八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案（新人教版）
八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案（新人教版）
數(shù)學(xué)試卷點(diǎn)評課實(shí)質(zhì)是復(fù)習(xí)課的繼續(xù),是對學(xué)生掌握、運(yùn)用知識查漏補(bǔ)缺、提升能力的過程。那么八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案（新人教版）該怎么寫呢?下面是小編為大家整理的八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案（新人教版），希望對大家有幫助。
八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案（新人教版）篇一
一、選擇題(本大題共6小題，每小題2分，共12分)
1.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱的圖形是( )
A.
等邊三角形 B.
正方形 C.
圓 D. 平行四邊形
【考點(diǎn)】中心對稱圖形;軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解.
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱的圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是中心對稱圖形，也是軸對稱的圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、是中心對稱圖形，也是軸對稱的圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、是中心對稱圖形但不是軸對稱的圖形，故本選項(xiàng)正確.
故選D.
2.下面有四種說法：
?、倭私饽骋惶斐鋈肽暇┦械娜丝诹髁窟m合用普查方式;
?、趻仈S一個(gè)正方體骰子，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是
?、?ldquo;打開電視機(jī)，正在播放關(guān)于籃球巨星科比退役的相關(guān)新聞”是隨機(jī)事件.
?、苋绻患掳l(fā)生的概率只有十萬分之一，那么它仍是可能發(fā)生的事件.
其中正確說法是( )
A.①②④ B.①②④ C.②③④ D.②④
【考點(diǎn)】概率的意義;全面調(diào)查與抽樣調(diào)查;隨機(jī)事件.
【分析】根據(jù)調(diào)查方式的選擇、必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念分別進(jìn)行解答即可.
【解答】解：①了解某一天出入南京市的人口流量適合用抽樣調(diào)查的方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
②拋擲一個(gè)正方體骰子，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是 ，正確;
③“打開電視機(jī)，正在播放關(guān)于籃球巨星科比退役的相關(guān)新聞”是隨機(jī)事件，正確;
?、苋绻患掳l(fā)生的概率只有十萬分之一，那么它仍是可能發(fā)生的事件，正確;
故選C.
3.下列各式從左到右的變形正確的是( )
A. =1 B. =
C. =x+y D. =
【考點(diǎn)】分式的基本性質(zhì).
【分析】原式變形變形得到結(jié)果，即可作出判斷.
【解答】解：A、原式= =1，正確;
B、原式= ，錯(cuò)誤;
C、原式為最簡結(jié)果，錯(cuò)誤;
D、原式= ，錯(cuò)誤，
故選A
4.下列命題中，假命題是( )
A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
B.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形
C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
【考點(diǎn)】命題與定理;平行四邊形的判定;菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定.
【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形和正方形的對角線矩形判斷即可.
【解答】解：對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以A為假命題;
對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，所以B為真命題;
對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，所以C為真命題;
對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，所以D為真命題.
故選A.
5.在大量重復(fù)試驗(yàn)中，關(guān)于隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概率，下列說法正確的是( )
A.頻率就是概率
B.頻率與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)
C.概率是隨機(jī)的，與頻率無關(guān)
D.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來越接近概率
【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率;隨機(jī)事件.
【分析】根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近，可以用這個(gè)常數(shù)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率解答即可.
【解答】解：∵大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近，可以用這個(gè)常數(shù)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率，
∴D選項(xiàng)說法正確.
故選：D.
6.四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件：①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD，從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有( )
A.6種 B.5種 C.4種 D.3種
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定.
【分析】根據(jù)題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進(jìn)行分析即可.
【解答】解：①②組合可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;
?、邰芙M合可根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;
①③可證明△ADO≌△CBO，進(jìn)而得到AD=CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;
?、佗芸勺C明△ADO≌△CBO，進(jìn)而得到AD=CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;
∴有4種可能使四邊形ABCD為平行四邊形.
故選：C.
二、填空題(共共10小題，每小題2分，共20分)
7.若分式 有意義，則x的取值范圍是 x≠﹣1 ;當(dāng)x= ﹣1 時(shí)，分式 的值為0.
【考點(diǎn)】分式的值為零的條件;分式有意義的條件.
【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得1+x≠0，再解即可;根據(jù)分式值為零的條件可得x2﹣1=0，且x﹣1≠0，再解即可.
【解答】解：由題意得：1+x≠0，
解得：x≠﹣1;
由題意得：x2﹣1=0，且x﹣1≠0，
解得：x=﹣1，
故答案為：x≠﹣1;﹣1.
8.已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠C= 80 °.
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)∠A+∠B=180°，∠A=∠B﹣20°，解方程組即可解決問題.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠A=∠B﹣20°，
∴∠A=80°，∠B=100°，
∴∠C=∠A=80°.
故答案為80°.
9.在一個(gè)不透明的口袋里裝了2個(gè)紅球和1個(gè)白球，每個(gè)球除了顏色外都相同，將球搖勻，據(jù)此，請你寫出一個(gè)發(fā)生的可能性小于 的隨機(jī)事件： 求摸到白球的概率 .
【考點(diǎn)】可能性的大小;隨機(jī)事件.
【分析】發(fā)生的可能性小于 的隨機(jī)事件就是摸出的球的個(gè)數(shù)占總數(shù)的一半以下，據(jù)此求解.
【解答】解：一個(gè)不透明的口袋里裝了2個(gè)紅球和1個(gè)白球，摸到白球的概率為： = < ，
故答案為：求摸到白球的概率.
10.一個(gè)樣本的50個(gè)數(shù)據(jù)分別落在5個(gè)組內(nèi)，第1、2、3、4組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分別是2、8、15、5，則第5組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為 20 ，頻率為 0.4 .
【考點(diǎn)】頻數(shù)與頻率.
【分析】總數(shù)減去其它四組的數(shù)據(jù)就是第5組的頻數(shù)，用頻數(shù)除以數(shù)據(jù)總數(shù)就是頻率.
【解答】解：根據(jù)題意可得：第1、2、3、4組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分別是2、8、15、5，共(2+8+15+5)=30，
樣本總數(shù)為50，
故第5小組的頻數(shù)是50﹣30=20，
頻率是 =0.4.
故答案為20，0.4.
11.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知∠AOB=60°，AC=8，則BC的長為 4 .
【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì).
【分析】由矩形的性質(zhì)可得到OA=OB，于是可證明△ABO為等邊三角形，于是可求得AB=4，然后依據(jù)勾股定理可求得BC的長.
【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴OA=OB= AC=4.
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB為等邊三角形.
∴AB=4.
在Rt△ABC中，BC= =4 .
故答案為：4 .
12.如圖，將▱ABCD折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處(點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上)，折痕為MN，若∠AMF=50°，則∠A= 65 °.
【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).
【分析】由平行四邊形與折疊的性質(zhì)，易得CD∥MN∥AB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求得∠DMN=∠FMN=∠A，又由平角的定義，根據(jù)∠AMF=50°，求得∠DMF的度數(shù)，然后可求得∠A的度數(shù).
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，
∴AB∥CD∥MN，
∴∠DMN=∠FMN=∠A，
∵∠AMF=50°，
∴∠DMF=180°﹣∠AMF=130°，
∴∠FMN=∠DMN=∠A=65°，
故答案為：65.
13.如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，PO=3，則菱形ABCD的周長是 24 .
【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB=2OP，進(jìn)而得到AB長，然后可算出菱形ABCD的周長.
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，
∴AB=2OP，
∵PO=3，
∴AB=6，
∴菱形ABCD的周長是：4×6=24，
故答案為：24
14.用平行四邊形的定義和課本上的三個(gè)定理可以判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形，請?zhí)剿鞑懗鲆粋€(gè)與它們不同的平行四邊形的判定方法： 答案不唯一，如兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形等 .
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定.
【分析】根據(jù)平行四邊形的定義以及判定方法得出即可.
【解答】解：答案不唯一，如兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形等;
理由：∵∠B=∠D，∠A=∠C，∠B+∠C+∠D+∠A=360°，
∴∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊行ABCD是平行四邊形.
故答案為：答案不唯一，如兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形等.
15.若順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形，則原四邊形必須滿足的條件是 對角線互相垂直 .
【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形;矩形的判定.
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理求解;首先根據(jù)三角形中位線定理知：所得四邊形的對邊都平行且相等，那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，那么鄰邊互相垂直，故原四邊形的對角線必互相垂直.
【解答】解：由于E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，
根據(jù)三角形中位線定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵四邊形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故答案為：對角線互相垂直.
16.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)依次為(﹣1，0)，(m，n)，(﹣1，10)，(﹣7，p)，且p≤n.若以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則n的值是 2，5，18 .
【考點(diǎn)】菱形的判定;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】利用菱形的性質(zhì)結(jié)合A，C點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出符合題意的n的值.
【解答】解：如圖所示：當(dāng)C(﹣7，2)，C′(﹣7，5)時(shí)，都可以得到以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
同理可得：當(dāng)D(﹣7，8)則對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為;(﹣7，18)可以得到以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
故n的值為：2，5，18.
故答案為：2，5，18.
八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案（新人教版）篇二
三、解答題(本大題共10小題，共68分)
17.計(jì)算：
(1) •
(2) ﹣ ﹣3.
【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算.
【分析】(1)先約分，再計(jì)算即可;
(2)化為同分母的分式，再進(jìn)行相加即可.
【解答】解：(1)原式=﹣ ;
(2)原式= ﹣ ﹣
=
=
=﹣2.
18.先化簡，再求值： ÷( ﹣1)，然后從2，1，﹣1，﹣2中選一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為a的值代入求值.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值.
【分析】先算括號里面的，再算除法，最后選出合適的a的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：原式= ÷
= •
=﹣ ，
當(dāng)a=﹣2時(shí)，原式=﹣ =1.
19.矩形定義，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.
已知：如圖，▱ABCD中，且AC=DB.
求證：▱ABCD是矩形.
【考點(diǎn)】矩形的判定;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠ABC=∠DCB=90°，再利用矩形的判定方法得出答案.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，AB∥DC，
在△ABC和△DCB中
，
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠ABC=∠DCB，
∵AB∥DC，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴▱ABCD是矩形.
20.如圖，線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到線段A1B1(點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A1).
(1)請用直尺和圓規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心O(不寫作法，保留作圖痕跡);
(2)連接OA、OA1、OB、OB1，并根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)用符號語言寫出2條不同類型的正確結(jié)論.
【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換.
【分析】(1)連接八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案（新人教版）1、BB1，再分別作八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案（新人教版）1、BB1中垂線，兩中垂線交點(diǎn)即為點(diǎn)O;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，據(jù)此可知.
【解答】解：(1)如圖，點(diǎn)O即為所求;
(2)OA=OA1、∠AOA1=∠BOB1.
21.在▱ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，CE與BF相交于點(diǎn)H.
(1)求證：四邊形EHFG是平行四邊形;
(2)若四邊形EHFG是矩形，則▱ABCD應(yīng)滿足什么條件?(不需要證明)
【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì);矩形的判定.
R>【分析】(1)通過證明兩組對邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形;
(2)當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時(shí)，先證明四邊形ADFE是正方形，得出有一個(gè)內(nèi)角等于90°，從而證明菱形EHFG為一個(gè)矩形.
【解答】解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥CF，AB=CD，
∵E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，
∴AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF∥CE.
同理可得DE∥BF，
∴四邊形FGEH是平行四邊形;
(2)當(dāng)平行四邊形ABCD是矩形，并且AB=2AD時(shí)，平行四邊形EHFG是矩形.
∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，且AB=CD，
∴AE=DF，且AE∥DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
∴AD=EF，
又∵AB=2AD，E為AB中點(diǎn)，則AB=2AE，
于是有AE=AD= AB，
這時(shí)，EF=AE=AD=DF= AB，∠EAD=∠FDA=90°，
∴四邊形ADFE是正方形，
∴EG=FG= AF，AF⊥DE，∠EGF=90°，
∴此時(shí)，平行四邊形EHFG是矩形.
22.某校有1000名學(xué)生.為了解全校學(xué)生的上學(xué)方式，該校數(shù)學(xué)興趣小組在全校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生 進(jìn)行抽樣調(diào)查.整理樣本數(shù)據(jù)，得到下列圖表(頻數(shù)分布表中部分劃記被污染漬蓋住)：
(1)本次調(diào)查的個(gè)體是 每名學(xué)生的上學(xué)方式 ;
(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中，乘私家車部分對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)請估計(jì)該校1000名學(xué)生中，選擇騎車和步行上學(xué)的一共有多少人?
【考點(diǎn)】頻數(shù)(率)分布表;用樣本估計(jì)總體;扇形統(tǒng)計(jì)圖.
【分析】(1)每一個(gè)調(diào)查對象稱為個(gè)體，據(jù)此求解;
(2)首先求得私家車部分所占的百分比，然后乘以周角即可求得圓心角的度數(shù);
(3)用學(xué)生總數(shù)乘以騎車和步行上學(xué)所占的百分比的和即可求得人數(shù).
【解答】解：(1)本次調(diào)查的個(gè)體是每名學(xué)生的上學(xué)方式;
(2)(1﹣15%﹣29%﹣30%﹣6%)×360°=72°;
答：乘私家車部分對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為72°;
(3)1000×(15%+29%)=440人.
答：估計(jì)該校1000名學(xué)生中，選擇騎車和步行上學(xué)的一共有440人.
23.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F.
求證：(1)∠1=∠2.
(2)四邊形AFCE是菱形.
【考點(diǎn)】菱形的判定;線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】(1)由平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明;
(2)由于知道了EF垂直平分AC，因此只要證出四邊形AFCE是平行四邊形即可得出AFCE是菱形的結(jié)論.
【解答】證明：(1)∵AD∥BC，
∴∠1=∠2;
(2)∵EF是對角線AC的垂直平分線，
∴AO=CO，AC⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO(八年級下冊數(shù)學(xué)期中測試卷及答案（新人教版）S)，
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形.
24.如圖①，已知△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG.
(1)試猜想線段BG和AE的關(guān)系為;
(2)如圖②，將正方形DEFG繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤90°)，判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立，證明你的結(jié)論.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論;
(2)如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論.
【解答】解：(1)BG=AE.
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE=DG.
在△BDG和△ADE中，
，
∴△ADE≌△BDG(SAS)，
∴BG=AE;
(2)成立BG=AE.
理由：如圖②，連接AD，
∵在Rt△BAC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°.
∵四邊形EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE.
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE(SAS)，
∴BG=AE.
25.浴缸有兩個(gè)水龍頭，一個(gè)放熱水，一個(gè)放冷水，兩水龍頭放水速度：放熱水的是a升/分，放冷水的速度是b升/分，下面有兩種放水方式：
方式一：先開熱水，使熱水注滿浴缸的一半，后一半容積的水接著開冷水龍頭注放.
方式二：前一半時(shí)間讓熱水龍頭注放，后一半時(shí)間讓冷水龍頭注放.
(1)在方式一中：設(shè)浴缸容積為V升，則先開熱水，熱水注滿浴缸一半所需的時(shí)間為 分;
(2)兩種方式中，哪種方式更節(jié)省時(shí)間?請說明理由.
【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算.
【分析】(1)根據(jù)題意即可得到結(jié)論;
(2)首先浴缸容積為V，然后求出方式一和方式二注滿時(shí)間為t、t′，最后作差比較.
【解答】解：(1)先開熱水注滿浴缸一半所需的時(shí)間為 分;
故答案為： ;
(2)方式一：設(shè)浴缸容積為V，注滿時(shí)間為t，依題意，得t= + ，
方式二：同樣設(shè)浴缸容積為V，注滿總時(shí)間為t′，依題意得 t′a+ t′b=V
所以t′= ，故t﹣t′= + ﹣ = = ，
分類討論：
(Ⅰ)當(dāng)a=b時(shí)，t﹣t′=0，即t=t′
(Ⅱ)當(dāng)a≠b時(shí)， >0，即t>t′
綜上所述：(1)當(dāng)放熱水速度與放冷水速度不相等時(shí)，選擇方式二節(jié)約時(shí)間.
(2)當(dāng)兩水龍頭放水速度相等時(shí)，選其中任一方式都可以，因?yàn)榇藭r(shí)注滿水的時(shí)間相等.
26.在正方形ABCD中，M、N是對角線AC上的兩點(diǎn).
(1)如圖①，AM=CN，連接DM并延長，交AB于點(diǎn)F，連接BN并延長，交DC于點(diǎn)E，連接BM、DN.
求證：①四邊形MBND為菱形
?、凇鱉FB≌△NED.
(2)如圖②，AM≠CN，連接BM并延長交AD于點(diǎn)G，連接DH并延長交BC于點(diǎn)N.連接DM、BN，若∠AMB=105°，∠DNC=115°，則∠GMD﹢∠HNB的度數(shù)是 80 °.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1))①如圖①中，連接BD交AC于O，先證明四邊形BMDN是平行四邊形，再根據(jù)NM⊥BD即可證明.
②先證明四邊形BFDE是平行四邊形，得到∠BFM=∠DEN，再證明BM=DN，∠BMF=∠DNE即可解決問題.
(2)分別求出∠GMD、∠HNB即可解決問題.
【解答】(1)①證明：如圖①中，連接BD交AC于O.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AM=CN，
∴OM=ON，∵OB=OD，
∴四邊形MBND是平行四邊形，
∵M(jìn)N⊥DB，
∴四邊形MBND是菱形.
?、谧C明：∵四邊形MBND是菱形，
∴DM∥NB，BM=DN，∠DMB=∠DNB，
∴∠BMF=∠DNE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴∠BFM=∠DEN，
在△MFB和△NED中，
，
∴△MFB≌△NED.
(2)如圖②中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCN=∠DCN，BC=CD，
在△NCB和△NCD中，
，
∴△NCB≌△NCD，
∴∠BNC=∠DNC=115°，同理可證∠AMD=∠AMB=105°，
∵∠CNH=180°﹣∠DNC=65°，
∴∠BNH=∠BNC﹣∠CNH=50°，
∴∠DMG=105°﹣75°=30°，
∴∠GMD﹢∠HNB=30°+50°=80°.
故答案為80.
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