一元二次方程的解法詳細(xì)解析

時(shí)間：2016-06-28 12:11:54 雪珠631由分享

　　只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。標(biāo)準(zhǔn)形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4種解法，即直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法。下面小編和你具體講解一元二次方程的四種解法例析。

一元二次方程的解法例析

【一元二次方程要點(diǎn)綜述】：

【要點(diǎn)綜述】：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在沒(méi)講一元二次方程的解法之前，先說(shuō)明一下它與一元一次方程區(qū)別。根據(jù)定義可知，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式為：。
一元二次方程有三個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(3)是整式方程。因此判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，要先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理，如能整理為的形式，那么這個(gè)方程就是一元二次方程。
下面再講一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通過(guò)“降次”，將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四種：1、直接開(kāi)平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：

方法	適合方程類(lèi)型	注意事項(xiàng)
直接開(kāi)平方法		≥0時(shí)有解，＜0時(shí)無(wú)解。
配方法		二次項(xiàng)系數(shù)若不為1，必須先把系數(shù)化為1，再進(jìn)行配方。
公式法		≥0時(shí)，方程有解；＜0時(shí)，方程無(wú)解。先化為一般形式再用公式。
因式分解法	方程的一邊為0，另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積。	方程的一邊必須是0，另一邊可用任何方法分解因式。

【舉例解析】
例1：已知，解關(guān)于的方程。
分析：注意滿足的的值將使原方程成為哪一類(lèi)方程。
解：由得：或，
當(dāng)時(shí)，原方程為，即，解得.

當(dāng)時(shí)，原方程為，即，

解得，.

說(shuō)明：由本題可見(jiàn)，只有項(xiàng)系數(shù)不為0，且為最高次項(xiàng)時(shí)，方程才是一元二次方程，
才能使用一元二次方程的解法，題中對(duì)一元二次方程的描述是不完整的，應(yīng)該說(shuō)明最高次項(xiàng)系數(shù)不為0。
通常用一般形式描述的一元二次方程更為簡(jiǎn)明，即形如的方程叫作關(guān)于的一元二次方程。
若本題不給出條件，就必須在整理后對(duì)項(xiàng)的字母系數(shù)分情況進(jìn)行討論。

例2：用開(kāi)平方法解下面的一元二次方程。

（1）；（2）

（3）；（4）

分析：直接開(kāi)平方法就是用直接開(kāi)平方求解一元二次方程的方法。用直接開(kāi)平方法解形如的方程，
其解為。通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)第（1）、（2）兩小題中的方程顯然用直接開(kāi)平方法好做；
第（3）題因方程左邊可變?yōu)橥耆椒绞?sub style="margin: 0px; padding: 0px;">

，右邊的121＞0，所以此方程也可用直接開(kāi)平方法解；

第（4）小題，方程左邊可利用平方差公式，然后把常數(shù)移到右邊，即可利用直接開(kāi)平方法進(jìn)行解答了。
解：（1）

∴（注意不要丟解）
由得，
由得，
∴原方程的解為：，

（2）

由得，

由得
∴原方程的解為：，

（3）

∴

∴

∴，
∴原方程的解為：，

（4）

∴，即

∴，

∴，
∴原方程的解為：，

說(shuō)明：解一元二次方程時(shí)，通常先把方程化為一般式，但如果不要求化為一般式，

像本題要求用開(kāi)平方法直接求解，就不必化成一般式。用開(kāi)平方法直接求解，應(yīng)注意方程兩邊同時(shí)開(kāi)方時(shí)，

只需在一邊取正負(fù)號(hào)，還應(yīng)注意不要丟解。

例3：用配方法解下列一元二次方程。

（1）；（2）

分析：用配方法解方程，應(yīng)先將常數(shù)移到方程右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，

變?yōu)?sub style="margin: 0px; padding: 0px;">

的形式。第（1）題可變?yōu)?sub style="margin: 0px; padding: 0px;">

，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，

即：，方程左邊構(gòu)成一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)不小于0的常數(shù)，即：，

接下去即可利用直接開(kāi)平方法解答了。第（2）題在配方時(shí)應(yīng)特別注意在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。

解：（1）

二次項(xiàng)系數(shù)化為1，移常數(shù)項(xiàng)得：，

配方得：，即

直接開(kāi)平方得：

∴，

∴原方程的解為：，

（2）
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，移常數(shù)項(xiàng)得：
方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得：

即
直接開(kāi)平方得：
∴，
∴原方程的解為：，
說(shuō)明：配方是一種基本的變形，解題中雖不常用，但作為一種基本方法要熟練掌握。
配方時(shí)應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到一邊；
再在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。最后變?yōu)橥耆椒绞嚼弥苯娱_(kāi)平方法即可完成解題任務(wù)。
例4：用公式法解下列方程。
（1）；（2）
分析：用公式法就是指利用求根公式，使用時(shí)應(yīng)先把一元二次方程化成一般形式，
然后計(jì)算判別式的值，當(dāng)≥0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)的值代入求根公式即可得到方程的根。
但要注意當(dāng)＜0時(shí)，方程無(wú)解。第（1）小題應(yīng)先移項(xiàng)化為一般式，再計(jì)算出判別式的值，
判斷解的情況之后，方可確定是否可直接代入求根公式；第（2）小題為了避免分?jǐn)?shù)運(yùn)算的繁瑣
可變形為，求出判別式的值后，再確定是否可代入求根公式求解。
解：（1），
化為一般式：
求出判別式的值：＞0
代入求根公式：，
∴，
（2）
化為一般式：
求出判別式的值：＞0
∴
∴，

說(shuō)明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到簡(jiǎn)單方法時(shí)，即考慮化為一般形式后使用公式法。
但在應(yīng)用時(shí)要先明確公式中字母在題中所表示的量，再求出判別式的值，解得的根要進(jìn)行化簡(jiǎn)。
例5：用分解因式法解下列方程。
（1）；（2）
分析：分解因式法是把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，
讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，
就是原方程的兩個(gè)根。第（1）題已經(jīng)是一般式，可直接對(duì)左邊分解因式；
第（2）題必須先化簡(jiǎn)變?yōu)橐话闶胶笤龠M(jìn)行分解因式。

解：（1）
左邊分解成兩個(gè)因式的積得：
于是可得：，
∴，
（2）
化簡(jiǎn)變?yōu)橐话闶降茫?sub style="margin: 0px; padding: 0px;">

左邊分解成兩個(gè)因式的積得：
于是可得：，
∴，
說(shuō)明：使用分解因式法時(shí)，方程的一邊一定要化為0，這樣才能達(dá)到降次的目的。
把方程一邊化為0，把另一邊分解因式的方法可以用于解今后遇到的各類(lèi)方程。因?yàn)檫@是把方程降次的重要手段之一。
從上述例題來(lái)看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程轉(zhuǎn)化，
轉(zhuǎn)化的方法主要為開(kāi)平方法和使方程一邊為0，把方程另一邊分解因式，配方，或利用求根公式法
另外，在解一元二次方程時(shí)，要先觀察方程是否可以應(yīng)用開(kāi)平方、分解因式等簡(jiǎn)單方法，找不到簡(jiǎn)單方法時(shí)，
即考慮化為一般形式后使用公式法。
例6：選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠獭?

（1）；（2）

（3）；（4）

分析：第（1）題可變形為，而后利用直接開(kāi)平方法較為簡(jiǎn)便；

第（2）題移項(xiàng)后利用分解因式法較為簡(jiǎn)便；第（3）題化為一般式后可利用求根公式法解答；

第（4）題采取配方法較為簡(jiǎn)便。

解：（1）

整理得：

直接開(kāi)平方得：

∴，

（2）

分解因式得：

∴，

（3）

整理得：

求出判別式的值：＞0

∴，

（4）

配方得：

直接開(kāi)平方得：

∴，

總結(jié)：直接開(kāi)平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程，在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在使用公式前應(yīng)先計(jì)算出判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的重要的數(shù)學(xué)方法之一。最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫(xiě)成一般式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。因此在解一元二次方程時(shí)，首先觀察是否可以應(yīng)用開(kāi)平方、分解因式等簡(jiǎn)單方法，找不到簡(jiǎn)單方法時(shí)，即考慮化為一般形式后使用公式法。通常先把方程化為一般式，但如果不化為一般式就可以找到簡(jiǎn)便解法時(shí)就應(yīng)直接求解。

【附訓(xùn)練典題】

1、用直接開(kāi)平方法解下列方程：