八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊勾股定理單元測試卷
勾股定理是三角形圖形學(xué)習(xí)的最基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，也是解題的必備知識(shí)點(diǎn)，下面是小編給大家?guī)淼陌四昙?jí)數(shù)學(xué)上冊《第1章 勾股定理》單元測試卷，希望能夠幫助到大家!
八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊《第1章 勾股定理》單元測試卷
一、選擇題
1.△ABC中∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是( )
A.如果∠C﹣∠B=∠A，則△ABC是直角三角形
B.如果c2=b2﹣a2，則△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C.如果(c+a)(c﹣a)=b2，則△ABC是直角三角形
D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形
2.下列各組數(shù)的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是( )
A.1，2，3 B.32，42，52 C. ， ， D.0.3，0.4，0.5
3.勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為( )
A.90 B.100 C.110 D.121
4.在Rt△ABC中，斜邊長BC=3，AB2+AC2+BC2的值為( )
A.18 B.9 C.6 D.無法計(jì)算
5.在Rt△ABC中，a，b，c為△ABC三邊長，則下列關(guān)系正確的是( )
A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2
C.b2+c2=a2 D.以上關(guān)系都有可能
6.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為( )
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
二.填空題
7.已知a，b，c分別是Rt△ABC的兩條直角邊長和斜邊長，且a+b=14，c=10，則S△ABC= .
8.小強(qiáng)在操場上向東走200m后，又走了150m，再走250m回到原地，小強(qiáng)在操場上向東走了200m后，又走150m的方向是 .
9.如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S1、S2，則S1+S2等于 .
三.解答題
10.如圖，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，求AC.
11.如圖，有一個(gè)長方形的場院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B處豎直立著一根電線桿，在電線桿上距地面8m的E處有一盞電燈.點(diǎn)D到燈E的距離是多少?
12.如圖是一束平行的陽光從教室窗戶射入的平面示意圖，小強(qiáng)同學(xué)測量出BC=1m，
NC= m，BN= m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的長.
13.如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是多少?
14.如圖，在長方形紙片ABCD中，AB=18，把長方形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，若AF=13，求AD的長.
15.如圖，對(duì)任意符合條件的直角三角形BAC，繞其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法.
北師大新版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊《第1章 勾股定理》2016年單元測試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題
1.△ABC中∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是( )
A.如果∠C﹣∠B=∠A，則△ABC是直角三角形
B.如果c2=b2﹣a2，則△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C.如果(c+a)(c﹣a)=b2，則△ABC是直角三角形
D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形
【考點(diǎn)】KS：勾股定理的逆定理;K7：三角形內(nèi)角和定理.
【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一個(gè)角為90°，②利用勾股定理的逆定理.
【解答】解：A、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求出角C為90度，故正確;
B、解得應(yīng)為∠B=90度，故錯(cuò)誤;
C、化簡后有c2=a2+b2，根據(jù)勾股定理，則△ABC是直角三角形，故正確;
D、設(shè)三角分別為5x，3x，2x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得三外角分別為：90度，36度，54度，則△ABC是直角三角形，故正確.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定.
2.下列各組數(shù)的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是( )
A.1，2，3 B.32，42，52 C. ， ， D.0.3，0.4，0.5
【考點(diǎn)】KS：勾股定理的逆定理.
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷.
【解答】解：∵0.32+0.42=0.25，0.52=0.25，
∴0.32+0.42=0.52，
∴0.3，0.4，0.5能構(gòu)成直角三角形的三邊.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是記住勾股定理的逆定理的解題格式，屬于中考?？碱}型.
3.勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為( )
A.90 B.100 C.110 D.121
【考點(diǎn)】KR：勾股定理的證明.
【專題】1 ：常規(guī)題型;16 ：壓軸題.
【分析】延長AB交KF于點(diǎn)O，延長AC交GM于點(diǎn)P，可得四邊形AOLP是正方形，然后求出正方形的邊長，再求出矩形KLMJ的長與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：如圖，延長AB交KF于點(diǎn)O，延長AC交GM于點(diǎn)P，
所以四邊形AOLP是正方形，
邊長AO=AB+AC=3+4=7，
所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，
因此矩形KLMJ的面積為10×11=110.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵.
4.在Rt△ABC中，斜邊長BC=3，AB2+AC2+BC2的值為( )
A.18 B.9 C.6 D.無法計(jì)算
【考點(diǎn)】KQ：勾股定理.
【分析】利用勾股定理將AB2+AC2轉(zhuǎn)化為BC2，再求值.
【解答】解：∵Rt△ABC中，BC為斜邊，
∴AB2+AC2=BC2，
∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理.正確判斷直角三角形的直角邊、斜邊，利用勾股定理得出等式是解題的關(guān)鍵.
5.在Rt△ABC中，a，b，c為△ABC三邊長，則下列關(guān)系正確的是( )
A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2
C.b2+c2=a2 D.以上關(guān)系都有可能
【考點(diǎn)】KQ：勾股定理.
【分析】根據(jù)勾股定理，分∠C是直角，∠B是直角，∠A是直角，三種情況討論可得a，b，c之間的關(guān)系.
【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c為△ABC三邊長，
∠C是直角，則有a2+b2=c2;
∠B是直角，則有a2+c2=b2;
∠A是直角，則有b2+c2=a2.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.
6.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為( )
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
【考點(diǎn)】KQ：勾股定理.
【分析】本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：
(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相加即為BC的長，從而可將△ABC的周長求出;
(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相減即為BC的長，從而可將△ABC的周長求出.
【解答】解：此題應(yīng)分兩種情況說明：
(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，在Rt△ABD中，
BD= = =9，
在Rt△ACD中，
CD= = =5
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周長為：15+13+14=42;
(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，
在Rt△ABD中，BD= = =9，
在Rt△ACD中，CD= = =5，
∴BC=9﹣5=4.
∴△ABC的周長為：15+13+4=32
∴當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，△ABC的周長為42;當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，△ABC的周長為32.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理及解直角三角形的知識(shí)，在解本題時(shí)應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏解，同學(xué)們思考問題一定要全面，有一定難度.
二.填空題
7.已知a，b，c分別是Rt△ABC的兩條直角邊長和斜邊長，且a+b=14，c=10，則S△ABC= 24 .
【考點(diǎn)】KQ：勾股定理;K3：三角形的面積.
【分析】直接利用勾股定理結(jié)合已知得出關(guān)于b的等式，進(jìn)而求出答案.
【解答】解：∵a，b，c分別是Rt△ABC的兩條直角邊長和斜邊長，且a+b=14，c=10，
∴a=14﹣b，則(14﹣b)2+b2=c2，
故(14﹣b)2+b2=102，
解得：b1=6，b2=8，
則a1=8，a2=6，
即S△ABC= ab= ×6×8=24.
故答案為：24.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，正確得出直角邊長是解題關(guān)鍵.
8.小強(qiáng)在操場上向東走200m后，又走了150m，再走250m回到原地，小強(qiáng)在操場上向東走了200m后，又走150m的方向是 北或南 .
【考點(diǎn)】KU：勾股定理的應(yīng)用.
【分析】據(jù)題意作出圖形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可確定答案.
【解答】解：解：如圖，AB=200米，BC=BD=150米，AC=AD=250米，
根據(jù)2002+1502=2502得：∠ABC=∠ABD=90°，
∴小強(qiáng)在操場上向東走了200m后，又走150m的方向是向北或向南，
故答案為：向北或向南.
故答案為北或南
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖形，難度中等.
9.如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S1、S2，則S1+S2等于 2π .
【考點(diǎn)】KQ：勾股定理.
【專題】11 ：計(jì)算題.
【分析】根據(jù)半圓面積公式結(jié)合勾股定理，知S1+S2等于以斜邊為直徑的半圓面積.
【解答】解：S1= π( )2= πAC2，S2= πBC2，
所以S1+S2= π(AC2+BC2)= πAB2=2π.
故答案為：2π.
【點(diǎn)評(píng)】此題根據(jù)半圓的面積公式以及勾股定理證明：以直角三角形的兩條直角邊為直徑的半圓面積和等于以斜邊為直徑的半圓面積，重在驗(yàn)證勾股定理.
三.解答題
10.如圖，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，求AC.
【考點(diǎn)】KQ：勾股定理.
【分析】由已知可以利用勾股定理求得EC的長，從而可得到CD的長，再根據(jù)勾股定理求得AC的長即可.
【解答】解：∵AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，
∴EC= =12，
∵DE=7，
∴CD=5，
∴AC= =12.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用.
11.如圖，有一個(gè)長方形的場院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B處豎直立著一根電線桿，在電線桿上距地面8m的E處有一盞電燈.點(diǎn)D到燈E的距離是多少?
【考點(diǎn)】KU：勾股定理的應(yīng)用.
【分析】在Rt△ABD中求出BD，然后在Rt△EBD中利用勾股定理即可得出DE的長度.
【解答】解：在Rt△BAD中，∠BAD=90°， 米，
在Rt△EBD中，∠EBD=90°， 米.
故點(diǎn)D到燈E的距離是17米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的表達(dá)式.
12.如圖是一束平行的陽光從教室窗戶射入的平面示意圖，小強(qiáng)同學(xué)測量出BC=1m，
NC= m，BN= m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的長.
【考點(diǎn)】KU：勾股定理的應(yīng)用.
【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△BCN的形狀，再由勾股定理即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵BC=1m，NC= m，BN= m，
∴BC2=1，NC2= ，BN2= ，
∴BC2+NC2=BN2，
∴AC⊥MC.
在Rt△ACM中，
∵AC=4.5m，MC=6m，MA2=AC2+CM2=56.25，
∴MA=7.5 m.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，先根據(jù)題意判斷出AC⊥MC是解答此題的關(guān)鍵.
13.如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是多少?
【考點(diǎn)】KV：平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}.
【分析】要求長方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答.
【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第1個(gè)圖：
∵長方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：
∴AB= = =25;
只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第2個(gè)圖：
∵長方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：
∴AB= = =5 ;
只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第3個(gè)圖：
∵長方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：
∴AB= = =5 ;
∵25<5 ，
∴螞蟻爬行的最短距離是25.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短.
14.如圖，在長方形紙片ABCD中，AB=18，把長方形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，若AF=13，求AD的長.
【考點(diǎn)】PB：翻折變換(折疊問題).
【分析】由折疊得：∠EAC=∠BAC，AE=AB=18，根據(jù)平行線性質(zhì)得：AF=FC=13，再求出EF=5，利用勾股定理求出EC的長，即AD的長.
【解答】解：由折疊得：∠EAC=∠BAC，AE=AB=18，
∵四邊形ABCD為長方形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
∴FC=AF=13，
∵AB=18，AF=13，
∴EF=18﹣13=5，
∵∠E=∠B=90°，
∴EC= =12，
∵AD=BC=EC，
∴AD=12.
【點(diǎn)評(píng)】本題是折疊問題，考查了長方形、折疊的性質(zhì)，難度不大;屬于?？碱}型，熟練掌握折疊前后的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等;與平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等得出等腰三角形，根據(jù)等角對(duì)等邊，求出邊的長，利用勾股定理解決問題.
15.如圖，對(duì)任意符合條件的直角三角形BAC，繞其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法.
【考點(diǎn)】KR：勾股定理的證明.
【分析】證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和，化簡整理得到勾股定理.
【解答】解：由圖可得：
正方形ACFD的面積=四邊形ABFE的面積=Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和，
即S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE，
∴b2= c2+ ，
整理得：a2+b2=c2.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的證明，勾股定理的證明方法有很多種，一般采用拼圖的方法證明.在解題時(shí)注意：先利用拼圖的方法拼圖，然后再利用面積相等，證明勾股定理.