讓學生有感悟思想的機會.
(二) 方法的形成
問題：已知數(shù)列{an｝：，求,.
師生活動：
學生進行計算推理后，展示思考結果.
教師追問：
(1)根據(jù)遞推公式，可以由出發(fā)，推出，再由推出,由推出,說說你又是如何求得呢?
預設：由前四項歸納猜想.
(2)歸納猜想的結果并不可靠，你能否對給以嚴格的證明嗎?
設計意圖：學生通過對的求解，體會到只需知道某一項，就可求出其下一項的值.通過直觀的框圖式結構，可以使學生的思考有較形象直觀的載體.針對學生的回答情況，教師可進行追問：
問1 : 利用遞推公式，命題中的n由1可以推出2，由2可以推出3，由3可以推出4，。。。，由99可以推出100. 這樣要嚴格證明n=100結論成立，需要進行多少個步驟的論證呢?
第一步，;
第二步：; (由推)
第三步，; (由推)
第四步， ; (由推)
……
第99步，; (由推)
第100步，. (由推)
問2： 你能否只用最少的步驟就能證明這個結論呢?
預設：除了第一步論證之外，其余99個步驟的證明都可以概括成一個命題的證明，即轉化為對以下命題的證明：
若n取某一個值時結論成立，則n取其下一個值時結論也成立，即
若()，則. (*)
(.)
問3： 你能進一步說明命題(*)的證明對原命題的證明起到什么作用嗎?
問4： 有了命題(*)的證明，你能肯定嗎?你能肯定嗎?你能肯定嗎?甚至你能肯定嗎?…
問5：給定及命題(*)，你能推出什么結論呢?
預設：通過步步遞推，可以證明對任意的正整數(shù)n，結論都成立.
問6：試寫出此命題的證明:
已知數(shù)列{an｝：，求證：.
預設：證明:
(1) 當n=1時，,所以結論成立.
(2) 假設當n=k(kÎN*)時，結論成立，即，
則當n=k+1時
即當n=k+1時，結論也成立.
由(1)(2)可得，對任意的正整數(shù)n都有成立.
問7： 你能否總結出這一證明方法的一般模式?
預設：
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題P(n)，可按下列步驟進行：
(1) 證明當n=1時命題成立;
(2) 假設當n=k()時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.
則 P(1)真-> P(2)真-> P(3)真->P(4)真->P(5)真->……
那么，對任意的正整數(shù)n，命題P(n)都成立.
設計意圖：方法的提煉事實是對一種模式的提煉，通過對多米諾骨牌、課堂提問方式的滲透，以及對這一數(shù)學問題的解決過程的體驗，部分學生可能有能力對這一模式的特征進行概括.
問8：這種解決問題的思想方法在生活中有應用嗎?你能舉出一些例子說明嗎?
預設：多米諾骨牌游戲，課堂提問，傳真話，長城烽火臺的狼煙傳遞等等;
設計意圖：通過舉例子，讓學生進一步理解數(shù)學歸納法的原理，體會數(shù)學與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系和類比.增進對數(shù)學學習的興趣.
問9：對方法中的兩個步驟，你是如何理解的?
預設：一是歸納基礎，二是歸納遞推.兩者缺一不可。
數(shù)學歸納法實質上將對原問題的證明轉化為對兩個步驟的證明和判斷，由此可進行無限的循環(huán),其結構如下：
設計意圖：通過從不同的角度審視，更有利于學生全面地了解數(shù)學歸納法的本質.
(三)方法的應用
例1 試一試，猜一猜 證一證
我們都知道1+2+3+…+n=(nÎN*)，那么13+23+33+…+n3= ? .
預設：
n=1 13 =1 =12
n=2 13+23 =9 =32
n=3 13+23+33 =25 =52
n=4 13+23+33+43 =100 =102
…….
猜想
13+23+33+…+n3=
證明： (由學生證明，略)
設計意圖：通過實例，讓學生經(jīng)歷歸納、猜想、證明的全過程，進一步體會數(shù)學歸納法的思想和步驟.
(四) 鞏固與深化
例2 明辨是非
n=n+1?
證明：假設n=k()時結論成立，即
k=k+1，
在等式兩邊各加上1，得
k+1=(k+1)+1
即當n=k+1時，等式也成立.
所以n=n+1對任意的正整數(shù)n都成立.
設計意圖：從反面的實例中可進一步加深對數(shù)學歸納法的兩個步驟的理解.
例3 (1)如果要證明命題P(n)成立，即證P(3)，P(4)，P(5)，P(6)，P(7),......都成立,根據(jù)數(shù)學歸納法的思想，你會如何證明?
(2)如果要證明命題P(n)(n是正偶數(shù))成立，即證明命題P(2)，P(4)，P(6), P(8), P(10),......都成立，根據(jù)數(shù)學歸納法的思想，你會如何證明?
設計意圖：方法是死的，思想是活的，通過這兩個問題，使學生對數(shù)學歸納法的思想有進一步的認識.同時也可檢測學生對數(shù)學歸納法的遞推本質的理解程度.
(五)小結與回顧
(1)數(shù)學歸納法能解決哪些問題?(與正整數(shù)有關的命題的證明)
(2)數(shù)學歸納法的證題步驟是什么?(兩步驟一結論)
(3)它的核心思想是什么?(無窮遞推)
(4)在學習與思考中你還有哪些疑惑?
(5)想飛的蝸牛怎樣才能扶著天梯登上云端呢?(生：登上第一級;如果登上一級后，再努力一點，就能登上下一級.那么蝸牛就能想爬多高就能到多高.)