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高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí):向量

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高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí):向量

  向量對(duì)于學(xué)生來說是很簡單的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),大家只要掌握好就行了,不必把大力氣花在這個(gè)地方。為了讓大家提高效率,小編整理了相關(guān)資料,希望能幫助到您。

  什么是向量

  在數(shù)學(xué)中,向量(也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。

  它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指:代表向量的方向;線段長度:代表向量的大小。

  與向量對(duì)應(yīng)的量叫做數(shù)量(物理學(xué)中稱標(biāo)量),數(shù)量(或標(biāo)量)只有大小,沒有方向。

  向量垂直公式

  a,b是兩個(gè)向量

  a=(a1,a2) b=(b1,b2)

  a//b:a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一個(gè)常數(shù)

  a垂直b:a1b1+a2b2=0

  證明:

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  向量A (x1,y1),長度 L1 =√(x1²+y1²)

  向量B (x2,y2),長度 L2 =√(x2²+y2²)

  (x1,y1)到(x2,y2)的距離:D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]

  兩個(gè)向量垂直,根據(jù)勾股定理:L1² + L2² = D²

  ∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

  ∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²

  ∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2

  ∴ x1x2 + y1y2 = 0

 ?、跀U(kuò)展到三維角度:

  x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,

  那么向量(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)垂直

  綜述,對(duì)任意維度的兩個(gè)向量L1,L2垂直的充分必要條件是:L1×L2=0 成立。

  平面向量加法公式

  已知向量AB、BC,再作向量AC,則向量AC叫做AB、BC的和,記作AB+BC

  即有:AB+BC=AC。

  用坐標(biāo)表示時(shí),顯然有:AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。

  這就是說,兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差

  三角形法則:AB+BC=AC,這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則,簡記為:首尾相連、連接首尾、指向終點(diǎn)。

  四邊形法則:已知兩個(gè)從同一點(diǎn)A出發(fā)的兩個(gè)向量AC、AB,以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB,則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線AD就是向量AC、AB的和,這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則,簡記為:共起點(diǎn) 對(duì)角連。

  對(duì)于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。

  向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律,如:交換律、結(jié)合律。

  平面向量減法公式

  AB-AC=CB,這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則

  簡記為:共起點(diǎn)、連中點(diǎn)、指被減。

  -(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。

  平面向量數(shù)乘公式

  實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa。

  當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向和a的方向相同,

  當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向和a的方向相反,

  當(dāng)λ = 0時(shí),λa=0。

  用坐標(biāo)表示的情況下有:λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)

  設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù),那么滿足如下運(yùn)算性質(zhì):

  (λμ)a= λ(μa)

  (λ + μ)a= λa+ μa

  λ(a±b) = λa± λb

  (-λ)a=-(λa) = λ(-a)

  |λa|=|λ||a|

  平面向量數(shù)量積公式

  已知兩個(gè)非零向量a、b,那么a·b=|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作a·b。

  零向量與任意向量的數(shù)量積為0。數(shù)量積a·b的幾何意義是:a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。

  兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1·x2+y1·y2


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