高三數(shù)學(xué)教案(復(fù)數(shù)和數(shù)列)

時間：2022-10-18 14:07:39 淑娟0由分享

數(shù)學(xué)不可比擬的永久性和萬能性及他對時間和文化背景的獨立行是其本質(zhì)的直接后果。今天小編在這給大家整理了高三數(shù)學(xué)教案大全，接下來隨著小編一起來看看吧!

高三數(shù)學(xué)教案(一)

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)5》(人教版)第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時。

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分;另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

教學(xué)內(nèi)容針對的是高二的學(xué)生，經(jīng)過高中一年的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也可能有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，所以在授課時要從具體的生活實例出發(fā)，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，注重引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生的積極主動的去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從而促進思維能力的進一步提高。

三、設(shè)計思想

1.教法

⑴誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對知識進行主動建構(gòu);有利于突出重點，突破難點;有利于調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。

⑵分組討論法：有利于學(xué)生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學(xué)生的積極性。

⑶講練結(jié)合法：可以及時鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點，突破難點。 2.學(xué)法

引導(dǎo)學(xué)生首先從四個現(xiàn)實問題(數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎項設(shè)置問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念;接著就等差數(shù)列概念的特點，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式;可以對各種能力的同學(xué)引導(dǎo)認識多元的推導(dǎo)思維方法。

用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導(dǎo)。

在引導(dǎo)分析時，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。

四、教學(xué)目標

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及思想，掌握等差數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式，并能解決簡單的實際問題;并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識、方法遷移能力。

五、教學(xué)重點與難點

重點：

①等差數(shù)列的概念。

②等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。難點：

①理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義。 ②理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵：

等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。

六、教學(xué)過程(略)

高三數(shù)學(xué)教案(二)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

一元二次不等式的解法是高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，在高中數(shù)學(xué)中起著廣泛的應(yīng)用工具作用，蘊藏著重要的數(shù)形結(jié)合思想，是代數(shù)、三角、解析幾何交匯綜合的部分，在高中數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位。

教科書中對一元二次不等式的解法，沒有介紹較繁瑣的純代數(shù)方法，而是采取簡潔明了的數(shù)形結(jié)合的方法，從具體到抽象，從特殊到一般，用二次函數(shù)的圖象來研究一元二次不等式的解法。教學(xué)中，利用幾何畫板的動態(tài)演示功能，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合二次函數(shù)的圖象探究一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)“三個二次”間的聯(lián)系，歸納總結(jié)出一元二次不等式的求解過程。通過對一元二次不等式解集的探究過程，滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想。

一元二次不等式的解法是程序性較強的內(nèi)容，探究中應(yīng)注意對“特例”的處理，讓學(xué)生注意對“特殊情況”的處理，才能讓學(xué)習(xí)的內(nèi)容更加完整。

因此，本節(jié)課教學(xué)的重點是圍繞一元二次不等式的解法，通過圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。

二、教學(xué)目標解析

1. 通過對一元二次不等式解法的探究，讓學(xué)生了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。

2. 掌握一元二次不等式的求解步驟，尤其是對“特例”的處理。

3. 通過圖象解法滲透數(shù)形結(jié)合、分類化歸等重要的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生動手能力，觀察分析能力、抽象概括能力、歸納總結(jié)等系統(tǒng)的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生簡約直觀的思維方法和良好的思維品質(zhì)。

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)是，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)、一元二次方程、函數(shù)的零點等有關(guān)知識，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

學(xué)生根據(jù)具體的二次函數(shù)的圖象得對應(yīng)一元二次不等式的解集時問題不大，學(xué)生可能存在的困難：(1)二次函數(shù)是初中學(xué)習(xí)的難點，許多學(xué)生對二次函數(shù)的知識掌握欠缺，對本節(jié)課的順利開展有一定的影響;(2)從特殊的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，學(xué)生全面考慮不同情況下的解集有一定的困難。教學(xué)中，(1)教師可提前讓學(xué)生復(fù)習(xí)二次函數(shù)的有關(guān)知識點，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)掃清障礙。(2)利用幾何畫板的動態(tài)演示功能，通過變換二次函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生在變化中尋找不變的規(guī)律，從而得出影響一元二次不等式解集的因素，確定分類的標準，全面考慮一元二次不等式解的情況。

因此，本節(jié)課教學(xué)的難點是探究一元二次不等式的解集。

四、教學(xué)策略分析

依據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，采用啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)。教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生一元二次不等式的解法可以類比“一元一次不等式與一次函數(shù)、一元一次方程三者間的關(guān)系”，利用二次函數(shù)的圖象進行求解。從特殊到一般，從具體到抽象，通過幾何畫板的動態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、主動發(fā)現(xiàn)一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，得出一元二次不等式的求解步驟。教學(xué)中讓學(xué)生通過動手實踐、自主探索、合作學(xué)習(xí)完成學(xué)習(xí)過程，從動態(tài)中觀察、探索歸納知識。

為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標，教學(xué)中通過幾何畫板動態(tài)演示函數(shù)圖象上的點在移動時，隨著橫坐標的變化，縱坐標的取值變化情況，更直觀地向?qū)W生展示或時對應(yīng)的的取值范圍。利用圖象的直觀性，觀察二次函數(shù)圖象的變化對一元二次不等式解集的影響，恰當(dāng)確定分類的標準，有效解決教學(xué)中的難點。

五、教學(xué)過程設(shè)計

新課導(dǎo)入：剛才我們回顧了初中學(xué)過的一元一次方程、一元一次不等式、一次函數(shù)三者間的聯(lián)系，利用這種聯(lián)系可以快速準確地求出一元一次不等式的解集。那么對于一元二次不等式能否用類似的方法求解?我們以上網(wǎng)計時收費問題中得到的一元二次不等式為例進行探究。

問題一：如何求一元二次不等式的解集?

設(shè)計意圖：通過具體的例子，觀察三個二次的關(guān)系，直觀理解一元二次不等式的求法，由特殊到一般。

引導(dǎo)一：畫出二次函數(shù) 的草圖。

引導(dǎo)二：觀察一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù) 三者間有何聯(lián)系?

引導(dǎo)三：要寫出一元二次不等式的解集，需要確定哪些量?

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考三個二次的關(guān)系，首先畫出函數(shù) 的圖象。讓學(xué)生通過觀察圖象，發(fā)現(xiàn)“一元二次方程的兩個根是對應(yīng)二次函數(shù) 的零點”的結(jié)論，一元二次不等式的解即是二次函數(shù) 的圖象上函數(shù)值時對應(yīng)的的取值。利用幾何畫板的動態(tài)演示功能，在函數(shù) 的圖象上任取一點，觀察當(dāng)點在拋物線上移動時，隨著的橫坐標的變化，的縱坐標有什么變化，借用動態(tài)演示幫助看圖有困難的同學(xué)。

問題二：探究一元二次不等式的解集。

設(shè)計意圖：進一步加深學(xué)生對“三個二次”間關(guān)系的理解，通過二次函數(shù)圖象的動態(tài)變化，尋找出恰當(dāng)?shù)姆诸悩藴剩瑢懗龆尾坏仁降慕饧?，從具體到抽象。

引導(dǎo)一：要得到一個一元二次不等式的解集，關(guān)鍵應(yīng)考慮哪些因素?

師生活動：教師利用幾何畫板的動態(tài)演示功能，改變二次函數(shù) 中的常數(shù) 的值，讓學(xué)生觀察隨著函數(shù)圖象的變化，不等式的解的變化情況，在變化中尋找不變的規(guī)律，從而得出確定一元二次不等式解集的兩個因素：(1)對應(yīng)的一元二次方程的根的情況;(2)對應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向。

引導(dǎo)二：應(yīng)如何分類討論一元二次不等式的解集?

師生活動：在引導(dǎo)、分析的基礎(chǔ)上，由學(xué)生歸納得出分類的兩個標準：(1)分和 ;(2)分，，。并讓學(xué)生完成課本77頁的表，寫出時一元二次方程根和一元二次不等式的解集。

高三數(shù)學(xué)教案(三)

教學(xué)目標

（1）掌握向量的有關(guān)概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

（2）理解并掌握復(fù)數(shù)集、復(fù)平面內(nèi)的點的集合、復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系；

（3）掌握復(fù)數(shù)的模的定義及其幾何意義；

（4）通過學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

（5）通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力，幫助學(xué)生逐步形成科學(xué)的思維習(xí)慣和方法

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

本節(jié)內(nèi)容首先從物理中所遇到的一些矢量出發(fā)引出向量的概念，介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接著介紹了復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系，指出了復(fù)數(shù)的模的定義及其計算公式

二、重點、難點分析

本節(jié)的重點是復(fù)數(shù)與復(fù)平面的向量的一一對應(yīng)關(guān)系的理解；難點是復(fù)數(shù)模的概念復(fù)數(shù)可以用向量表示，二者的對應(yīng)關(guān)系為什么只能說復(fù)數(shù)集與以原點為起點的向量的集合一一對應(yīng)關(guān)系，而不能說與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對應(yīng)，對這一點的理解要加以重視在復(fù)數(shù)向量的表示中，從復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的點以及以原點為起點的向量之間的一一對應(yīng)關(guān)系是本節(jié)教學(xué)的難點復(fù)數(shù)模的概念是一個難點，首先要理解復(fù)數(shù)的絕對值與實數(shù)絕對值定義的一致性質(zhì)，其次要理解它的幾何意義是表示向量的長度，也就是復(fù)平面上的點到原點的距離

三、教學(xué)建議

1在學(xué)習(xí)新課之前一定要復(fù)習(xí)舊知識，包括實數(shù)的絕對值及幾何意義，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、現(xiàn)行高中物理課本中的有關(guān)矢量知識等，特別是對于基礎(chǔ)較差的學(xué)生，這一環(huán)節(jié)不可忽視

2理解并掌握復(fù)數(shù)集、復(fù)平面內(nèi)的點集、復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量集合三者之間的關(guān)系

如圖所示，建立復(fù)平面以后，復(fù)數(shù) 與復(fù)平面內(nèi)的點形成—一對應(yīng)關(guān)系，而點又與復(fù)平面的向量構(gòu)成—一對應(yīng)關(guān)系因此，復(fù)數(shù)集與復(fù)平面的以為起點，以為終點的向量集形成—一對應(yīng)關(guān)系因此，我們常把復(fù)數(shù) 說成點Z或說成向量點、向量是復(fù)數(shù) 的另外兩種表示形式，它們都是復(fù)數(shù) 的幾何表示

相等的向量對應(yīng)的是同一個復(fù)數(shù)，復(fù)平面內(nèi)與向量相等的向量有無窮多個，所以復(fù)數(shù)集不能與復(fù)平面上所有的向量相成—一對應(yīng)關(guān)系復(fù)數(shù)集只能與復(fù)平面上以原點為起點的向量集合構(gòu)成—一對應(yīng)關(guān)系

這種對應(yīng)關(guān)系的建立，為我們用解析幾何方法解決復(fù)數(shù)問題，或用復(fù)數(shù)方法解決幾何問題創(chuàng)造了條件

3向量的模，又叫向量的絕對值，也就是其有向線段的長度它的計算公式是，當(dāng)實部為零時，根據(jù)上面復(fù)數(shù)的模的公式與以前關(guān)于實數(shù)絕對值及算術(shù)平方根的規(guī)定一致這些內(nèi)容必須使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上牢固地掌握

4講解教材第182頁上例2的第（1）小題建議在講解教材第182頁上例2的第（1）小題時如果結(jié)合提問的圖形，可以幫助學(xué)生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面（曲線所包圍的平面部分）對于倒2的第（2）小題的圖形，畫圖時周界（兩個同心圓）都應(yīng)畫成虛線

5講解復(fù)數(shù)的模講復(fù)數(shù)的模的定義和計算公式時，要注意與向量的有關(guān)知識聯(lián)系，結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點，以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為終點的向量之間的一一對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶。向量的模，又叫做向量的絕對值，也就是有向線段OZ的長度它也叫做復(fù)數(shù) 的模或絕對值它的計算公式是

高三數(shù)學(xué)教案(四)

教學(xué)目標

（1）掌握復(fù)數(shù)加法與減法運算法則，能熟練地進行加、減法運算；

（2）理解并掌握復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義，會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題；

（3）能初步運用復(fù)平面兩點間的距離公式解決有關(guān)問題；

（4）通過學(xué)平行四邊形法則和三角形法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

（5）通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點、難點分析

本節(jié)的重點是復(fù)數(shù)加法法則。難點是復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。復(fù)數(shù)加法法則是教材首先規(guī)定的法則，它是復(fù)數(shù)加減法運算的基礎(chǔ)，對于這個規(guī)定的合理性，在教學(xué)過程中要加以重視。復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的難點在于復(fù)數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為向量加減法，以它為根據(jù)來解決某些平面圖形的問題，學(xué)生對這一點不容易接受。

三、教學(xué)建議

（1）在中，重點是加法教材首先規(guī)定了復(fù)數(shù)的加法法則對于這個規(guī)定，應(yīng)通過下面幾個方面，使學(xué)生逐步理解這個規(guī)定的合理性：①當(dāng) 時，與實數(shù)加法法則一致；②驗證實數(shù)加法運算律在復(fù)數(shù)集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則

（2）復(fù)數(shù)加法的向量運算講解設(shè) ，畫出向量，后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學(xué)生自己畫出和向量（即合向量），畫出向量后，問與它對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么，即求點Z的坐標OR與RZ（證法如教材所示）

（3）向?qū)W生介紹復(fù)數(shù)加法的三角形法則講過復(fù)數(shù)加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進行：如教材中圖8－5（2）所示，求與的和，可以看作是求與的和這時先畫出第一個向量，再以的終點為起點畫出第二個向量，那么，由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量，就是這兩個向量的和向量

（4）向?qū)W生指出復(fù)數(shù)加法的三角形法則的好處向?qū)W生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當(dāng) 與在同一直線上時，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復(fù)數(shù)減法的幾何意義時，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便

（5）講解了教材例2后，應(yīng)強調(diào) （注意：這里是起點，是終點）就是同復(fù)數(shù) －對應(yīng)的向量點，之間的距離就是向量的模，也就是復(fù)數(shù) －的模，即

例如，起點對應(yīng)復(fù)數(shù)－1、終點對應(yīng)復(fù)數(shù) 的那個向量（如圖），可用來表示因而點與（）點間的距離就是復(fù)數(shù) 的模，它等于。

教學(xué)設(shè)計示例

復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義

教學(xué)目標

1理解并掌握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義

2滲透轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法，提高分析、解決問題能力

3培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）

教學(xué)重點和難點

重點：復(fù)數(shù)減法法則

難點：對復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用

教學(xué)過程設(shè)計

（一）引入新課

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義（板書課題：復(fù)數(shù)減法及其幾何意義）

（二）復(fù)數(shù)減法

復(fù)數(shù)減法是加法逆運算，那么復(fù)數(shù)減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，

1復(fù)數(shù)減法法則

（1）規(guī)定：復(fù)數(shù)減法是加法逆運算；

（2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（，，， ∈R）

把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導(dǎo)這個法則

（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i

推導(dǎo)的想法和依據(jù)把減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算

推導(dǎo)：設(shè)（ + i）-（ + i）= + i（， ∈R）即復(fù)數(shù) + i為復(fù)數(shù) + i減去復(fù)數(shù) + i的差由規(guī)定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據(jù)加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，得

故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù)

我們得到了復(fù)數(shù)減法法則，兩個復(fù)數(shù)的差仍是復(fù)數(shù)是確定的復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的加（減）法與多項式加（減）法是類似的就是把復(fù)數(shù)的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i

（三）復(fù)數(shù)減法幾何意義

我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則，那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么？

設(shè)z= + i（， ∈R），z1= + i（， ∈R），對應(yīng)向量分別為，如圖

由于復(fù)數(shù)減法是加法的逆運算，設(shè)z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以為一條對角線， 1為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復(fù)數(shù)z-z1的差（ - ）+（ - ）i對應(yīng)，如圖

在這個平行四邊形中與z-z1差對應(yīng)的向量是只有向量 2嗎？

還有因為OZ2 Z1Z，所以向量，也與z-z1差對應(yīng)向量是以Z1為起點，Z為終點的向量

能概括一下復(fù)數(shù)減法幾何意義是：兩個復(fù)數(shù)的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應(yīng)

（四）應(yīng)用舉例

在直角坐標系中標Z1（-2，5），連接OZ1，向量 1與多數(shù)z1對應(yīng)，標點Z2（3，2），Z2關(guān)于x軸對稱點Z2（3，-2），向量 2與復(fù)數(shù)對應(yīng)，連接，向量與的差對應(yīng)（如圖）

例2 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示，求復(fù)平面內(nèi)兩點間的距離公式

解：設(shè)復(fù)平面內(nèi)的任意兩點Z1，Z2分別表示復(fù)數(shù)z1，z2，那么Z1Z2就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，點之間的距離就是向量的模，即復(fù)數(shù)z2-z1的模如果用d表示點Z1，Z2之間的距離，那么d=|z2-z1|

例3 在復(fù)平面內(nèi)，滿足下列復(fù)數(shù)形式方程的動點Z的軌跡是什么

（1）|z-1-i|=|z+2+i|；

方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1+i差的模

幾何意義是是動點Z與定點（1，1）間的距離方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線

（2）|z+i|+|z-i|=4；

方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡滿足方程的動點軌跡是橢圓

（3）|z+2|-|z-2|=1

這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線是雙曲線右支

由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程使有些曲線方程形式變得更為簡捷且反映曲線的本質(zhì)特征

例4 設(shè)動點Z與復(fù)數(shù)z= + i對應(yīng)，定點P與復(fù)數(shù)p= + i對應(yīng)求

（1）復(fù)平面內(nèi)圓的方程；

解：設(shè)定點P為圓心，r為半徑，如圖

由圓的定義，得復(fù)平面內(nèi)圓的方程|z-p|=r

（2）復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點Z的集合是什么圖形？

解：復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）利用復(fù)平面內(nèi)兩點間距離公式，可以用復(fù)數(shù)解決解析幾何中某些曲線方程不等式等問題

（五）小結(jié)

我們通過推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則，并進一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義，應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點間距離公式，可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問題，不等式以及最值問題

（六）布置作業(yè) P193習(xí)題二十七：2，3，8，9

探究活動

復(fù)數(shù)等式的幾何意義

復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示以為圓心，以1為半徑的圓。請再舉三個復(fù)數(shù)等式并說明它們在復(fù)平面上的幾何意義。

分析與解

1 復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示線段的中垂線。

2 復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示一個橢圓。

3 復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示一條線段。

4 復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示雙曲線的一支。

5 復(fù)數(shù)等式在復(fù)平面上表示原點為O、構(gòu)成一個矩形。

說明復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點有一一對應(yīng)的關(guān)系，如果我們對復(fù)數(shù)的代數(shù)形式工（幾何意義）之

間的關(guān)系比較熟悉的話，必然會強化對復(fù)數(shù)知識的掌握。

高三數(shù)學(xué)教案(五)

教學(xué)目標

（1）掌握復(fù)數(shù)乘法與除法的運算法則，并能熟練地進行乘、除法的運算；

（2）能應(yīng)用i和的周期性、共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)、模的性質(zhì)熟練地進行解題；

（3）讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法；

（4）通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法與除法的運算法則，培養(yǎng)學(xué)生探索問題、分析問題、解決問題的能力。

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點、難點分析

本節(jié)的重點和難點是復(fù)數(shù)乘除法運算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘，與加減法一樣，可以按多項式的乘法進行，但必須在所得的結(jié)果中把換成－1，并且把實部與虛部分合并很明顯，兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)，即在復(fù)數(shù)集內(nèi)，乘法是永遠可以實施的，同時它滿足并換律、結(jié)合律及乘法對加法的分配律規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算，它同多項式除法類似，當(dāng)兩個多項式相除，可以寫成分式，若分母含有理式時，要進行分母有理化，而兩個復(fù)數(shù)相除時，要使分母實數(shù)化，即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母變成實數(shù)

三、教學(xué)建議

1在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘時，復(fù)數(shù)的乘法法則規(guī)定按照如下法則進行設(shè) 是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積：

也就是說復(fù)數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的，注意有一點不同即必須在所得結(jié)果中把換成一1，再把實部，虛部分別合并，而不必去記公式

2復(fù)數(shù)的乘法不僅滿足交換律與結(jié)合律，實數(shù)集R中整數(shù)指數(shù)冪的運算律，在復(fù)數(shù)集C中仍然成立，即對任何，，及，有：

，，；

對于復(fù)數(shù) 只有在整數(shù)指數(shù)冪的范圍內(nèi)才能成立由于我們尚未對復(fù)數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪進行定義，因此如果把上述法則擴展到分數(shù)指數(shù)冪內(nèi)運用，就會得到荒謬的結(jié)果。如，若由，就會得到的錯誤結(jié)論，對此一定要重視。

3講解復(fù)數(shù)的除法，可以按照教材規(guī)定它是乘法的逆運算，即求一個復(fù)數(shù) ，使它滿足（這里，是已知的復(fù)數(shù)）列出上式后，由乘法法則及兩個復(fù)數(shù)相等的條件得：

由此

于是

得出商以后，還應(yīng)當(dāng)著重向?qū)W生指出：如果根據(jù)除法的定義，每次都按上述做來法逆運算的辦法來求商，這將是很麻煩的分析一下商的結(jié)構(gòu)，從形式上可以得出兩個復(fù)數(shù)相除的較為簡捷的求商方法，就是先把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡即可

4這道例題的目的之一是訓(xùn)練我們對于復(fù)數(shù)乘法運算、乘方運算及乘法公式的操作，要求我們做到熟練和準確。從這道例題的運算結(jié)果，我們應(yīng)該看出，也是-1的一個立方根。因此，我們應(yīng)該修正過去關(guān)于“-1的立方根是-1”的認識，想到-1至少還有一個虛數(shù)根。然后再回顧例2的解題過程，發(fā)現(xiàn)其中所有的“-”號都可以改成“±”。這樣就能找出-1的另一個虛數(shù)根。所以-1在復(fù)數(shù)集C內(nèi)至少有三個根：-1，，。以上對于一道例題或練習(xí)題的反思過程，看起來并不難，但對我們學(xué)習(xí)知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維，拓寬和加深我們的知識，使我們對一個問題的認識更加全面。

5教材194頁第6題這是關(guān)于復(fù)數(shù)模的一個重要不等式，在研究復(fù)數(shù)模的最值問題中有著廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用上述絕對值不等式過程中，要特別注意等號成立的條件。

教學(xué)設(shè)計示例

復(fù)數(shù)的乘法

教學(xué)目標

1掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法運算法則，能熟練地進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算；

2理解復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律；

3知道復(fù)數(shù)的乘法是同復(fù)數(shù)的積，理解復(fù)數(shù)集C中正整數(shù)冪的運算律，掌握i的乘法運算性質(zhì)

教學(xué)重點難點

復(fù)數(shù)乘法運算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

難點是復(fù)數(shù)乘法運算律的理解

教學(xué)過程設(shè)計

1 引入新課