北京東城區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試題
北京東城區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試題
為即將到來的九年級(jí)的額數(shù)學(xué)期末考試，教師們要如何準(zhǔn)備好的期末試題呢？下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于北京東城區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試題，希望會(huì)給大家?guī)韼椭?/p>
北京東城區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試題：
一.選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)寫在題后的表格中，不選、錯(cuò)選或多選的，一律得0分.
1.若 = ，則 的值為( )
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)合分比性質(zhì)求解.
【解答】
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】考查了比例性質(zhì)：常見比例的性質(zhì)有內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積;合比性質(zhì);分比性質(zhì);合分比性質(zhì);等比性質(zhì).
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，下列等式中不一定成立的是( )
A.b=atanB B.a=ccosB C. D.a=bcosA
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以解決.
【解答】解：∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，
∴A、tanB= ，則b=atanB，故本選項(xiàng)正確，
B、cosB= ，故本選項(xiàng)正確，
C、sinA= ，故本選項(xiàng)正確，
D、cosA= ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查直角三角形中兩銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，難度適中.
3.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA、OB，∠OBA=50°，則∠C的度數(shù)為( )
A.30° B.40° C.50° D.80°
【考點(diǎn)】圓周角定理.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠AOB的度數(shù)，再進(jìn)一步根據(jù)圓周角定理求解.
【解答】解：∵OA=OB，∠OBA=50°，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，
∴∠C= ∠AOB=40°.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了三角形的內(nèi)角和定理以及圓周角定理.一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.
4.如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是( )
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C. = D. =
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可.
【解答】解：A、當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、當(dāng) = 時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、無法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)正確.
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵.
5.如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為( )
A.5cosα B. C.5sinα D.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
【專題】壓軸題.
【分析】利用所給的角的余弦值求解即可.
【解答】解：∵BC=5米，∠CBA=∠α.
∴AB= = .
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度、坡角的理解及運(yùn)用.
6.某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時(shí)，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算錯(cuò)了其中一個(gè)y值，則這個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)值是( )
A.﹣11 B.﹣2 C.1 D.﹣5
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，可得答案.
【解答】解：由函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，得
(﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，2)在函數(shù)圖象上，
把(﹣1，﹣2)，(0，1)，(1，﹣2)代入函數(shù)解析式，得
，
解得 ，
函數(shù)解析式為y=﹣3x2+1
x=2時(shí)y=﹣11，
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱是解題關(guān)鍵.
7.如圖，已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點(diǎn)有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【考點(diǎn)】垂徑定理;勾股定理.
【分析】根據(jù)垂徑定理計(jì)算.
【解答】解：如圖OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，
∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2cm，
∴點(diǎn)D是圓上到AB距離為2cm的點(diǎn)，
∵OE=3cm>2cm，
∴在OD上截取OH=1cm，
過點(diǎn)H作GF∥AB，交圓于點(diǎn)G，F(xiàn)兩點(diǎn)，
則有HE⊥AB，HE=OE﹣OH=2cm，
即GF到AB的距離為2cm，
∴點(diǎn)G，F(xiàn)也是圓上到AB距離為2cm的點(diǎn).
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了垂徑定理求解，注意圓上的點(diǎn)到AB距離為2cm的點(diǎn)不唯一，有三個(gè).
8.若等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)為( )
A. B.2 ﹣2 C.2﹣ D. ﹣2
【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;等腰三角形的性質(zhì);三角形的外接圓與外心.
【分析】由于直角三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求得兩條直角邊的長(zhǎng);然后根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求出內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng).
【解答】解：∵等腰直角三角形外接圓半徑為2，
∴此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4，兩條直角邊分別為2 ，
∴它的內(nèi)切圓半徑為：R= (2 +2 ﹣4)=2 ﹣2.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓和三角形的內(nèi)切圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，要注意直角三角形內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的區(qū)別：直角三角形的內(nèi)切圓半徑：r= (a+b﹣c);(a、b為直角邊，c為斜邊)直角三角形的外接圓半徑：R= c.
9.如圖，在▱ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，若EF：AF=2：5，則S△DEF：S四邊形EFBC為( )
A.2：5 B.4：25 C.4：31 D.4：35
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可證明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面積之間的關(guān)系，從而可求得△DEF和△BCD的面積之間的關(guān)系，可求得答案.
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ = = ，
∴ =( )2= ， = =
設(shè)S△DEF=S，則S△ABF= S，S△ADF= S，
∴S△ABD=S△ADF+S△ABF= S+ S= S，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴S△ABD=S△DBC= S，
∴S四邊形EFBC=S△BDC﹣S△DEF= S﹣S= S，
∴S△DEF：S四邊形EFBC=4：31.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)條件找到△DEF和△DBC的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
10.如圖，等腰Rt△ABC(∠ACB=90°)的直角邊與正方形DEFG的邊長(zhǎng)均為2，且AC與DE在同一直線上，開始時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，讓△ABC沿這條直線向右平移，直到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合為止.設(shè)CD的長(zhǎng)為x，△ABC與正方形DEFG重合部分(圖中陰影部分)的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.
【專題】幾何圖形問題;壓軸題.
【分析】此題可分為兩段求解，即C從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)和A從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，列出面積隨動(dòng)點(diǎn)變化的函數(shù)關(guān)系式即可.
【解答】解：設(shè)CD的長(zhǎng)為x，△ABC與正方形DEFG重合部分(圖中陰影部分)的面積為y∴
當(dāng)C從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)，即0≤x≤2時(shí)，y= = .
當(dāng)A從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)，即2
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系
由函數(shù)關(guān)系式可看出A中的函數(shù)圖象與所求的分段函數(shù)對(duì)應(yīng).
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的動(dòng)點(diǎn)變化過程中面積的變化關(guān)系，重點(diǎn)是列出函數(shù)關(guān)系式，但需注意自變量的取值范圍.
二.填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)
11.拋物線y=x2﹣4x+m與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，則此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是 (3，0) .
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【專題】方程思想.
【分析】把交點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
【解答】解：把點(diǎn)(1，0)代入拋物線y=x2﹣4x+m中，得m=3，
所以，原方程為y=x2﹣4x+3，
令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，0).
故答案為：(3，0).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)與拋物線解析式的關(guān)系，拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法.本題也可以用根與系數(shù)關(guān)系直接求解.
12.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y= 圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，AC⊥y軸，垂足點(diǎn)分別為B、C，矩形ABOC的面積為4，則k= ﹣4 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】由于點(diǎn)A是反比例函數(shù)y= 上一點(diǎn)，矩形ABOC的面積S=|k|=4，則k的值即可求出.
【解答】解：由題意得：S矩形ABOC=|k|=4，又雙曲線位于第二、四象限，則k=﹣4，
故答案為：﹣4.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)y= 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)常考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).
13.已知△ABC的邊BC=4cm，⊙O是其外接圓，且半徑也為4cm，則∠A的度數(shù)是 30°或150° .
【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心;等邊三角形的判定與性質(zhì);圓周角定理.
【專題】壓軸題.
【分析】利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出∠BOC=60°，再利用圓周角定理得出答案.
【解答】解：如圖：連接BO，CO，
∵△ABC的邊BC=4cm，⊙O是其外接圓，且半徑也為4cm，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°.
若點(diǎn)A在劣弧BC上時(shí)，∠A=150°.
∴∠A=30°或150°.
故答案為：30°或150°.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外接圓與外心以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和圓周角定理等知識(shí)，得出△OBC是等邊三角形是解題關(guān)鍵.
14.如圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，連接AC，BC，作∠APC的平分線交AC于點(diǎn)D.
下列結(jié)論正確的是 ②③④ (寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
?、佟鰿PD∽△DPA;
②若∠A=30°，則PC= BC;
?、廴?ang;CPA=30°，則PB=OB;
?、軣o論點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置如何變化，∠CDP為定值.
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);三角形的角平分線、中線和高;三角形的外角性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何綜合題.
【分析】①只有一組對(duì)應(yīng)邊相等，所以錯(cuò)誤;
?、诟鶕?jù)切線的性質(zhì)可得∠PCB=∠A=30°，在直角三角形ABC中∠ABC=60°得出OB=BC，∠BPC=30°，解直角三角形可得PB= OC= BC;
③根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可求得∠A=∠PCB=30°，∠ABC=60°，進(jìn)而求得PB=BC=OB;
?、苓B接OC，根據(jù)題意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°.
【解答】解：①∵∠CPD=∠DPA，∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA，
∴△CPD∽△DPA錯(cuò)誤;
?、谶B接OC，
∵AB是直徑，∠A=30°
∴∠ABC=60°，
∴OB=OC=BC，
∵PC是切線，
∴∠PCB=∠A=30°，∠OCP=90°，
∴∠APC=30°，
∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°= = ，
∴PC= BC，正確;
?、邸?ang;ABC=∠APC+∠PCB，∠PCB=∠A，
∴∠ABC=∠APC+∠A，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠APC+2∠A=90°，
∵∠APC=30°，
∴∠A=∠PCB=30°，
∴PB=BC，∠ABC=60°，
∴OB=BC=OC，
∴PB=OB;正確;
?、芙猓喝鐖D，連接OC，
∵OC=OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∵∠CPO+∠COP=90°，
∴(∠CPD+∠DPA)+(∠A+∠ACO)=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°;正確;
故答案為：②③④;
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于作好輔助線構(gòu)建直角三角形和等腰三角形.
三.(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
15.計(jì)算：4sin60°+tan45°﹣ .
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】直接把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：原式=4× +1﹣2
=1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.
16.已知二次函數(shù)y=ax2+4x+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3，﹣4).
(1)求a的值;
(2)求此函數(shù)圖象拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)直接寫出函數(shù)y隨自變量增大而減小的x的取值范圍.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】(1)將點(diǎn)A(3，﹣4)代入y=ax2+4x+2，即可求出a的值;
(2)利用配方法將一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出此函數(shù)圖象拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可求解.
【解答】解：(1)∵二次函數(shù)y=ax2+4x+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3，﹣4)，
∴9a+12+2=﹣4，
∴a=﹣2;
(2)∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2(x﹣1)2+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4);
(3)∵y=﹣2x2+4x+2中，a=﹣2<0，
拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=1，
∴當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)y隨自變量增大而減小.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì).二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣ ， )，對(duì)稱軸直線x=﹣ ，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象具有如下性質(zhì)：
?、佼?dāng)a>0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向上，x<﹣ 時(shí)，y隨x的增大而減小;x>﹣ 時(shí)，y隨x的增大而增大;x=﹣ 時(shí)，y取得最小值 ，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn).
?、诋?dāng)a<0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口向下，x<﹣ 時(shí)，y隨x的增大而增大;x>﹣ 時(shí)，y隨x的增大而減小;x=﹣ 時(shí)，y取得最大值 ，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).
四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)
17.如圖，在6×4的正方形方格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的格點(diǎn)上.請(qǐng)按要求畫圖：
(1)以點(diǎn)B為位似中心，在方格內(nèi)將△ABC放大為原來的2倍，得到△EBD，且點(diǎn)D、E都在單位正方形的頂點(diǎn)上.
(2)在方格中作一個(gè)△FGH，使△FGH∽△ABC，且相似比為 ，點(diǎn)F、G、H都在單位正方形的頂點(diǎn)上.
【考點(diǎn)】作圖-位似變換;作圖—相似變換.
【分析】(1)直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案;
(2)直接利用相似三角形的性質(zhì)得出各邊長(zhǎng)度進(jìn)而得出答案.
【解答】解：(1)如圖所示：△EBD即為所求;
(2)如圖所示：△FGH即為所求.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換和相似變換，根據(jù)題意得出對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵.
18.如圖，MN經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D.
(1)求證：△ADE∽△ABC;
(2)連結(jié)DE，如果DE=1，BC=3，求MN的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)MN∥BC，得到 ， ，等量代換得到 ，根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù) ，得到DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 ，于是推出 ，即 ，即可得到結(jié)論.
【解答】(1)證明：∵M(jìn)N∥BC，
∴ ， ，
又∵AM=AN，
∴ ，
∴△ADE∽△ABC;
(2)解：∵ ，
∴DE∥BC，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴AM= BC= ，
∴MN=2AM=3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)
19.如圖，已知點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，AI交BC于D，交外接圓O于E，求證：
(1)IE=EC;
(2)IE2=ED•EA.
【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.
【分析】(1)由內(nèi)心的性質(zhì)可知;∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE，由圓周角定理可知∠BCE=∠BAE，從而得到∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE，從而得到∠EIC=∠ICE，于是得到IE=EC;
(2)先證明DCE∽△CAE，從而可得到CE2=DE•EA，由IE=EC從而得到IE2=DE•EA.
【解答】解：(1)如圖所示;連接IC.
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE.
又∵∠BAE=∠BCE，
∴∠CAE=∠BCE.
∴∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE.
∴∠EIC=∠ICE.
∴IE=EC.
(2)由(1)可知：∠CAE=∠BCE.
又∵∠AEC=∠DEC，
∴△DCE∽△CAE.
∴ .
∴CE2=DE•EA.
∵IE=EC，
∴IE2=DE•EA.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是三角形的內(nèi)切圓、相似三角形的性質(zhì)和判定、圓周角定理，明確三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
20.為了弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”，市政府在廣場(chǎng)樹立公益廣告牌，如圖所示，為固定廣告牌，在兩側(cè)加固鋼纜，已知鋼纜底端D距廣告牌立柱距離CD為3米，從D點(diǎn)測(cè)得廣告牌頂端A點(diǎn)和底端B點(diǎn)的仰角分別是60°和45°.
(1)求公益廣告牌的高度AB;
(2)求加固鋼纜AD和BD的長(zhǎng).(注意：本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào))
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】(1)根據(jù)已知和tan∠ADC= ，求出AC，根據(jù)∠BDC=45°，求出BC，根據(jù)AB=AC﹣BC求出AB;
(2)根據(jù)cos∠ADC= ，求出AD，根據(jù)cos∠BDC= ，求出BD.
【解答】解：(1)在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，CD=3，
∵tan∠ADC= ，
∴AC=3•tan60°=3 ，
在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，
∴BC=CD=3，
∴AB=AC﹣BC=(3 ﹣3)米.
(2)在Rt△ADC中，∵cos∠ADC= ，
∴AD= = =6米，
在Rt△BDC中，∵cos∠BDC= ，
∴BD= = =3 米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的知識(shí)，掌握仰角的概念和銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.
六、(本題滿分12分)
21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=ax+b(a，b為常數(shù)，且a≠0)與反比例函數(shù)y2= (m為常數(shù)，且m≠0)的圖象交于點(diǎn)A(﹣2，1)、B(1，n).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)連結(jié)OA、OB，求△AOB的面積;
(3)直接寫出當(dāng)y1
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
【分析】(1)將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出m的值，即可確定出反比例函數(shù)解析式;將B坐標(biāo)代入反比例解析式中求出n的值，確定出B坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出a與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式;
(2)設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C，求得點(diǎn)C坐標(biāo)，S△AOB=S△AOC+S△COB，計(jì)算即可;
(3)由圖象直接可得自變量x的取值范圍.
【解答】解：(1)∵A(﹣2，1)，
∴將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)2= 中，得m=﹣2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ ;
將B坐標(biāo)代入y=﹣ ，得n=﹣2，
∴B坐標(biāo)(1，﹣2)，
將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，得 ，
解得a=﹣1，b=﹣1，
∴一次函數(shù)解析式為y1=﹣x﹣1;
(2)設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C，
令x=0，得y=﹣1，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)(0，﹣1)，
∴S△AOB=S△AOC+S△COB= ×1×2+ ×1×1= ;
(3)由圖象可得，當(dāng)y11.
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積的求法，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.
七、(本題滿分12分)
22.對(duì)于兩個(gè)相似三角形，如果沿周界按對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個(gè)三角形互為順相似;如果沿周界按對(duì)應(yīng)點(diǎn)順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個(gè)三角形互為逆相似.例如，如圖①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環(huán)繞的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互為順相似;如圖②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環(huán)繞的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互為逆相似.
(1)根據(jù)圖Ⅰ，圖Ⅱ和圖Ⅲ滿足的條件.可得下列三對(duì)相似三角形：①△ADE與△ABC;②△GHO與△KFO;③△NQP與△NMQ;其中，互為順相似的是?、佗凇?互為逆相似的是?、邸?(填寫所有符合要求的序號(hào)).
(2)如圖③，在銳角△ABC中，∠A<∠B<∠C，點(diǎn)P在△ABC的邊AB上(不與點(diǎn)A，B重合).過點(diǎn)P畫直線截△ABC，使截得的一個(gè)三角形與△ABC互為逆相似.請(qǐng)根據(jù)點(diǎn)P的不同位置，探索過點(diǎn)P的截線的情形，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由.
【考點(diǎn)】相似形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)互為順相似和互為逆相似的定義即可作出判斷;
(2)根據(jù)點(diǎn)P在△ABC邊上的位置分為三種情況，需要分類討論，逐一分析求解即可.
【解答】解：(1)互為順相似的是 ①②;互為逆相似的是 ③;
故答案為：①②，③;
(2)根據(jù)點(diǎn)P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況：
第一種情況：如圖①，點(diǎn)P在BC(不含點(diǎn)B、C)上，過點(diǎn)P只能畫出2條截線PQ1、PQ2，分別使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此時(shí)△PQ1C、△PBQ2都與△ABC互為逆相似.
第二種情況：如圖②，點(diǎn)P在AC(不含點(diǎn)A、C)上，過點(diǎn)B作∠CBM=∠A，BM交AC于點(diǎn)M.
當(dāng)點(diǎn)P在AM(不含點(diǎn)M)上時(shí)，過點(diǎn)P1只能畫出1條截線P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此時(shí)△AP1Q與△ABC互為逆相似;
當(dāng)點(diǎn)P在CM上時(shí)，過點(diǎn)P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此時(shí)△AP2Q1、△Q2P2C都與△ABC互為逆相似.
第三種情況：如圖③，點(diǎn)P在AB(不含點(diǎn)A、B)上，過點(diǎn)C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分別交AB于點(diǎn)D、E.
當(dāng)點(diǎn)P在AD(不含點(diǎn)D)上時(shí)，過點(diǎn)P只能畫出1條截線P1Q，使∠AP1Q=∠ACB，此時(shí)△AQP1與△ABC互為逆相似;
當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，過點(diǎn)P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使∠AP2Q1=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此時(shí)△AQ1P2、△Q2BP2
都與△ABC互為逆相似;
當(dāng)點(diǎn)P在BE(不含點(diǎn)E)上時(shí)，過點(diǎn)P3只能畫出1條截線P3Q′，使∠BP3Q′=∠BCA，此時(shí)△Q′BP3與△ABC互為逆相似.
【點(diǎn)評(píng)】本題是創(chuàng)新型2016屆中考?jí)狠S題，主要考查了相似三角形的知識(shí)點(diǎn)、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能力.準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中“順相似”“逆相似”的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要考慮全面，進(jìn)行分類討論，避免漏解.
八、(本題滿分14分)
23.某電子科技公司開發(fā)一種新產(chǎn)品，公司對(duì)經(jīng)營(yíng)的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次.在1～12月份中，公司前x個(gè)月累計(jì)獲得的總利潤(rùn)y(萬元)與銷售時(shí)間x(月)之間滿足二次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=a(x﹣h)2+k，二次函數(shù)y=a(x﹣h)2+k的一部分圖象如圖所示，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，且點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)分別為4、10、12，點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別為﹣16、20.
(1)試確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=a(x﹣h)2+k;
(2)分別求出前9個(gè)月公司累計(jì)獲得的利潤(rùn)以及10月份一個(gè)月內(nèi)所獲得的利潤(rùn);
(3)在前12個(gè)月中，哪個(gè)月該公司一個(gè)月內(nèi)所獲得的利潤(rùn)最多?最多利潤(rùn)是多少萬元?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)題意此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，﹣16)，設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，把(10，20)代入即可求出a的值，把a(bǔ)的值代入拋物線的頂點(diǎn)式中即可確定出拋物線的解析式;
(2)相鄰兩個(gè)月份的總利潤(rùn)的差即為某月利潤(rùn).
(3)根據(jù)前x個(gè)月內(nèi)所獲得的利潤(rùn)減去前x﹣1個(gè)月內(nèi)所獲得的利潤(rùn)，再減去16即可表示出第x個(gè)月內(nèi)所獲得的利潤(rùn)，為關(guān)于x的一次函數(shù)，且為增函數(shù)，得到x取最大為12時(shí)，把x=12代入即可求出最多的利潤(rùn).
【解答】解：(1)根據(jù)題意可設(shè)：y=a(x﹣4)2﹣16，
當(dāng)x=10時(shí)，y=20，
所以a(10﹣4)2﹣16=20，解得a=1，
所求函數(shù)關(guān)系式為：y=(x﹣4)2﹣16.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)當(dāng)x=9時(shí)，y=(9﹣4)2﹣16=9，所以前9個(gè)月公司累計(jì)獲得的利潤(rùn)為9萬元，
又由題意可知，當(dāng)x=10時(shí)，y=20，而20﹣9=11，
所以10月份一個(gè)月內(nèi)所獲得的利潤(rùn)11萬元.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(3)設(shè)在前12個(gè)月中，第n個(gè)月該公司一個(gè)月內(nèi)所獲得的利潤(rùn)為s(萬元)
則有：s=(n﹣4)2﹣16﹣[(n﹣1﹣4)2﹣16]=2n﹣9，
因?yàn)閟是關(guān)于n的一次函數(shù)，且2>0，s隨著n的增大而增大，
而n的最大值為12，所以當(dāng)n=12時(shí)，s=15，
所以第12月份該公司一個(gè)月內(nèi)所獲得的利潤(rùn)最多，最多利潤(rùn)是15萬元.﹣﹣
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問題，是一道綜合題.
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