高一數(shù)學(xué)下學(xué)期末試題帶答案
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高一數(shù)學(xué)下期末試題帶答案
第Ⅰ卷(選擇題)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為
A. 100 B. 150 C. 200 D.250
2.設(shè)集合 ，則
A. B. C. D.
3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 上單調(diào)遞增的是
A. B. C. D.
4.如圖是某體育比賽現(xiàn)場(chǎng)上評(píng)委為某位選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是
A. 5和1.6 B. 8.5和1.6 C. 8.5和0.4 D.5和0.4
5.直線 與圓 相交于AB兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)等于
A. B. C. D.1
6.已知向量 ，且 與 共線，則 的值為
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知直線 ， 是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是
A. 若 ，則 B. 若 ，則
C.若 ，則 D. 若 ，則
8. 右圖是求樣本 平均數(shù) 的程序框圖，圖中空白框應(yīng)填入的內(nèi)容是
A. B. C. D.
9. 光線沿直線 射到直線 上，被 反射后的光線所在直線的方程為
A. B .
C. D.
10.設(shè) ，則 的概率為
A. B. C. D.
11.函數(shù) 的圖象可由 的圖象向右平移
A. 個(gè)單位 B. 個(gè)單位 C. 個(gè)單位 D. 個(gè)單位
12.已知三棱柱 的側(cè)棱與底面垂直，體積為 ，底面是邊長(zhǎng)為 的正方形，若P為底面 的中心，則 與平面 所成角的大小為
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知 為第三象限的角，且 ，則 .
14.設(shè)函數(shù) ，則 .
15.已知平面向量 與 的夾角為 ，若 ，則 .
16. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過(guò)程.
17.(本題滿分10分)已知函數(shù)
(1)求函數(shù) 的定義域;
(2)討論函數(shù) 的奇偶性.
18.(本題滿分12分)
某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位： )隨時(shí)間(單位： )的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：
(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差;
(2)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不低于 ，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫?
19.(本題滿分12分)已知向量
(1)若 ，求證： ;
(2)設(shè) ，若 ，求 的值.
20.(本題滿分12分)
某小組共有A,B,C,D,E五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體重指標(biāo)(單位：千克/米)如下表所示：
(1)從該小組身高低于1.80米的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78米以下的概率;
(2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70米以上且體重指標(biāo)都在 中的概率.
21.(本題滿分12分)右圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面 為正方形， 平面 ， ,且
(1)畫(huà)出該幾何體的三視圖;
(2)求四棱錐 的體積.
22.(本題滿分12分)
已知圓 上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱.
(1)求實(shí)數(shù) 的值;
(2)若直線 與圓C交于A,B兩點(diǎn)， (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求圓C的方程.
參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一.選擇題(每小題5分，共60分)
1-5ACABB 6-10DBABC 11-12DB
二.填空題(每小題5分，共20分)
13 . 2; 14. 1; 15. ; 16. 132 .
三.解答題(17小題10分，其余每小題12分，共70分)
17.(本小題滿分10分)
解：(Ⅰ)
∴定義域是 .--------------------------------------3分
(Ⅱ)∵
∵定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴ 是偶函數(shù) ----------------------10分
18.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)
.
故實(shí)驗(yàn)室上午8時(shí)的溫度為10 . --------------------------------4分
(Ⅱ)因?yàn)?， ---------7分
又 ，所以 ， .
當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， . --------------10分
于是 在 上取得最大值12，取得最小值8.
故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12 ，最低溫度為8 ，最大溫差為4 . ------12分
19. (本小題滿分12分)
(Ⅰ)證明：
20.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)從身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： 共6個(gè).---------- ----------------2分
由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.選到的2個(gè)人身高都在1.78以下的事件有： 共3個(gè).------ ----------------------4分
因此選到的2人身高都在1.78以下的概率為 .------------------------6分
(Ⅱ)從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： 共10個(gè).----8分
由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.選到的2人身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在 中的事件有 共3個(gè).-----------10分
因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在 中的概率為 .--12分
21.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)如圖所示：
---------------------------6分
(Ⅱ)∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD.
∵BC⊥CD，
∴BC⊥平面PDCE. ---------------------------------------------------------------------------9分
∵S梯形PDCE=2(1)(PD+EC)•DC=2(1)×3×2=3，
∴四棱錐B-CEPD的體積VB-CEPD=3(1)S梯形PDCE•BC=3(1)×3×2=2. --------------12分
22.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)圓C的方程為 圓心C(-1，0).
∵圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱，
∴直線 過(guò)圓心C. -------------------------------------3分
∴ 解得 =1. -------------------------------------5分
(Ⅱ)聯(lián)立 消去 ，得
.
設(shè) ，
. ----------------------------------------7分
由 得
. -----------------9分
∴→(OA)•→(OB)= .
∴圓C的方程為 . ------------------------------12分
有關(guān)高一數(shù)學(xué)下期末試題
第I卷 選擇題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求. 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填涂相應(yīng)選項(xiàng).
1. 直線 的傾斜角是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直線 的斜率為： ，
直線傾斜角為 ，則 ,
所以 ，故選C.
2. 設(shè) 且 ，則下列關(guān)系式正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)c=0時(shí)，顯然ac=bc，故A錯(cuò)誤;
當(dāng)a>0>b時(shí), >0>，故C錯(cuò)誤;
當(dāng)0>a>b時(shí), ，故B錯(cuò)誤;
∵y=x3是增函數(shù),且a>b,∴ ，故D正確。
故選D.
3. 若直線 過(guò)圓 的圓心，則實(shí)數(shù) 的值為( )
A. B. 1 C. D. 3
【答案】C
【解析】圓 的圓心為(-1,2).
所以 ，解得 .故選C.
4. 在等差數(shù)列 中， ， ，則 的值是( )
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】A
【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知： .
所以 .故選A.
5. 若實(shí)數(shù) 、 滿足約束條件 則 的最小值是( )
A B. C. D. 3
【答案】B
【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=2x+y得y=−2x+z,
平移直線y=−2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=−2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，
此時(shí)z最小，
由 ,解得 ，
即B(−1,−1)，此時(shí)z=−1×2−1=−3，
故選：B
6. 已知 是兩條不重合的直線, 是不重合的平面, 下面四個(gè)命題中正確的是( )
A. 若 ，則 B. 若 ，則
C. 若 , 則 ∥ D. 若 ,則 ∥
【答案】C
【解析】試題分析：由 ， 是兩條不重合的直線， ， 是不重合的平面，知：在A中：若 ，則 與 相交或平行，故A錯(cuò)誤;在B中：若 ，則 與 相交、平行或 ，故B錯(cuò)誤;在C中：若 ，則由面面平行的判定定理得 ，故C正確;在D中：若 ，則 或 ，故D錯(cuò)誤.故選：C.
考點(diǎn)：直線與平面之間的位置關(guān)系.
7. 若不等式 的解集為 ，則 的值是( )
A. 10 B. -10 C. 14 D. -14...
【答案】D
【解析】不等式 的解集為
即方程 =0的解為x= 或
故
則a=−12，b=−2，a+b=−14.
故選D.
8. 在△ABC中，若 , , , 則B等于( )
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
9. 在正方體 中，M、N分別為棱BC和棱 的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】試題分析：連接 ， ，∴ 為異面直線 和 所成的角，而三角形 為等邊三角形，∴ ，故選C.
考點(diǎn)：異面直線所成的角.
【方法點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題;求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線;連接 ，將 平移到 ，根據(jù)異面直線所成角的定義可知 為異面直線所成的角，而三角形 為等邊三角形，即可求出此角.
10. 一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由三視圖知該幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，
上面是一個(gè)四棱錐，四棱錐的底面是一個(gè)正方形，對(duì)角線長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是2，高是 ;
下面是一個(gè)圓柱，圓柱的底面直徑是2，高是2，
所以該組合體的體積是 .
故選A.
點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng);俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬;側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫(huà)出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.
11. 已知圓 上一點(diǎn) 到直線 的距離為 ，則 的最小值為( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B...
【解析】圓 的圓心為 ，半徑為 .
則圓心到直線的距離為 .
所以 .故選B.
點(diǎn)睛：研究圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的問(wèn)題可轉(zhuǎn)為研究圓心到直線的距離，最大距離為圓心到直線的距離加半徑，最下距離為圓心到直線的距離減半徑.
12. 設(shè) 是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列， 是其公比， 是其前 項(xiàng)的積，且 ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. B.
C. 與 均為 的最大值 D.
【答案】D
【解析】∵ 是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,q是其公比, 是其前n項(xiàng)的積，
由 可得a7=1，故B正確;
由 可得a6>1,∴q= ∈(0,1)，故A正確;
由 是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列且q∈(0,1)可得數(shù)列單調(diào)遞減，
∴ ，故D錯(cuò)誤;
結(jié)合 ，可得C正確。
故選：D.
點(diǎn)睛：本題主要研究的是利用等比數(shù)列的性質(zhì)來(lái)研究等比數(shù)列積的變化情況，首先確定數(shù)列的正負(fù)，由條件知是正項(xiàng)數(shù)列后，那么積的大小關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為項(xiàng)和1的大小關(guān)系.
第Ⅱ卷 非選擇題
二、填空題：本題共4小題，每小題5分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上，答錯(cuò)位置、書(shū)寫(xiě)不清、模棱兩可均不得分.
13. 過(guò)點(diǎn) 且垂直于直線 的直線方程是_____________.
【答案】
【解析】直線 的斜率為，則垂直于直線 的直線的斜率為 .
則過(guò)點(diǎn) 且垂直于直線 的直線方程： .
整理得： .
14. 以 為圓心且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)____________.
【答案】
【解析】設(shè)圓心是C,因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)原點(diǎn),所以半徑r= ，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
故答案為： .
15. 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為_(kāi)________________...
【答案】
【解析】長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，可知長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是球的直徑，
所以球的半徑為： .
則球O的表面積為： .
故答案為：14π.
點(diǎn)睛：若長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為 則其體對(duì)角線長(zhǎng)為 ;長(zhǎng)方體的外接球球心是其體對(duì)角線中點(diǎn).找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過(guò)幾何體各個(gè)面的外心分別做這個(gè)面的垂線,交點(diǎn)即為球心. 三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長(zhǎng)分別為 ，則其外接球半徑公式為: .
16. 若直線 過(guò)點(diǎn) ，則 的最小值為_(kāi)________.
【答案】
【解析】 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào).
點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.
三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知 的三個(gè)頂點(diǎn)是 ， ， .
(1)求 邊上的高所在直線的方程;
(2)求 邊上的中線所在直線的方程.
【答案】(1) ;(2) .
試題解析：
(1) 邊所在直線的斜率
因?yàn)?所在直線的斜率與BC高線的斜率乘積為
所以 高線的斜率為 又因?yàn)锽C高線所在的直線過(guò)
所以 高線所在的直線方程為 ，即
(2)設(shè) 中點(diǎn)為M則中點(diǎn)
所以BC邊上的中線AM所在的直線方程為
18. 如圖，在△ABC中， ， ，AD是BC邊上的高，沿AD把△ABD折起，使 .
(1)證明：平面ADB⊥平面BDC;
(2)若 ，求三棱錐DABC的體積 .
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】試題分析：(1)注意折疊前后的不變量，尤其是沒(méi)有變化的直角，折疊前有AD^BD,AD^CD,折疊后仍然成立，可推得AD^面BCD,進(jìn)一步可得平面ABD^平面BDC;(2)由(1)可知AD為三棱錐的高，底面三角形為直角三角形，根據(jù)體積公式即可求得.
試題解析：(1)∵折起前 是 邊上的高，...
∴當(dāng) 折起后， ， 2分
又 ， ∴ 平面 ， 5分
又∵ 平面 , ∴平面 平面 ; 7分
(2)由(1)知 ，又∵ ，
, 10分
由(1)知, 平面 , 又∵
, 14分
15分
考點(diǎn)：面面垂直的判定，三棱錐的體積.
19. 設(shè) 的內(nèi)角 所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別是 且
(1)當(dāng) 時(shí)，求 的值;
(2)當(dāng) 的面積為3時(shí)，求 的值.
【答案】(1);(2) .
【解析】試題分析：(Ⅰ)因?yàn)?，可得 ，由正弦定理求出a的值.
(Ⅱ)因?yàn)椤鰽BC的面積 ，可得 ，再由余弦定理可得a2+c2=20=(a+c)2-2ac，由此求出a+c的值.
試題解析：
(Ⅰ)∵ ∴
由正弦定理可知： ，∴
(Ⅱ)∵
∴ ∴
由余弦定理得：
∴ ，即
則：
故：
20. 已知關(guān)于 的方程 : ， .
(1)若方程 表示圓，求 的取值范圍;
(2)若圓 與直線： 相交于 兩點(diǎn)，且 ，求 的值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】試題分析：(Ⅰ)關(guān)于x，y的方程x2+y2-2x-4y+m=0可化為(x-1)2+(y-2)2=-m+5，可得-m+5>0，即可求m的取值范圍;
(Ⅱ)求出圓心到直線的距離，利用勾股定理，即可求m的值.
試題解析：
(1)方程 可化為 , ...
顯然 時(shí)方程 表示圓.
(2)圓的方程化為 ,
圓心 ，半徑 ,
則圓心 到直線l: 的距離為
.
∵ ，∴ ，有 ,
∴
得
【答案】生產(chǎn)A種產(chǎn)品2噸，B種產(chǎn)品2噸，該企業(yè)能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn).
【解析】試題分析：根據(jù)已知條件列出約束條件，與目標(biāo)函數(shù)利用線性規(guī)劃求出最大利潤(rùn).
試題解析：
設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x噸、B種產(chǎn)品y噸，能夠產(chǎn)生利潤(rùn)z元，目標(biāo)函數(shù)為
由題意滿足以下條件：
可行域如圖
平移直線 ，由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大.
解方程組 得M的坐標(biāo)為x=2，y=2.
所以zmax=10000x+5000y=30000.
故生產(chǎn)A種產(chǎn)品2噸，B種產(chǎn)品2噸，該企業(yè)能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn).
點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域;二、畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò);三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.
22. 已知等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ， .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列 滿足 ， ，記數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，證明： .
【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析：(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出.
(2)利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出.
試題解析：
(1)設(shè)等差數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公差為 .
∵ ， ，∴
解得 ...
高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題參考
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 的值為( )
A. B. C. D.
2.已知向量 ( ), ( ),則 與 ( )
A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
3.下列各式中，值為 的是( )
A. B. C. D.
4.某賽季，甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員都參加了11場(chǎng)比賽，他們所有比賽得分的情況用如下圖所示的莖葉圖表示，則運(yùn)動(dòng)員甲得分的中位數(shù)，乙得分的平均數(shù)分別為( )
A.19，13 B.13，19 C.19，18 D.18，19
5.從裝有大小材質(zhì)完全相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球的不透明口袋中，隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則兩個(gè)小球同色的概率是( )
A. B. C. D.
6.函數(shù) 在一個(gè)周期內(nèi)的圖像是( )
A. B. C. D.
7.設(shè)單位向量 ， 的夾角為60°，則向量 與向量 的夾角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.如果下面程序框圖運(yùn)行的結(jié)果 ，那么判斷框中應(yīng)填入( )
A. B. C. D.
9.甲、乙兩人各自在400米長(zhǎng)的直線型跑道上跑步，則在任一時(shí)刻兩人在跑道上相距不超過(guò)50米的概率是( )
A. B. C. D.
10.已知函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱，則 可能取值是( )
A. B. C. D.
11.如圖所示，點(diǎn) ， ， 是圓 上的三點(diǎn)，線段 與線段 交于圈內(nèi)一點(diǎn) ，若 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
12.已知平面上的兩個(gè)向量 和 滿足 ， ， ， ，若向量 ，且 ，則 的最大值是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)
13.已知 ， ，則 .
14.已知樣本7，8，9， ， 的平均數(shù)是8，標(biāo)準(zhǔn)差是 ，則 .
15.已知 的三邊長(zhǎng) ， ， ， 為 邊上的任意一點(diǎn)，則 的最小值為 .
16.將函數(shù) 的圖像向左平移 個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到 的圖像，若 ，且 ， ，則 的最大值為 .
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17. 已知向量 ， .
(I)求向量 與向量 夾角的余弦值
(II)若 ，求實(shí)數(shù) 的值.
18.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù) 在某一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
(I)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出函數(shù) 的解析式
(II)將 的圖像上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到 的圖像，求 的圖像離 軸最近的對(duì)稱中心.
19. 某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種商品，在某周內(nèi)獲純利 (元)與該周每天銷(xiāo)售這種商品數(shù) 之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系如表：
(I)畫(huà)出散點(diǎn)圖;
(II)求純利 與每天銷(xiāo)售件數(shù) 之間的回歸直線方程;
(III)估計(jì)當(dāng)每天銷(xiāo)售的件數(shù)為12件時(shí)，每周內(nèi)獲得的純利為多少?
附注：
， ， ， ， ， .
20. 在矩形 中，點(diǎn) 是 邊上的中點(diǎn)，點(diǎn) 在邊 上.
(I)若點(diǎn) 是 上靠近 的四等分點(diǎn)，設(shè) ，求 的值;
(II)若 ， ，當(dāng) 時(shí)，求 的長(zhǎng).
21.某中學(xué)舉行了數(shù)學(xué)測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的成績(jī)(滿分100分)作為樣本，其中成績(jī)不低于80分的學(xué)生被評(píng)為優(yōu)秀生，得到成績(jī)分布的頻率分布直方圖如圖所示.
(I)若該所中學(xué)共有3000名學(xué)生，試?yán)脴颖竟烙?jì)全校這次考試中優(yōu)秀生人數(shù);
(II)若在樣本中，利用分層抽樣的方法從成績(jī)不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再?gòu)闹谐槿?人，試求恰好抽中1名優(yōu)秀生的概率.
22.已知函數(shù) ( )， 的圖象與直線 相交，且兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為 .
(I)求函數(shù) 的解析式;
(II)已知 ，求函數(shù) 的值域;
(III)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間并判斷其單調(diào)性.
試卷答案
一、選擇題
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空題
13. 14.60 15. 16.
三、解答題
17.解：(1) ，設(shè) 與 的夾角為 ，
所以 ，
(2) ，
∴ ，解得
18.解：(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得 ， ， .數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：
0
2 7 2 -3 2
且函數(shù)表達(dá)式為 .
(2)由(1)知 ，
因此 .
因?yàn)?的對(duì)稱中心為 ， ，令 ， ，解得 ， ，
即 圖象的對(duì)稱中心為 ， ，其中離 軸最近的對(duì)稱中心為 .
19.解：(1)
(2)
回歸方程為：
(3)當(dāng) 時(shí)
所以估計(jì)當(dāng)每天銷(xiāo)售的簡(jiǎn)述為12件時(shí)，周內(nèi)獲得的純利潤(rùn)為99.7元.
20.解：(1) ，因?yàn)?是 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) 是 上靠近 的四等分點(diǎn)，所以 ，在矩形 中， ，
所以， ，即 ， ，則 .
(2)設(shè) ，則 ， ，
，
又 ，
所以 ，
解得 ，所以 的長(zhǎng)為1.
21.解：(1)由直方圖可知，樣本中數(shù)據(jù)落在 的頻率為 ，則估計(jì)全校這次考試中優(yōu)秀生人數(shù)為 .
(2)由分層抽樣知識(shí)可知，成績(jī)?cè)?， ， 間分別抽取了3人，2人，1人.
記成績(jī)?cè)?的3人為 ， ， ，成績(jī)?cè)?的2人為 ， ，成績(jī)?cè)?的1人為 ，則從這6人中抽取3人的所有可能結(jié)果有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20種，
其中恰好抽中1名優(yōu)秀生的結(jié)果有 ， ， ， ， ， ， ， 共9種，
所以恰好抽中1名優(yōu)秀生的概率為 .
22.解：(1) 與直線 的圖象的兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為 ，則 ，所以
(2)
的值域是
(3)令 ，則 ，
所以函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為
令 則 ，
所以函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為
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