談談反證法在教學中的應用
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吳艷1由 分享
一. 引言
有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要討論的反證法。
二. 反證法的定義、邏輯依據(jù)、種類及模式
定義：反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾，推理而得。
種類：運用反證法的關鍵在于歸謬，因此反證法又稱為歸謬法。根據(jù)結論B的反面情況不同，分為簡單歸謬法和窮舉歸謬法。
模式：設待證的命題為“若A則B”，其中A是題設，B是結論，A、B本身也都是數(shù)學判斷，那么用反證法證明命題一般有三個步驟：
反設：作出與求證結論相反的假設；
歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。
三. 反證法的適用范圍
1.否定性命題
即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現(xiàn)的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。
例 求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個鈍角。
證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個鈍角，不妨設∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C＞1800。這與“三角形內角和為1800”這一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個三角形不可能有兩個鈍角。
2.限定式命題
即結論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語的命題。
例 在半徑為 的圓中，有半徑等于1的九個圓，證明：至少有兩個小圓的公共部分的面積不小于 。
證明：每個小圓的公共部分的面積都小于 ，而九個小圓共有 個公共部分，九個小圓的公共部分面積要小于 ，又大圓面積為 ，則九個小圓應占面積要大于 ，這是不可能的，故至少有兩個小圓的公共部分面積不少于 。
例 已知方程 ， ， 中至少有一個方程有實數(shù)值，求實數(shù) 的取值范圍。
分析：此題直接分情況用判別式求解就特別麻煩，可用反證法，假設三個方程都無實數(shù)根，然后求滿足條件 的集合的補集即可。
證明：假設三個方程都無實根，則有：
解得
例 已知m，n，p都是正整數(shù)，求證：在三個數(shù)中，至多有一個數(shù)不小于1．
證 假設a，b，c中至少有兩個數(shù)不小于1，不妨設a≥1，b≥1，則
m≥n+p，n≥p+m．
兩式相加，得2p≤0，從而p≤0，與p是正整數(shù)矛盾．
所以命題成立．
說明 “不妨設”是為了簡化敘述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各種情況時，證明過程是同樣的．
∴所求 的范圍為 .
3.無窮性命題
即涉及各種“無限”結論的命題。
例 求證： 是無理數(shù)。
分析：由于題目給我們可供便用的條件實在太少，以至于正面向前進一小步都非常困難。而無理數(shù)又是無限不循環(huán)的，“無限”與“不循環(huán)”都很難表示出來。當反設 是有理數(shù)時，就增加了一個具體而有效的“條件”，使得能方便地將 表示為一個分數(shù)。
證明：假設 是有理數(shù)，則存在 互質，使 ，從而， 為偶數(shù)，記為 ，∴ ，∴ ，則 也是偶數(shù)。由 , 均為偶數(shù)與 、 互質矛盾，故 是無理數(shù)。
例 求證：素數(shù)有無窮多個。
證明：假設素數(shù)只有n個： P1、P2……Pn，取整數(shù)N=P1?P2……Pn+1，顯然N不能被這幾個數(shù)中的任何一個整除。因此，或者N本身就是素數(shù)（顯然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一個），或者N含有除這n個素數(shù)以外的素數(shù)r，這些都與素數(shù)只有n個的假定相矛盾，故素數(shù)個數(shù)不可能是有限的，即為無限的。
四. 運用反證法應注意的問題
1.必須正確否定結論
正確否定結論是運用反證法的首要問題。
如：命題“一個三角形中，至多有一個內角是直角”。“至多有一個”指：“只有一個”或“沒有一個”，其反面是“有兩個直角”或“三個內角都是直角”，即“至少有兩個是直角”。
2.必須明確推理特點
否定結論導出矛盾是反證法的任務，但何時出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預測的，也沒有一個機械的標準,有的甚至是捉摸不定的. 一般總是在命題的相關領域里考慮（ 例如,平面幾何問題往往聯(lián)系到相關的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點。因此，在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規(guī)則，進行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結束。
五、小結
反證法是數(shù)學中一種重要的證明方法, 是“數(shù)學家的最精良的武器之一”，在許多方面都有著不可替代的作用. 著名的英國數(shù)學家G.H.哈代對于這種證明方法作過一個令人滿意的評論。在棋類比賽中，經(jīng)常采用一種策略是“棄子取勢”—犧牲一些棋子以換取優(yōu)勢。哈代指出，歸謬法是遠比任何棋術更為高超的一種策略；棋手可以犧牲的是幾個棋子，而數(shù)學家可以犧牲的卻是整個一盤棋。歸謬法就是作為一種可以想象的最了不起的策略而產(chǎn)生的。它以其獨特的證明方法和思維方式對培養(yǎng)學生邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維有著重大的意義。反證法不僅可以單獨使用,也可以與其他方法結合使用,并且可以在論證一道命題中多次使用,只要我們正確熟練運用,就能做到:精巧、直接、巧解難題、說理清楚、論證嚴謹,提高數(shù)學解題能力.
有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要討論的反證法。
二. 反證法的定義、邏輯依據(jù)、種類及模式
定義：反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾，推理而得。
種類：運用反證法的關鍵在于歸謬，因此反證法又稱為歸謬法。根據(jù)結論B的反面情況不同，分為簡單歸謬法和窮舉歸謬法。
模式：設待證的命題為“若A則B”，其中A是題設，B是結論，A、B本身也都是數(shù)學判斷，那么用反證法證明命題一般有三個步驟：
反設：作出與求證結論相反的假設；
歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。
三. 反證法的適用范圍
1.否定性命題
即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現(xiàn)的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。
例 求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個鈍角。
證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個鈍角，不妨設∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C＞1800。這與“三角形內角和為1800”這一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個三角形不可能有兩個鈍角。
2.限定式命題
即結論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語的命題。
例 在半徑為 的圓中，有半徑等于1的九個圓，證明：至少有兩個小圓的公共部分的面積不小于 。
證明：每個小圓的公共部分的面積都小于 ，而九個小圓共有 個公共部分，九個小圓的公共部分面積要小于 ，又大圓面積為 ，則九個小圓應占面積要大于 ，這是不可能的，故至少有兩個小圓的公共部分面積不少于 。
例 已知方程 ， ， 中至少有一個方程有實數(shù)值，求實數(shù) 的取值范圍。
分析：此題直接分情況用判別式求解就特別麻煩，可用反證法，假設三個方程都無實數(shù)根，然后求滿足條件 的集合的補集即可。
證明：假設三個方程都無實根，則有：
解得
例 已知m，n，p都是正整數(shù)，求證：在三個數(shù)中，至多有一個數(shù)不小于1．
證 假設a，b，c中至少有兩個數(shù)不小于1，不妨設a≥1，b≥1，則
m≥n+p，n≥p+m．
兩式相加，得2p≤0，從而p≤0，與p是正整數(shù)矛盾．
所以命題成立．
說明 “不妨設”是為了簡化敘述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各種情況時，證明過程是同樣的．
∴所求 的范圍為 .
3.無窮性命題
即涉及各種“無限”結論的命題。
例 求證： 是無理數(shù)。
分析：由于題目給我們可供便用的條件實在太少，以至于正面向前進一小步都非常困難。而無理數(shù)又是無限不循環(huán)的，“無限”與“不循環(huán)”都很難表示出來。當反設 是有理數(shù)時，就增加了一個具體而有效的“條件”，使得能方便地將 表示為一個分數(shù)。
證明：假設 是有理數(shù)，則存在 互質，使 ，從而， 為偶數(shù)，記為 ，∴ ，∴ ，則 也是偶數(shù)。由 , 均為偶數(shù)與 、 互質矛盾，故 是無理數(shù)。
例 求證：素數(shù)有無窮多個。
證明：假設素數(shù)只有n個： P1、P2……Pn，取整數(shù)N=P1?P2……Pn+1，顯然N不能被這幾個數(shù)中的任何一個整除。因此，或者N本身就是素數(shù)（顯然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一個），或者N含有除這n個素數(shù)以外的素數(shù)r，這些都與素數(shù)只有n個的假定相矛盾，故素數(shù)個數(shù)不可能是有限的，即為無限的。
四. 運用反證法應注意的問題
1.必須正確否定結論
正確否定結論是運用反證法的首要問題。
如：命題“一個三角形中，至多有一個內角是直角”。“至多有一個”指：“只有一個”或“沒有一個”，其反面是“有兩個直角”或“三個內角都是直角”，即“至少有兩個是直角”。
2.必須明確推理特點
否定結論導出矛盾是反證法的任務，但何時出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預測的，也沒有一個機械的標準,有的甚至是捉摸不定的. 一般總是在命題的相關領域里考慮（ 例如,平面幾何問題往往聯(lián)系到相關的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點。因此，在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾。只需正確否定結論，嚴格遵守推理規(guī)則，進行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結束。
五、小結
反證法是數(shù)學中一種重要的證明方法, 是“數(shù)學家的最精良的武器之一”，在許多方面都有著不可替代的作用. 著名的英國數(shù)學家G.H.哈代對于這種證明方法作過一個令人滿意的評論。在棋類比賽中，經(jīng)常采用一種策略是“棄子取勢”—犧牲一些棋子以換取優(yōu)勢。哈代指出，歸謬法是遠比任何棋術更為高超的一種策略；棋手可以犧牲的是幾個棋子，而數(shù)學家可以犧牲的卻是整個一盤棋。歸謬法就是作為一種可以想象的最了不起的策略而產(chǎn)生的。它以其獨特的證明方法和思維方式對培養(yǎng)學生邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維有著重大的意義。反證法不僅可以單獨使用,也可以與其他方法結合使用,并且可以在論證一道命題中多次使用,只要我們正確熟練運用,就能做到:精巧、直接、巧解難題、說理清楚、論證嚴謹,提高數(shù)學解題能力.