高二數(shù)學(xué)下冊(cè)雙曲線單元訓(xùn)練題及答案
高二數(shù)學(xué)下冊(cè)雙曲線單元訓(xùn)練題及答案
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高二數(shù)學(xué)下冊(cè)雙曲線單元訓(xùn)練題及答案
一、選擇題(每小題6分，共42分)
1.若方程 =-1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則它的半焦距c的取值范圍是( )
A.(0，1) B.(1，2) C.(1，+∞) D.以上都不對(duì)
答案：C
解析： =1，又焦點(diǎn)在y軸上，則m-1>0且|m|-2>0,故m>2，c= >1.
2.(2010江蘇南京一模，8)若雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率e等于( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：設(shè)雙曲線方程為 =1,則F(c,0)到y(tǒng)= x的距離為 =2a b=2a, e= .
3.(2010湖北重點(diǎn)中學(xué)模擬，11)與雙曲線 =1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)(-3, 4 )的雙曲線方程是( )
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
答案：A
解析：設(shè)雙曲線為 =λ,∴λ= =-1,故選A.
4.設(shè)離心率為e的雙曲線C： =1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F且斜率為k，則直線l與雙曲線C在左、右兩支都相交的充要條件是( )
A.k2-e2>1 B.k2-e2<1
C.e2-k2>1 D.e2-k2<1
答案：C
解析：雙曲線漸近線的斜率為± ，直線l與雙曲線左、右兩支都相交，則-
5.下列圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點(diǎn)，雙曲線均以圖中的F1、F2為焦點(diǎn)，設(shè)圖①②③中的雙曲線的離心率分別為e1、e2、e3,則( )
A.e1>e2>e3 B.e1
C.e1=e3
答案：D
解析：e1= +1,
對(duì)于②，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則|MF2|= ，|MF1|=1，|F1F2|=2 ,
∴e2= ;
對(duì)于③設(shè)|MF1|=1,則|MF2|= ,?|F1F2|=2,
∴e3= +1.
又易知 +1> ,故e1=e3>e2.
6.(2010湖北重點(diǎn)中學(xué)模擬,11)已知橢圓E的離心率為e,兩焦點(diǎn)為F1、F2，拋物線C以F1為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若 =e,則e的值為( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：設(shè)P(x0,y0),則ex0+a=e(x0+3c) e= .
7.(2010江蘇南通九校模擬，10)已知雙曲線 =1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為 (O為原點(diǎn))，則兩條漸近線的夾角為( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：D
解析：A( ),S△OAF= • •c= a=b,故兩條漸近線為y=±x,夾角為90°.
二、填空題(每小題5分，共15分)
8.已知橢圓 =1與雙曲線 =1(m>0,n>0)具有相同的焦點(diǎn)F1、F2，設(shè)兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為Q，∠QF1F2=90°，則雙曲線的離心率為______________.
答案：
解析：∵a2=25,b2=16,∴c= =3.
又|QF1|+|QF2|=2a=10,|QF2|-|QF1|=2m,
∴|QF2|=5+m,|QF1|=5-m.
又|QF2|2=|QF1|2+|F1F2|2，
即(5+m)2=(5-m)2+62 m= ,
∴e= = .
9.(2010湖北黃岡一模，15)若雙曲線 =1的一條準(zhǔn)線恰為圓x2+y2+2x=0的一條切線，則k等于_________________.
答案：48
解析：因圓方程為(x+1)2+y2=1,故- =-2,即 =2,k=48.
10.雙曲線 -y2=1(n>1)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，P在雙曲線上，且滿足|PF1|+|PF2|=2 ,則△PF1F2的面積為_______________.
答案：1
解析：不妨設(shè)|PF1|>|PF2|,則|PF1|-|PF2|=2 ，故|PF1|= ,|PF2|= ,又|F1F2|2=4(n+1)=|PF1|2+|PF2|2，∴△PF1F2為Rt△.故 = |PF1|•|PF2|=1.
三、解答題(11—13題每小題10分，14題13分，共43分)
11.若雙曲線 =1(a>0,b>0)的右支上存在與右焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線距離相等的點(diǎn)，求離心率e的取值范圍.
解析：如右圖，設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)在雙曲線右支上，依題意，點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離等于它到左準(zhǔn)線的距離|MN|，即
|MF2|=|MN|.
∵ =e,∴ =e, =e.
∴x0= .
∵x0≥a,∴ ≥a.
∵ ≥1,e>1,∴e2-e>0.
∴1+e≥e2-e.∴1- ≤e≤1+ .
但e>1,∴1
12.已知△P1OP2的面積為 ，P為線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點(diǎn)P而離心率為 的雙曲線方程.
解析：以O(shè)為原點(diǎn),∠P1OP2的角平分線為x軸建立如右圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)雙曲線方程為 =1(a>0,b>0),由e2= =1+( )2=( )2得 .
∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y= x和y=- x，設(shè)點(diǎn)P1(x1, x1)，點(diǎn)P2(x2,- x2)(x1>0,x2>0),則點(diǎn)P分 所成的比λ= =2.得P點(diǎn)坐標(biāo)為( ),即( ),又點(diǎn)P在雙曲線 =1上.
所以 =1,
即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2.
8x1x2=9a2. ①
又|OP1|= x1,
|OP2|= x2,
sinP1OP2= ，
∴ = |OP1|•|OP2|•sinP1OP2= • x1x2• = ，
即x1x2= . ②
由①②得a2=4,∴b2=9,
故雙曲線方程為 =1.
13.(2010江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬，23)已知傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)A(1，-2)和點(diǎn)B，其中B在第一象限，且?|AB|=3 .
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若直線l與雙曲線C: -y2=1(a>0)相交于不同的兩點(diǎn)E、F，且線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4，1)，求實(shí)數(shù)a的值.
解：(1)直線AB方程為y=x-3,設(shè)點(diǎn)B(x,y)，
由 及x>0,y>0,得x=4,y=1,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，1).
(2)由 得
( -1)x2+6x-10=0.
設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),則x1+x2= =4,得a=2,此時(shí)，Δ>0,∴a=2.
14.如右圖，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線x2-y2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是( ,- ),點(diǎn)B在雙曲線上，且 • =0.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求證：∠F1BA=∠F2BA.
(1)解析：依題意知F1(-2,0),F2(2,0),?A( ,- ).
設(shè)B(x0,y0),則 =( ,- ),? =(x0- ,y0+ ),
∵ • =0，
∴ (x0- )- (y0+ )=0,
即3x0-y0=2 .
又∵x02-y02=1,
∴x02-(3x0-2 )2=1,
(2 x0-3)2=0.
∴x0= ,代入3x0-y0=2 ,得y0= .
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為( , ).
(2)證明： =(- ,- ),?BF2=( ,- ), =(- ,- ),
cosF1BA= ,
cosF2BA= ,
∴∠F1BA=∠F2BA.
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