所有的面積公式

　　數(shù)學(xué)中，面積公式可以讓我們計(jì)算出它的具體面積。下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的所有的面積公式，供大家參閱!

　　梯形面積公式

　　S=(a+b)×h÷2{梯形面積=(上底+下底)×高÷2}

　　球體(正球)表面積公式

　　S=4πr^2{球體(正球)表面積=圓周率×半徑×半徑×4}

　　坐標(biāo)公式

　　1：△ABC，三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),

　　S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.

　　2:空間△ABC，三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面積為S，則

　　S^2=(a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+

　　(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.

　　圓公式/面積公式 設(shè)圓半徑為 ：r, 面積為 ：S .

　　則 面積 S= π·r^2 ; π 表示圓周率

　　即 圓面積 等于 圓周率 乘以 圓半徑的平方

　　扇形面積公式

　　在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S=πR^2，所以圓心角為n°的扇形面積：

　　比如：半徑為1cm的圓，那么所對圓心角為135°的扇形的周長：

　　C=2R+nπR÷180

　　=2×1+135×3.14×1÷180

　　=2+2.355

　　=4.355(cm)=43.55(mm)

　　扇形的面積：

　　S=nπR^2÷360

　　=135×3.14×1×1÷360

　　=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)

　　扇形還有另一個(gè)面積公式

　　面積公式其中l(wèi)為弧長，R為半徑

　　扇環(huán)面積公式

　　面積公式圖冊圓環(huán)周長:外圓的周長+內(nèi)圓的周長(圓周率X(大直徑+小直徑))

　　圓環(huán)面積:外圓面積-內(nèi)圓面積(圓周率X大半徑的平方-圓周率X小半徑的平方\圓周率X(大半徑的平方-小半徑的平方)

　　用字母表示：

　　S內(nèi)+S外(πR方)

　　S外—S內(nèi)=∏(R方-r方)

　　還有第二種方法：

　　S=π[(R-r)×(R+r)]

　　R=大圓半徑

　　r=圓環(huán)寬度=大圓半徑-小圓半徑

　　還有一種方法：

　　已知圓環(huán)的外直徑為D，圓環(huán)厚度(即外內(nèi)半徑之差)為d。

　　d=R-r，

　　D-d=2R-(R-r)=R+r，

　　可由第一、二種方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，

　　圓環(huán)面積S=π(D-d)×d

　　這是根據(jù)外直徑和圓環(huán)厚度(即外內(nèi)半徑之差)得出面積。這兩個(gè)數(shù)據(jù)在現(xiàn)實(shí)易于測量，適用于計(jì)算實(shí)物，例如圓鋼管。

　　三角形面積公式

　　海倫公式

　　任意三角形的面積公式(海倫公式)：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=(a+b+c)/2, a.b.c為三角形三邊。

　　證明： 證一 勾股定理

　　分析：先從三角形最基本的計(jì)算公式S△ABC = aha入手，運(yùn)用勾股定理推導(dǎo)出海倫公式。

　　證明：如圖ha⊥BC，根據(jù)勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此時(shí)S△ABC為變形④，故得證。

　　證二：斯氏定理

　　分析：在證一的基礎(chǔ)上運(yùn)用斯氏定理直接求出ha。

　　斯氏定理:△ABC邊BC上任取一點(diǎn)D， 若BD=u，DC=v,AD=t.則 t 2 = 證明：由證一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = - ∴ S△ABC = aha = a × = 此時(shí)為S△ABC的變形⑤，故得證。

　　證三：余弦定理

　　分析：由變形② S = 可知，運(yùn)用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 對其進(jìn)行證明。

　　證明：要證明S = 則要證S = = = ab×sinC 此時(shí)S = ab×sinC為三角形計(jì)算公式，故得證。

　　證四：恒等式 分析：考慮運(yùn)用S△ABC =r p，因?yàn)橛腥切蝺?nèi)接圓半徑出現(xiàn)，可考慮應(yīng)用三角函數(shù)的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 證明：如圖，tg = ① tg = ② tg = ③ 根據(jù)恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如圖可知：a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 兩邊同乘以 ，得： r 2 · = 兩邊開方，得： r · = 左邊r · = r·p= S△ABC 右邊為海倫公式變形①，故得證。

　　證五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 證明：根據(jù)tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz

　　弓形面積公式

　　設(shè)弓形AB所對的弧為弧AB，那么：

　　當(dāng)弧AB是劣弧時(shí)，那么S弓形=S扇形-S△AOB(A、B是弧的端點(diǎn)，O是圓心)。

　　當(dāng)弧AB是半圓時(shí)，那么S弓形=S扇形=1/2S圓=1/2×πr^2。

　　當(dāng)弧AB是優(yōu)弧時(shí)，那么S弓形=S扇形+S△AOB(A、B是弧的端點(diǎn)，O是圓心)

　　計(jì)算公式分別是：

　　S=nπR^2÷360-ah÷2

　　S=πR^2/2

　　S=nπR^2÷360+ah÷2

　　橢圓面積公式

　　橢圓面積公式： S=πab 橢圓面積定理：橢圓的面積等于圓周率(π)乘該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的乘積。

　　橢圓面積公式應(yīng)用實(shí)例

　　橢圓的長半軸為8cm，短半軸為6cm，假設(shè)π=3.14，求該橢圓的面積。

　　答：S=πab=3.14*8*6=150.72(cm²)

　　菱形面積公式

　　定理簡述及證明

　　菱形面積=對角線乘積的一半，即S=(a×b)÷2

　　菱形的面積也可=底乘高

　　拋物線弓形面積公式

　　拋物線弦長公式及應(yīng)用

　　本文介紹一個(gè)公式,可以簡捷準(zhǔn)確地求出直線被拋物線截得的弦長,還可以利用它來判斷直線與拋物線位置關(guān)系及解決一些與弦長有關(guān)的題目.方法簡單明了,以供參考.

　　拋物線弓形面積公式等于：以割線為底，以平行于底的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)的內(nèi)接三角形的3/4，即：

　　拋物線弓形面積=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

　　定理 直線y=kx+b(k≠0)被拋物線y^2=2Px截得的弦AB的長度為

　　∣AB∣= ①

　　證明 由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2-+=0

　　∴ y1+y2=,y1y2=.

　　∣y1-y2∣==2,

　　∴∣AB∣=∣y1-y2|=

　　當(dāng)直線y=kx+b(k≠0)過焦點(diǎn)時(shí),b=-,代入①得∣AB∣=P(1+k2),

　　于是得出下面推論:

　　推論1 過焦點(diǎn)的直線y=kx-(k ≠0)被拋物線y^2=2Px截得的弦

　　AB的長度為

　　∣AB∣=P(1+k2) ②

　　在①中,由容易得出下面推論:

　　推論2 己知直線l: y=kx+b(k≠0)及拋物線C:y^2=2Px

　?、?當(dāng)P>2bk時(shí),l與C交于兩點(diǎn)(相交);

　　Ⅱ)當(dāng)P=2bk時(shí),l與C交于一點(diǎn)(相切);

　?、?當(dāng)P<2bk時(shí),l與C無交點(diǎn)(相離).

　　定理應(yīng)用

　　下面介紹定理及推論的一些應(yīng)用:

　　例1 (課本P.57例1)求直線y=x+被拋物線y=x^2截得的線段的長?

　　分析:題中所給方程與定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.

　　解 曲線方程可變形為x^2=2y則P=1,直線方程可變形為x=y-,

　　即k=1,b=-.由①得∣AB∣=4.

　　例2 求直線2x+y+1=0到曲線y^2-2x-2y+3=0的最短距離.

　　分析:可求與已知直線平行并和曲

　　線相切的直線,二直線間距離即為要求的最短距離.

　　解 曲線可變形為(y-1)^2=2(x-1)則P=1,由2x+y+1=0知k=-2.由推論2,令2bk=P,解得b=-.∴所求直線方

　　程為y-1=-2(x-1)-,即2x+y-=0. ∴.

　　故所求最短距離為.

　　例3 當(dāng)直線y=kx+1與曲線y=-1有交點(diǎn)時(shí),求k的范圍.

　　解 曲線可變形為(y+1)^2=x+1

　　(x≥-1,y≥-1) ,則P=1/2.直線相應(yīng)地可變?yōu)?y+1=k(x+1)-k+2,∴b=2-k.由推論2,令2bk≤P,即2k(2-k)≤,解得k≤1-或k≥1+.故k≤1-或k≥1+時(shí)直線與曲線有交點(diǎn).

　　注:曲線作怎樣變形,直線也必須作相應(yīng)平移變形,否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤.

　　例4 拋物線y^2=2Px內(nèi)接直角三角形,一直角邊所在直線為y=2x,斜邊長為5.求拋物線的方程.

　　解 設(shè)直角三角形為AOB.由題設(shè)知kOA=2,kOB=-.由①, |OA|=,

　　|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴拋物線方程為y^2=x.

　　例5設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn),F為焦點(diǎn),PQ為過的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ

　　解 以O(shè)為原點(diǎn),OF為x軸建立直角坐標(biāo)系(見圖),依題設(shè)條件,拋物線方程為y^2=4ax(P=2a),設(shè)PQ的斜率為k,由②|PQ|=,

　　已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,

　　∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π-θ)=ab sinθ=.

　　常見的面積定理

　　1. 一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積的和;

　　2. 兩個(gè)全等圖形的面積相等;

　　3. 等底等高的三角形、平行四邊形、梯形(梯形等底應(yīng)理解為兩底的和相等)的面積相等;

　　4. 等底(或等高)的三角形、平行四邊形、梯形的面積比等于其所對應(yīng)的高(或底)的比;

　　5. 相似三角形的面積比等于相似比的平方;

　　6. 等角或補(bǔ)角的三角形面積的比，等于夾等角或補(bǔ)角的兩邊的乘積的比;等角的平行四邊形面積比等于夾等角的兩邊乘積的比;

　　7. 任何一條曲線都可以用一個(gè)函數(shù)y=f(x)來表示，那么，這條曲線所圍成的面積就是對X求積分

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