如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)新能力
時(shí)間：
高廈1由 分享
數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)的一般能力，包括對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的質(zhì)疑能力、建立數(shù)學(xué)模型的能力（即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力）、對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題猜測(cè)的能力等，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)特別重視對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，使每一個(gè)學(xué)生都養(yǎng)成獨(dú)立分析問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題和延伸問(wèn)題的習(xí)慣。讓所有的學(xué)生都有能力提出新見(jiàn)解、發(fā)現(xiàn)新思路、解決新問(wèn)題。數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)相比數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授更重要，數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)有利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)以及運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力。
一、培養(yǎng)學(xué)生善思、善想、善問(wèn)的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高質(zhì)疑能力
就研究性學(xué)習(xí)而言，需要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題需要一定的方法，這些方法應(yīng)在課堂教學(xué)中逐步培養(yǎng)。高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得大多表現(xiàn)在記憶和解題上，缺乏對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系和分析，被動(dòng)接受的多，主動(dòng)反思的少。?
如我在講授《數(shù)學(xué)歸納法》一課時(shí)，有意設(shè)計(jì)了下面三個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題1：今天，據(jù)觀察第一個(gè)到學(xué)校的是男同學(xué)，第二個(gè)到學(xué)校的也是男同學(xué)，第三個(gè)到學(xué)校的還是男同學(xué)，于是，我得出：這所學(xué)校里的學(xué)生都是男同學(xué)。（學(xué)生：竊竊私語(yǔ)，哄堂大笑——以偏概全）。問(wèn)題2：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝（n2-5n+5）2,計(jì)算得a1＝1,a2＝1,a3＝1,可以猜出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝1(此時(shí)，絕大部分學(xué)生不作聲——默認(rèn)，有一學(xué)生突然說(shuō)：當(dāng)n＝5時(shí)，an＝25,a 5≠1,這時(shí)一位平時(shí)非常謹(jǐn)慎的女生說(shuō)：“老師今天你第二次說(shuō)錯(cuò)了”)。問(wèn)題3：三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為2*180°，五邊形的內(nèi)角和為3*180°，……，顯然有：凸n邊形的內(nèi)角和為（n-2）*180°。（說(shuō)到這里，我說(shuō)：“這次老師沒(méi)有講錯(cuò)吧？”）上述三個(gè)問(wèn)題思維方式都是從特殊到一般，問(wèn)題1、2得到的結(jié)論是錯(cuò)的，那么問(wèn)題3是否也錯(cuò)誤？為什么？（學(xué)生茫然，不敢質(zhì)疑）。合理地利用材料，提出好的問(wèn)題，引出課題，揭示了本節(jié)知識(shí)的必要性。通過(guò)讓學(xué)生自主參與知識(shí)產(chǎn)生、形成的過(guò)程，獲得親身體驗(yàn)，逐步形成一種在日常學(xué)習(xí)與生活中愛(ài)置疑、樂(lè)探究的心理傾向，激發(fā)探索和創(chuàng)新的積極欲望。不僅使學(xué)生理解了歸納法，而且掌握了分析、判斷、研究一般問(wèn)題的方法。
高中學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力主要表現(xiàn)在：①在解題上提出新穎，簡(jiǎn)潔，獨(dú)特方法。②運(yùn)用類比的方法對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行推廣和延伸，獲的更一般的結(jié)論。如某年度高考題：“在等差數(shù)列{an}中,若a10＝0，則有等式a1+a2+……an＝a1+a2+……+a19-n(n＜19,n∈n＝成立。類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中,若b9＝1，則有等式______成立”。用有關(guān)等差數(shù)列和等比數(shù)列概念和類比的方法，辯明等差數(shù)列和式兩邊元素下標(biāo)的關(guān)系；運(yùn)用類比的手段，將已知等差數(shù)列的性質(zhì)拓展到等比數(shù)列的性質(zhì)，無(wú)疑發(fā)現(xiàn)了解決上述問(wèn)題的通道，這是一個(gè)創(chuàng)新的過(guò)程。類比的結(jié)論不一定都正確，對(duì)問(wèn)題的質(zhì)疑比單一的解題，其效果是不一樣的，如在等差數(shù)列{an}中，sm＝a1+a2+……+am,則sm,s2m?-sm,s3m-s2m?成等差數(shù)列，能否類比到等比數(shù)列{bn}中，sm,s2m-sm,s3m-s2m成也等比數(shù)列，許多學(xué)生可能會(huì)證明它是正確，但這結(jié)論恰恰是錯(cuò)誤的(當(dāng)a1＝2，公比q＝-1時(shí)，s2＝s4-s2＝s6-s4＝0）。
再如，某年高考題：設(shè)f(x)為定義在r上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤-1時(shí)，y＝f(x)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0)，斜率為1的射線。又在y＝f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在（0,2），且過(guò)(-1,1)的一段拋物線，試寫(xiě)出f(x)的表達(dá)式,并作出圖象。高考結(jié)束以后就有學(xué)生問(wèn)：拋物線是否僅二次函數(shù)的圖象？如果不是，那么它的解不唯一。③通過(guò)對(duì)問(wèn)題的變式引出新的問(wèn)題進(jìn)行探索。譬如，在求數(shù)列an＝2n-1的前n項(xiàng)和時(shí)?？梢砸鰯?shù)列{a3n}和{α3n}的前n項(xiàng)和，讓學(xué)生進(jìn)行充分的討論，前一問(wèn)題仍是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，但首項(xiàng)、公差都已經(jīng)變化，認(rèn)知上沒(méi)有沖突，學(xué)生是可以解決的；后一問(wèn)題如果學(xué)生不深入研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么他就無(wú)法求此數(shù)列的前n項(xiàng)和.探究等差數(shù)列相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生而言應(yīng)是創(chuàng)新性思維；如果再將產(chǎn)生的結(jié)論向等比數(shù)列聯(lián)想，可使這種創(chuàng)新思維得到延伸，達(dá)到不斷激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新欲望之目的。?
二、建立新的數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用于實(shí)踐的能力?
數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于社會(huì)實(shí)際，又指導(dǎo)著人們的工作、學(xué)習(xí)。對(duì)不同的問(wèn)題建立不同的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生參與社會(huì)實(shí)踐、服務(wù)社會(huì)。如某年度上海春季高考第22題是有關(guān)工資問(wèn)題，可以建立等差、等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型。這些問(wèn)題都有各自的實(shí)際背景，要解決這些問(wèn)題，除了要熟悉有關(guān)的實(shí)際背景，更關(guān)鍵的是要通過(guò)審題、分析建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、計(jì)算工具來(lái)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型化的價(jià)值，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生實(shí)踐和創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)來(lái)源社會(huì)實(shí)踐，又服務(wù)于社會(huì)實(shí)踐，創(chuàng)新能力型問(wèn)題很多，要求有高有低，我們不能要求學(xué)生一一掌握，但讓他們知道這些問(wèn)題共同的特點(diǎn)，探求問(wèn)題解決的一般方法。
高中數(shù)學(xué)中創(chuàng)新方法可以歸納為以下幾類：從特殊到一般、從一般到特殊、聯(lián)想與類比、建模、化歸與轉(zhuǎn)化、引申與拓展等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要特別注意培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題中具體條件，自覺(jué)、靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)不同的類型探索出一般的規(guī)律；在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)變換不同思考角度，就可以發(fā)現(xiàn)新方法、新問(wèn)題，制定新策略、解決新問(wèn)題。?
本人認(rèn)為，高中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，要不失時(shí)機(jī)地讓學(xué)生進(jìn)行類比、推廣、探究、質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力、發(fā)展學(xué)生的一般能力，為終身學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。
一、培養(yǎng)學(xué)生善思、善想、善問(wèn)的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高質(zhì)疑能力
就研究性學(xué)習(xí)而言，需要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題需要一定的方法，這些方法應(yīng)在課堂教學(xué)中逐步培養(yǎng)。高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得大多表現(xiàn)在記憶和解題上，缺乏對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系和分析，被動(dòng)接受的多，主動(dòng)反思的少。?
如我在講授《數(shù)學(xué)歸納法》一課時(shí)，有意設(shè)計(jì)了下面三個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題1：今天，據(jù)觀察第一個(gè)到學(xué)校的是男同學(xué)，第二個(gè)到學(xué)校的也是男同學(xué)，第三個(gè)到學(xué)校的還是男同學(xué)，于是，我得出：這所學(xué)校里的學(xué)生都是男同學(xué)。（學(xué)生：竊竊私語(yǔ)，哄堂大笑——以偏概全）。問(wèn)題2：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝（n2-5n+5）2,計(jì)算得a1＝1,a2＝1,a3＝1,可以猜出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝1(此時(shí)，絕大部分學(xué)生不作聲——默認(rèn)，有一學(xué)生突然說(shuō)：當(dāng)n＝5時(shí)，an＝25,a 5≠1,這時(shí)一位平時(shí)非常謹(jǐn)慎的女生說(shuō)：“老師今天你第二次說(shuō)錯(cuò)了”)。問(wèn)題3：三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為2*180°，五邊形的內(nèi)角和為3*180°，……，顯然有：凸n邊形的內(nèi)角和為（n-2）*180°。（說(shuō)到這里，我說(shuō)：“這次老師沒(méi)有講錯(cuò)吧？”）上述三個(gè)問(wèn)題思維方式都是從特殊到一般，問(wèn)題1、2得到的結(jié)論是錯(cuò)的，那么問(wèn)題3是否也錯(cuò)誤？為什么？（學(xué)生茫然，不敢質(zhì)疑）。合理地利用材料，提出好的問(wèn)題，引出課題，揭示了本節(jié)知識(shí)的必要性。通過(guò)讓學(xué)生自主參與知識(shí)產(chǎn)生、形成的過(guò)程，獲得親身體驗(yàn)，逐步形成一種在日常學(xué)習(xí)與生活中愛(ài)置疑、樂(lè)探究的心理傾向，激發(fā)探索和創(chuàng)新的積極欲望。不僅使學(xué)生理解了歸納法，而且掌握了分析、判斷、研究一般問(wèn)題的方法。
高中學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力主要表現(xiàn)在：①在解題上提出新穎，簡(jiǎn)潔，獨(dú)特方法。②運(yùn)用類比的方法對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行推廣和延伸，獲的更一般的結(jié)論。如某年度高考題：“在等差數(shù)列{an}中,若a10＝0，則有等式a1+a2+……an＝a1+a2+……+a19-n(n＜19,n∈n＝成立。類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中,若b9＝1，則有等式______成立”。用有關(guān)等差數(shù)列和等比數(shù)列概念和類比的方法，辯明等差數(shù)列和式兩邊元素下標(biāo)的關(guān)系；運(yùn)用類比的手段，將已知等差數(shù)列的性質(zhì)拓展到等比數(shù)列的性質(zhì)，無(wú)疑發(fā)現(xiàn)了解決上述問(wèn)題的通道，這是一個(gè)創(chuàng)新的過(guò)程。類比的結(jié)論不一定都正確，對(duì)問(wèn)題的質(zhì)疑比單一的解題，其效果是不一樣的，如在等差數(shù)列{an}中，sm＝a1+a2+……+am,則sm,s2m?-sm,s3m-s2m?成等差數(shù)列，能否類比到等比數(shù)列{bn}中，sm,s2m-sm,s3m-s2m成也等比數(shù)列，許多學(xué)生可能會(huì)證明它是正確，但這結(jié)論恰恰是錯(cuò)誤的(當(dāng)a1＝2，公比q＝-1時(shí)，s2＝s4-s2＝s6-s4＝0）。
再如，某年高考題：設(shè)f(x)為定義在r上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤-1時(shí)，y＝f(x)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,0)，斜率為1的射線。又在y＝f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在（0,2），且過(guò)(-1,1)的一段拋物線，試寫(xiě)出f(x)的表達(dá)式,并作出圖象。高考結(jié)束以后就有學(xué)生問(wèn)：拋物線是否僅二次函數(shù)的圖象？如果不是，那么它的解不唯一。③通過(guò)對(duì)問(wèn)題的變式引出新的問(wèn)題進(jìn)行探索。譬如，在求數(shù)列an＝2n-1的前n項(xiàng)和時(shí)?？梢砸鰯?shù)列{a3n}和{α3n}的前n項(xiàng)和，讓學(xué)生進(jìn)行充分的討論，前一問(wèn)題仍是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，但首項(xiàng)、公差都已經(jīng)變化，認(rèn)知上沒(méi)有沖突，學(xué)生是可以解決的；后一問(wèn)題如果學(xué)生不深入研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么他就無(wú)法求此數(shù)列的前n項(xiàng)和.探究等差數(shù)列相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生而言應(yīng)是創(chuàng)新性思維；如果再將產(chǎn)生的結(jié)論向等比數(shù)列聯(lián)想，可使這種創(chuàng)新思維得到延伸，達(dá)到不斷激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新欲望之目的。?
二、建立新的數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用于實(shí)踐的能力?
數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于社會(huì)實(shí)際，又指導(dǎo)著人們的工作、學(xué)習(xí)。對(duì)不同的問(wèn)題建立不同的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生參與社會(huì)實(shí)踐、服務(wù)社會(huì)。如某年度上海春季高考第22題是有關(guān)工資問(wèn)題，可以建立等差、等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型。這些問(wèn)題都有各自的實(shí)際背景，要解決這些問(wèn)題，除了要熟悉有關(guān)的實(shí)際背景，更關(guān)鍵的是要通過(guò)審題、分析建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、計(jì)算工具來(lái)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型化的價(jià)值，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生實(shí)踐和創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)來(lái)源社會(huì)實(shí)踐，又服務(wù)于社會(huì)實(shí)踐，創(chuàng)新能力型問(wèn)題很多，要求有高有低，我們不能要求學(xué)生一一掌握，但讓他們知道這些問(wèn)題共同的特點(diǎn)，探求問(wèn)題解決的一般方法。
高中數(shù)學(xué)中創(chuàng)新方法可以歸納為以下幾類：從特殊到一般、從一般到特殊、聯(lián)想與類比、建模、化歸與轉(zhuǎn)化、引申與拓展等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要特別注意培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題中具體條件，自覺(jué)、靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)不同的類型探索出一般的規(guī)律；在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)變換不同思考角度，就可以發(fā)現(xiàn)新方法、新問(wèn)題，制定新策略、解決新問(wèn)題。?
本人認(rèn)為，高中學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，要不失時(shí)機(jī)地讓學(xué)生進(jìn)行類比、推廣、探究、質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力、發(fā)展學(xué)生的一般能力，為終身學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。