小學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法
小學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法
數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)與實踐是促進(jìn)學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)素質(zhì)、增強(qiáng)主動學(xué)習(xí)能力增的重要途徑,能夠幫助學(xué)生積極參與和獨立思考,下面是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法，一起來看看吧。
小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法：符號化思想
1.符號化思想的概念
數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)世界是一個符號化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用;因為數(shù)學(xué)有了符號，才使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點，同時也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展;國際通用的數(shù)學(xué)符號的使用，使數(shù)學(xué)成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。
2.如何理解符號化思想
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較重視培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，并提出了幾點要求。那么，在小學(xué)階段，如何理解這一重要思想呢?下面結(jié)合案例做簡要解析。
第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。如通過幾組具體的兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號表示：a+b=b+a。再如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：S=ab。這是一個符號化的過程，同時也是一個模型化的過程。
第二，理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關(guān)系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關(guān)系。如假設(shè)一個正方形的邊長是a，那么4a就表示該正方形的周長，a²表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應(yīng)用模型的過程。
第三，會進(jìn)行符號間的轉(zhuǎn)換。數(shù)量間的關(guān)系一旦確定，便可以用數(shù)學(xué)符號表示出來，但數(shù)學(xué)符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數(shù)量關(guān)系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互轉(zhuǎn)換的。
第四，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進(jìn)行數(shù)學(xué)的運算和推理。能夠進(jìn)行正確的運算和推理是非常重要的數(shù)學(xué)基本功，也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。
3.符號化思想的具體應(yīng)用
數(shù)學(xué)的發(fā)展雖然經(jīng)歷了幾千年，但是數(shù)學(xué)符號的規(guī)范和統(tǒng)一卻經(jīng)歷了比較慢長的過程。如我們現(xiàn)在通用的算術(shù)中的十進(jìn)制計數(shù)符號數(shù)字0~9于公元8世紀(jì)在印度產(chǎn)生，經(jīng)過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數(shù)在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀(jì)韋達(dá)、笛卡爾和萊布尼茲等數(shù)學(xué)家逐步引進(jìn)和完善了代數(shù)的符號體系。
4.符號化思想的教學(xué)
符號化思想作為數(shù)學(xué)最基本的思想之一，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把培養(yǎng)學(xué)生的符號意識作為必學(xué)的內(nèi)容，并提出了具體要求，足以證明它的重要性。教師在日常教學(xué)中要給予足夠的重視，并落實到課堂教學(xué)目標(biāo)中。要創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生在探索中歸納和理解數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。學(xué)生只有理解和掌握了數(shù)學(xué)符號的內(nèi)涵和思想，才有可能利用它們進(jìn)行正確的運算、推理和解決問題。
數(shù)學(xué)符號是人們在研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的過程中產(chǎn)生的，它來源于生活，但并不是生活中真實的物質(zhì)存在，而是一種抽象概括。如數(shù)字1，它可以表示現(xiàn)實生活中任何數(shù)量是一個的物體的個數(shù)，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一個數(shù)學(xué)符號一旦產(chǎn)生并被廣泛應(yīng)用，它就具有明確的含義，就能夠進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)運算和推理證明，因而它具有精確性。數(shù)學(xué)能夠幫助人們完成大量的運算和推理證明，但如果沒有簡捷的思想和符號的參與，它的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡捷的符號參與了運算和推理證明，數(shù)學(xué)的簡捷性就體現(xiàn)出來了。
如歐洲人12世紀(jì)以前基本上用羅馬數(shù)字進(jìn)行計數(shù)和運算，由于這種計數(shù)法不是十進(jìn)制的，大數(shù)的四則運算非常復(fù)雜，嚴(yán)重阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展和普及。直到12世紀(jì)印度數(shù)字及十進(jìn)制計數(shù)法傳入歐洲，才使得算術(shù)有了較快發(fā)展和普及。數(shù)學(xué)符號的發(fā)展也經(jīng)歷了從各自獨立到逐步規(guī)范、統(tǒng)一和國際化的過程，最明顯的就是早期的數(shù)字符號從各自獨立的埃及數(shù)字、巴比倫數(shù)字、中國數(shù)字、印度數(shù)字和羅馬數(shù)字到統(tǒng)一的阿拉伯?dāng)?shù)字。數(shù)學(xué)符號經(jīng)歷了從發(fā)明到應(yīng)用再到統(tǒng)一的逐步完善的過程，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展;反之，數(shù)學(xué)的發(fā)展也促進(jìn)了符號的發(fā)展。因而，數(shù)學(xué)和符號是相互促進(jìn)發(fā)展的，而且這種發(fā)展可能是一個慢長的過程。因而，符號意識的培養(yǎng)也應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程中，并需要一定的訓(xùn)練才能達(dá)到比較熟練的程度。
小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法：化歸思想
1.化歸思想的概念
人們在面對數(shù)學(xué)問題，如果直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，把這種思想方法稱為化歸(轉(zhuǎn)化)思想。
從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)一個由易到難、從簡到繁的過程;然而，人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過程中，卻經(jīng)常通過把陌生的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識、把繁難的知識轉(zhuǎn)化為簡單的知識，從而逐步學(xué)會解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。因此，化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，具有普遍的意義;同時，化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。
2.化歸所遵循的原則
化歸思想的實質(zhì)就是在已有的簡單的、具體的、基本的知識的基礎(chǔ)上，把未知化為已知、把復(fù)雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決各種問題。因此，應(yīng)用化歸思想時要遵循以下幾個基本原則：
(1)數(shù)學(xué)化原則，即把生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識找到解決問題的方法。數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一就是要利用數(shù)學(xué)知識解決生活中的各種問題，課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)的目標(biāo)之一就是培養(yǎng)實踐能力。因此，數(shù)學(xué)化原則是一般化的普遍的原則之一。
(2)熟悉化原則，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，就是一個不斷面對新知識的過程;解決疑難問題的過程，也是一個面對陌生問題的過程。從某種程度上說，這種轉(zhuǎn)化過程對學(xué)生來說既是一個探索的過程，又是一個創(chuàng)新的過程;與課程標(biāo)準(zhǔn)提倡培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神是一致的。因此，學(xué)會把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，是一個比較重要的原則。
(3)簡單化原則，即把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。對解決問題者而言，復(fù)雜的問題未必都不會解決，但解決的過程可能比較復(fù)雜。因此，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。
(4)直觀化原則，即把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題。數(shù)學(xué)的特點之一便是它具有抽象性。有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要把它轉(zhuǎn)化為具體的問題，或者借助直觀手段，比較容易分析解決。因而，直觀化是中小學(xué)生經(jīng)常應(yīng)用的方法，也是重要的原則之一。
3.化歸思想的具體應(yīng)用
學(xué)生面對的各種數(shù)學(xué)問題，可以簡單地分為兩類：一類是直接應(yīng)用已有知識便可順利解答的問題;另一種是陌生的知識、或者不能直接應(yīng)用已有知識解答的問題，需要綜合地應(yīng)用已有知識或創(chuàng)造性地解決的問題。如知道一個長方形的長和寬，求它的面積，只要知道長方形面積公式的人，都可以計算出來，這是第一類問題;如果不知道平行四邊形的面積公式，通過割補(bǔ)平移變換把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，推導(dǎo)出它的面積公式，再計算面積，這是第二類問題。對于廣大中小學(xué)生來說，他們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中所遇到的很多問題都可以歸為第二類問題，并且要不斷地把第二類問題轉(zhuǎn)化為第一類問題。解決問題的過程，從某種意義上來說就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過程，因此，化歸思想應(yīng)用非常廣泛。
小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法：模型思想
1. 模型思想的概念。
數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、物理、農(nóng)業(yè)、生物、社會學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的各種數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識或是符號思想明顯地區(qū)分開來，本文主要從俠義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。
2. 模型思想的重要意義。
數(shù)學(xué)模型是運用數(shù)學(xué)的語言和工具，對現(xiàn)實世界的一些信息進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?，?jīng)過推理和運算，對相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測、決策和控制，并且要經(jīng)過實踐的檢驗。如果檢驗的結(jié)果是正確的，便可以指導(dǎo)我們的實踐。如上所述，數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今市場經(jīng)濟(jì)和信息化社會已經(jīng)有比較廣泛的應(yīng)用;因而，模型思想在數(shù)學(xué)思想方法中有非常重要的地位，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也應(yīng)該有它的一席之地。
如果說符號化思想更注重數(shù)學(xué)抽象和符號表達(dá)，那么模型思想更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實中的各種問題;當(dāng)然，把現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象的過程?，F(xiàn)行的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對符號化思想有明確的要求，如要求學(xué)生“能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示”這實際上就包含了模型思想。
但是，課程標(biāo)準(zhǔn)對第一、二學(xué)段并沒有明確提出模型思想的要求，只是在第三學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)建議中明確提出了模型思想，要求在教學(xué)中“注重使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型”，教學(xué)過程以“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開。如果說小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者中有人關(guān)注了模型思想，多數(shù)人基本上只是套用第三學(xué)段對模型思想的要求進(jìn)行研究，也很難做到要求的具體化和課堂教學(xué)的貫徹落實。
據(jù)了解，即將頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿與現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。
這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識”。并在教材編寫建議中提出了“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動。這樣的活動應(yīng)體現(xiàn)‘問題情境─建立模型─求解驗證’的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗;要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”。
這是否可以理解為：在小學(xué)階段，從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時明確了建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問題的核心。
3. 模型思想的具體應(yīng)用。
數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程，也是一個應(yīng)用的過程。從這個角度而言，伴隨著數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)模型實際上也隨后產(chǎn)生和發(fā)展了。如自然數(shù)系統(tǒng)1，2，3，…是描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。2000多年前的古人用公式計算土地面積，用方程解決實際問題等，實際上都是用各種數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型來解決問題的。就小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用來說，大多數(shù)是古老的初等數(shù)學(xué)的簡單應(yīng)用，也許在數(shù)學(xué)家的眼里，這根本就不是真正的數(shù)學(xué)模型;不過，小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用雖然簡單，但仍然是現(xiàn)實生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所不可或缺的。
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