數(shù)學應用數(shù)學本科生畢業(yè)論文(2)
數(shù)學應用數(shù)學本科生畢業(yè)論文
數(shù)學應用數(shù)學本科生畢業(yè)論文篇2
淺談高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用
摘要：初等數(shù)學是學習高等數(shù)學基礎，高等數(shù)學是初等數(shù)學的繼續(xù)和提高，它不但解釋了許多初等數(shù)學未能說清楚的問題，并使許多初等數(shù)學束手無策的問題，至此迎刃而解了。本文從三個方面探討高等數(shù)學在初等數(shù)學中的作用。高等數(shù)學是在初等數(shù)學的基礎上發(fā)展起來的，與初等數(shù)學有著緊密的聯(lián)系。站在高等數(shù)學的角度來看中學數(shù)學的某些問題又會更深刻、更全面。運用高等數(shù)學的知識可以解決一些用初等方法難以解決的初等數(shù)學問題，以便使學生了解到高等數(shù)學對于初等數(shù)學的指導作用。
關鍵詞：初等數(shù)學;高等數(shù)學;聯(lián)系;應用
數(shù)學是一門科學性、概括性、邏輯性很強的學科。它源自于古希臘，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性。
問題的提出
許多學生經(jīng)常提出這樣的問題：我們?yōu)槭裁匆獙W這么多高等數(shù)學?這些問題長期以來困擾著我們。本文通過討論初等與高等數(shù)學的聯(lián)系，使他們真正覺得高等數(shù)學對初等數(shù)學教學有向?qū)砸饬x，幫助他們用高等數(shù)學知識去分析和理解初等數(shù)學教材，從而站得更高，對中學數(shù)學的來龍去脈看得更清楚。
一、初等數(shù)學
初等數(shù)學時期從公元前五世紀到公元十七世紀，延續(xù)了兩千多年、由于高等數(shù)學的建立而結(jié)束。這個時期最明顯的結(jié)果就是系統(tǒng)地創(chuàng)立了初等數(shù)學，也就是現(xiàn)在中小學課程中的算術、初等代數(shù)、初等幾何(平面幾何和立體幾何)和平面三角等內(nèi)容。
二、高等數(shù)學
內(nèi)容包括函數(shù)與極限、一元函數(shù)微積分、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分、級數(shù)、常微分方程等。其中極限論是基礎：微分、積分是是核心，是從連續(xù)的側(cè)面揭示和研究函數(shù)變化的規(guī)律性，微分是從微觀上揭示函數(shù)的局部性質(zhì)，積分是從宏觀上揭示函數(shù)的整體性質(zhì)：級數(shù)理論是研究解析函數(shù)的主要手段：解析幾何為微積分的研究提供了解析工具，為揭示函數(shù)的性質(zhì)提供了直觀模型：微分方程又從方程的角度把函數(shù)、微分、積分猶記得聯(lián)系起來，揭示了它們之間內(nèi)在的依賴轉(zhuǎn)化關系。
三、高等數(shù)學與初等數(shù)學的聯(lián)系
高等數(shù)學分支之一數(shù)學分析的形成和發(fā)展體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)展的每個新時期，思想方法上發(fā)生了根本性變化。它的形成是深深扎根于初等數(shù)學基礎之上，它的一些基本概念如導數(shù)、積分、無窮級數(shù)的收斂等，都是在初等數(shù)學有關問題的基礎上發(fā)展起來的。如導數(shù)是在運用代數(shù)運算求直線斜率這一問題的基礎上，發(fā)展成為運用極限方法求曲線上的點的斜率而形成的。可以這樣講，數(shù)學分析的形成是初等數(shù)學發(fā)展到一定階段的必然結(jié)果。
中學數(shù)學思想和方法主要體現(xiàn)為以下幾個方面，第一是指具體解題方法和解題模式，如代數(shù)中的加減消元法、錯位相減法、判別式法、公式法、數(shù)學歸納法、韋達法等等：幾何中的對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似等等。第二是指數(shù)學觀念，即人們對數(shù)學的基本看法概括認識，如推理意識、整體意識、抽象意識、化歸意識、數(shù)學美的意識等等。第三是指“通用法”。數(shù)形結(jié)合法、待定系數(shù)法、換元法、分離系數(shù)法、消元法等等?，F(xiàn)代中學數(shù)學和高等數(shù)學教學的一個顯著特征就是注重知識形成過程的教學形成和發(fā)展學生的教學思想和方法，會用數(shù)學思想和方法來解決問題。
綜上所述可知，高等代數(shù)在知識上的確是中學數(shù)學的繼續(xù)和提高。它還引入了數(shù)域、數(shù)環(huán)、向量空間等代數(shù)系統(tǒng)。這對用現(xiàn)代數(shù)學的觀點、原理和方法指導中學數(shù)學教學足十分有用的。
四、高等數(shù)學在初等數(shù)學題中的應用
1.不等式證明
(1)概率論的應用
例1.若0
證明：令A，B是兩個相互獨立的事件，且使PA=a，PB=b
由PA∪B=PA+PB-PAB
=PA+PB-PAPB
=a+b-ab
由概率的性質(zhì)知，0≤PA∪B≤1，從而0≤a+b-ab≤1。
(2)微積分方法的應用
例2.證明：若函數(shù)f(x)在0，1單調(diào)減少，則∫10f(x)dx-1n∑nk=1f(kn)≤f(0)-f(1)n
證明：已知f(x)在0，1單調(diào)減少，則f(x)在0，1可積.將0，1n等分，分點是：0，1n，2n，...，n-1n，1.有
∫10f(x)dx-1n∑nk=1f(kn)=∑nk=1∫knk-1nf(x)dx-∑nk=1∫knk-1nf(kn)dx
=∑nk=1∫knk-1n[f(x)-f(kn)]dx
≤∑nk=1∫knk-1n[f(k-1n)-f(kn)]dx
=1n∑nk=1[f(k-1n)-f(kn)]
=1n[f(0)-f(1n)+f(1n)]-f(2n)+...+f(n-1n)-f(1)
=f(0)-f(1)n
這是03年北京高考理科數(shù)學最后一道大題(第20題)，是有關抽象函數(shù)不等式的證明題，認真分析研究該題中的(2)，發(fā)現(xiàn)這是一道具有高等數(shù)學知識背景的試題，可以將這個問題推廣：
推廣函數(shù)fx定義在a，b上。fa=fb，且對任意的x1，x2∈a，b，都有fx1-fx2≤x1-x2，則必有fx1-fx2≤b-a2
證明：(i)當x1-x2≤b-a2時，由fx1-fx2≤x1-x2≤b-a2知，結(jié)論成立。
(ii)當x1-x2>b-a2時，不妨設x1
fx1-fx2=fx1-fa+fb-fx2
≤fx1-fa+fb-fx2
≤x1-a+b-x2
=x1-a+b-x2 =b-a+x1-x2
=b-a2.
綜合可知，總有fx1-fx2≤b-a2。
2.矩陣的應用(向量組的線性相關性)
要在問題中用上矩陣也必須構(gòu)造出與問題有某種關系的矩陣，然后才能使用矩陣的性質(zhì)和定理。
例2.設α=(9，12，15)，β1=(1，2，3)，β2=(4，5，6)，試問α是否可由β1，β2線性表示?
解：假定有α=k1β1+k2β2，即有
(9，12，15)=k1(1，2，3)+k2(4，5，6)=(k1+4k2，2k1+5k2，3k1+6k2)，則k1，k2適合線性方程組
k1+4k2=9
2k1+5k2=12
3k1+6k2=15
容易解得k1=1，k2=2，從而α=β1+2β2，即α可由β1，β2線性表示.
在此例中引入矩陣作為工具使用了矩陣的性質(zhì)，得以求出通項。而用初等數(shù)學的方法解的話，則要經(jīng)過復雜的迭代才能解出此題，不如用矩陣的知識解題一目了然。
結(jié)論
本文通過分析初等數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系、融合總結(jié)了高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用并發(fā)揮高等數(shù)學在中學數(shù)學教學的指導作用，幫助加強對初等數(shù)學的認識，幫助他們正確運用所學的理論和方法，使他們更好地從整體上更科學更系統(tǒng)地認識初等數(shù)學的結(jié)構(gòu)。在高等數(shù)學教育中如果有意識地培養(yǎng)學生運用高等數(shù)學方法分析研究初等數(shù)學中的問題，可以調(diào)動學生學習的積極性，可以開闊學生視野，提高解決問題能力。
指導教師：尹哲
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