數(shù)學的思維方法學習分析

數(shù)學的思維方法學習分析

　　良好的方法能使我們更好地發(fā)揮運用天賦的才能，而拙劣的方法則可能阻礙才能的發(fā)揮。------[英]貝爾納

　　數(shù)學思維方法分為兩種，形象思維方法和抽象思維方法。小學數(shù)學要培養(yǎng)學生的形象思維能力，并在此基礎上，為發(fā)展抽象思維能力打下堅實的基礎。下面小編為大家總結一下。

　　一、形象思維方法

　　形象思維方法是指人們用形象思維來認識、解決問題的方法。它的思維基礎是具體形象，并從具體形象展開來的思維過程。

　　形象思維的主要手段是實物、圖形、表格和典型等形象材料。它的認識特點是以個別表現(xiàn)一般，始終保留著對事物的直觀性。它的思維過程表現(xiàn)為表象、類比、聯(lián)想、想象。它的思維品質(zhì)表現(xiàn)為對直觀材料進行積極想象，對表象進行加工、提煉進而提示出本質(zhì)、規(guī)律，或求出對象。它的思維目標是解決實際問題，并且在解決問題當中提高自身的思維能力。

　　1、實物演示法

　　利用身邊的實物來演示數(shù)學題目的條件和問題，及條件與條件，條件與問題之間的關系，在此基礎上進行分析思考、尋求解決問題的方法。

　　這種方法可以使數(shù)學內(nèi)容形象化，數(shù)量關系具體化。比如：數(shù)學中的相遇問題。通過實物演示不僅能夠解決“同時、相向而行、相遇”等術語，而且為學生指明了思維方向。再如，在一個圓形(方形)水塘周圍栽樹問題，如果能進行一個實際操作，效果要好得多。

　　二年級數(shù)學教材中，“三個小朋友見面握手，每兩人握一次，共要握幾次手”與“用三張不同的數(shù)字卡片擺成兩位數(shù)，共可以擺成多少個兩位數(shù)”。像這樣的有關排列、組合的知識，在小學教學中，如果實物演示的方法，是很難達到預期的教學目標的。

　　特別是一些數(shù)學概念，如果沒有實物演示，小學生就不能真正掌握。長方形的面積、長方體的認識、圓柱的體積等的學習，都依賴于實物演示作思維的基礎。

　　所以，小學數(shù)學教師應盡可能多地制作一些數(shù)學教(學)具，而且這些教(學)具用過后要好好保存，可以重復使用。這樣可以有效地提高課堂教學效率，提升學生的學習成績。

　　績。

　　2、圖示法

　　借助直觀圖形來確定思考方向，尋找思路，求得解決問題的方法。

　　圖示法直觀可靠，便于分析數(shù)形關系，不受邏輯推導限制，思路靈活開闊，但圖示依賴于人們對表象加工整理的可靠性上，一旦圖示與實際情況不相符，易使在此基礎上的聯(lián)想、想象出現(xiàn)謬誤或走入誤區(qū)，最后導致錯誤的結果。比如有的數(shù)學教師愛徒手畫數(shù)學圖形，難免造成不準確，使學生產(chǎn)生誤解。

　　在課堂教學當中，要多用圖示的方法來解決問題。有的題目，圖畫出來了，結果也就出來的;有的題，圖畫好了，題意學生也就明白了;有的題，畫圖則可以幫助分析題意、啟迪思路，作為其他解法的輔助手段。

　　例1.把一根木頭鋸成3段需要24分鐘，鋸成6段需要多少分鐘?(圖略)

　　思維方法是：圖示法。

　　思維方向是：鋸幾次，每次用幾分鐘。

　　思路是：鋸3段鋸了幾次，每次用幾分鐘，鋸6段鋸了幾次，需要多少分鐘。

　　例2 .判斷:等腰三角形中，點D是底邊BC的中點，圖甲的面積比圖乙的面積大，圖甲的周長比圖乙的周長長。(圖略)

　　思維方法：圖示法。

　　思維方向：先比較面積，再比較周長。

　　思路：作條輔助線。圖甲占的面積大，圖乙所占面積小，所以“圖甲的面積比圖乙的面積大”是正確的。線段AD比曲線AD短，所以“圖甲的周長比圖乙的周長長”是錯誤的。

　　3、列表法

　　運用列出表格來分析思考、尋找思路、求解問題的方法叫做列表法。列表法清晰明了，便于分析比較、提示規(guī)律，也有利于記憶。它的局限性在于求解范圍小，適用題型狹窄，大多跟尋找規(guī)律或顯示規(guī)律有關。比如，正、反比例的內(nèi)容，整理數(shù)據(jù)，乘法口訣，數(shù)位順序等內(nèi)容的教學大都采用“列表法”。

　　用列表法解決傳統(tǒng)數(shù)學問題：雞兔同籠問題。制作三個表格：第一張表格是逐一舉例法，根據(jù)雞與兔共20只的條件，假設雞只有1只，那么兔就有19只，腿共有78條……這樣逐一列舉，直至尋找到所求的答案;第二張表格是列舉了幾個以后發(fā)現(xiàn)了只數(shù)與腿數(shù)的規(guī)律，從而減少了列舉的次數(shù);第三張表格是從中間開始列舉，由于雞與兔共20只，所以各取10只，接著根據(jù)實際的數(shù)據(jù)情況確定列舉的方向。

　　4、探索法

　　按照一定方向，通過嘗試來摸索規(guī)律、探求解決問題思路的方法叫做探究法。我國著名數(shù)學家華羅庚說過，在數(shù)學里，“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來。”蘇霍姆林斯基說過：在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈。“學習要以探究為核心”，是新課程的基本理念之一。人們在難以把問題轉(zhuǎn)化為簡單的、基本的、熟悉的、典型的問題時，常常采取的一種好方法就是探究、嘗試。

　　第一、探究方向要準確，興趣要高漲，切忌胡亂嘗試或形式主義的探究。例如，教學“比例尺”時，教師創(chuàng)設“學生出題考老師”的教學情境,師：“現(xiàn)在我們考試好不好?”學生一聽：很奇怪，正當學生疑惑之時，教師說：“今天改變過去的考試方法，由你們出題考老師，愿意嗎?”學生聽后很感興趣。教師說：“這里有一幅地圖，你們用直尺任意量出兩地的距離，我都能很快地告訴你們這兩地之間的實際距離，相信嗎?”于是學生紛紛上臺度量、報數(shù)，教師都一個接一個地回答對應的實際距離。學生這時更感到奇怪，異口同聲地說：“老師您快告訴我們吧，您是怎樣算的?”教師說：“其實呀，有一位好朋友在暗中幫助老師，你們知道它是誰嗎?想認識它嗎?”于是引出所要學習的內(nèi)容“比例尺”。

　　第二、定向猜測，反復實踐，在不斷分析、調(diào)整中尋找規(guī)律。

　　例3 .找規(guī)律填數(shù)。

　　(1)1、4、 、10、13、 、19;

　　(2)2、8、18、32、 、72、 。

　　第三，獨立探究與合作探究結合。獨立，有自由的思維時空;合作，可以知識上互補，方法上互相借鑒，不時還能碰撞出智慧的火花。

　　小學數(shù)學教學活動中，教師應盡量創(chuàng)設讓學生去探究的情景，創(chuàng)造讓學生去探究的機會，鼓勵有探究精神和習慣的學生。

　　5、觀察法

　　通過大量具體事例，歸納發(fā)現(xiàn)事物的一般規(guī)律的方法叫做觀察法。巴浦洛夫說:"應當先學會觀察,不學會觀察永遠當不了科學家.”

　　小學數(shù)學“觀察”的內(nèi)容一般有：①數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點;②條件與結論之間的關系;③題目的結構特點;④圖形的特點及大小、位置關系。

　　如：觀察一組算式：25×4=4×25，62×11=11×62，100×6=6×100……歸納出乘法交換率：在乘法算式里，交換兩個因數(shù)的位置，積不變。

　　“觀察”的要求：

　　第一、觀察要細致、準確。

　　例4 .找出下列各題錯在哪里，并改正。

　　(1)25×16=25×(4×4)=(25×4)×(25×4);

　　(2)18×36+18×64=(18+18)×(36+64)

　　例5 .直接寫出下列各題的得數(shù)：

　　(1)3.6+6.4 (2)3.6+6.04

　　(3)125×57×0.04 (4)(351-37-13)÷5

　　第二、科學觀察。科學觀察滲透了更多的理性因素,它是有目的,有計劃地察看研究對象。比如，在教學長方體的認識時，要做到“有序”觀察：(1)面——形狀、個數(shù)、面與面之間的關系;(2)棱——棱的形成、條數(shù)、棱與棱之間的關系(相對的棱相等;相對的棱有四條;長方體的棱可以分為三組);(3)頂點——頂點的形成、個數(shù)，認識頂點的一個重要作用是引出長方體長、寬、高的概念。

　　第三， 觀察必定與思考結合。

　　6、典型法

　　針對題目去聯(lián)想已經(jīng)解過的典型問題的解題規(guī)律，從而找出解題思路的方法叫做典型法。典型是相對于普遍而言的。解決數(shù)學問題，有些需要用一般方法，有些則需要用特殊(典型)方法。比如，歸一、倍比和歸總算法、行程、工程、消同求異、平均數(shù)等。

　　運用典型法必須注意：

　　(1)要掌握典型材料的關鍵及規(guī)律。

　　例7.已知爸爸比兒子大30歲，爸爸今年的年齡正好是兒子的7倍。爸爸、兒子今年分別是多少歲?關鍵點在：爸爸比兒子大30歲，爸爸的年齡比兒子多幾倍。典型題都有典型解法，要想真正學好數(shù)學，即要理解和掌握一般思路和解法，還要學會典型解法。

　　(2)熟悉典型材料，并能敏捷地聯(lián)想到所適用的典型，從而確定所需要的解題方法。

　　例8.見到“某城市有一條公共汽車線路，長16500米，平均每隔500米設一個車站。這條線路需要設多少個車站?”這樣題目，就應該聯(lián)想到上面所講到的“鋸木頭用多少分鐘”的典型問題。

　　(3)典型和技巧相聯(lián)系。

　　例9.甲乙兩個工程隊共有82人，如果從乙隊調(diào)8人到甲隊，兩隊人數(shù)正好相等。甲乙兩隊原來各有多少人?這題目的技巧：調(diào)前、調(diào)后兩隊總人數(shù)沒變。先算調(diào)后各隊人數(shù)，再算原來各隊人數(shù)。

　　7、放縮法

　　通過對被研究對象的放縮估計來解決問題的方法叫做放縮法。放縮法靈活、巧妙，但有賴于知識的拓展能力及其想象能力。

　　例16.求12和9的最小公倍數(shù)。

　　求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)一般的方法是“短除式”方法，它是根據(jù)這兩個數(shù)的質(zhì)因數(shù)情況來求出它們的最小公倍數(shù)的。但也有兩個典型方法：一是“如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)就是它們的乘積”;二是“如果大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)就是大數(shù)”?，F(xiàn)在我們根據(jù)典型方法二，進行擴展運用，放大“大數(shù)”來求12和9的最小公倍數(shù)。

　　12不是9的倍數(shù)，就把它放大2倍，得24，仍然不是9的倍數(shù)，放大3倍，得36，36是9的倍數(shù)，那么，12和9的最小公倍數(shù)就是36。這種方法的關鍵點在于，如果大數(shù)不是小數(shù)的倍數(shù)，就把大數(shù)翻倍，但一定從2倍開始，如果一下子擴大6倍，得數(shù)是它們的公倍數(shù)，而不是最小的了。

　　例17.期末考試，小剛的語文成績和英語成績的和是197分;語文和數(shù)學成績加起來是199分;數(shù)學和英語成績加起來是196分。想一想，小剛的哪科成績最高?你能算出小剛的各科成績嗎?

　　思路一：“放大”。通過觀察發(fā)現(xiàn)，語、數(shù)、外三科成績在題目中各出現(xiàn)兩次，我們求197+199+196的和，這個和是“語數(shù)外成績的2倍”，除以2得三科成績之和，再減去任意兩科的成績，就得到第三科的成績。

　　思路二：“縮小”。我們用語數(shù)成績的和減去語外的成績，199-197=2(分)，這是數(shù)學減英語成績的差。數(shù)學和英語的和是196分，再求數(shù)學的分數(shù)就不難了。

　　放縮法有時運用在估算和驗算上。

　　例18 .檢驗下列計算結果是否正確?

　　(1)18.7×6.9=137.3; (2)17485÷6.6=3609.

　　對于(1)用總體估計，放大至19×7=133，估計得數(shù)要小于133，所以本題結果錯誤。對于(2)用最高位估計，把17看作18，把6.6看作6，18÷6=3，顯然答數(shù)的最高位不會是3，故本題結果也不正確。

　　例19.把雞和兔放在一起，共有48個頭，114只足，問雞、兔各有幾只。

　　這是一道雞兔同籠的典型問題，我們也用放縮法，不妨把雞和兔的足數(shù)縮小2倍，那么，雞的足數(shù)和它的頭數(shù)一樣，而兔的足數(shù)是它的只數(shù)的2倍。所以，總的足數(shù)縮小2倍后，雞和兔的總足數(shù)與它們的總只數(shù)相差數(shù)就是兔的只數(shù)。

　　8、驗證法

　　你的結果正確嗎?不能只等教師的評判，重要的是自己心里要清楚，對自己的學習有一個清楚的評價，這是優(yōu)秀學生必備的學習品質(zhì)。

　　驗證法應用范圍比較廣泛，是需要熟練掌握的一項基本功。應當通過實踐訓練及其長期體驗積累，不斷提高自己的驗證能力和逐步養(yǎng)成嚴謹細致的好習慣。

　　(1)用不同的方法驗證。教科書上一再提出：減法用加法檢驗，加法用減法檢驗，除法用乘法驗算，乘法用除法驗算。

　　(2)代入檢驗。解方程的結果正確嗎?用代入法，看等號兩邊是否相等。還可以把結果當條件進行逆向推算。

　　(3)是否符合實際。“千教萬教教人求真，千學萬學學做真人”陶行知先生的話要落實在教學中。比如，做一套衣服需要4米布，現(xiàn)有布31米，可以做多少套衣服?有學生這樣做：31÷4≈8(套)

　　按照“四舍五入法”保留近似數(shù)無疑是正確的，但和實際不符合，做衣服的剩余布料只能舍去。教學中，常識性的東西予以重視。做衣服套數(shù)的近似計算要用“去尾法”。

　　(4)驗證的動力在猜想和質(zhì)疑。牛頓曾說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”“猜”也是解決問題的一種重要策略?？梢蚤_拓學生的思維、激發(fā)“我要學”的愿望。為了避免瞎猜，一定 學會驗證。驗證猜測結果是否正確，是否符合要求。如不符合要求，及時調(diào)整猜想，直到解決問題。

　　二、抽象思維方法

　　運用概念、判斷、推理來反映現(xiàn)實的思維過程，叫抽象思維，也叫邏輯思維。

　　抽象思維又分為：形式思維和辯證思維。客觀現(xiàn)實有其相對穩(wěn)定的一面，我們就可以采用形式思維的方式;客觀存在也有其不斷發(fā)展變化的一面，我們可以采用辯證思維的方式。形式思維是辯證思維的基礎。

　　形式思維能力：分析、綜合、比較、抽象、概括、判斷、推理。

　　辯證思維能力：聯(lián)系、發(fā)展變化、對立統(tǒng)一律、質(zhì)量互變律、否定之否定律。

　　小學數(shù)學要培養(yǎng)學生初步的抽象思維能力，重點突出在：(1)思維品質(zhì)上，應該具備思維的敏捷性、靈活性、聯(lián)系性和創(chuàng)造性。(2)思維方法上，應該學會有條有理，有根有據(jù)地思考。(3)思維要求上，思路清晰，因果分明，言必有據(jù)，推理嚴密。(4)思維訓練上，應該要求：正確地運用概念，恰當?shù)叵屡袛啵虾踹壿嫷赝评怼?/p>

　　9、對照法

　　如何正確地理解和運用數(shù)學概念?小學數(shù)學常用的方法就是對照法。根據(jù)數(shù)學題意，對照概念、性質(zhì)、定律、法則、公式、名詞、術語的含義和實質(zhì)，依靠對數(shù)學知識的理解、記憶、辨識、再現(xiàn)、遷移來解題的方法叫做對照法。

　　這個方法的思維意義就在于，訓練學生對數(shù)學知識的正確理解、牢固記憶、準確辨識。

　　例20.個連續(xù)自然數(shù)的和是18，則這三個自然數(shù)從小到大分別是多少?

　　對照自然數(shù)的概念和連續(xù)自然數(shù)的性質(zhì)可以知道：三個連續(xù)自然數(shù)和的平均數(shù)就是這三個連續(xù)自然數(shù)的中間那個數(shù)。

　　例21.判斷：能被2除盡的數(shù)一定是偶數(shù)。

　　這里要對照“除盡”和“偶數(shù)”這兩個數(shù)學概念。只有這兩個概念全理解了，才能做出正確判斷。

　　10、公式法

　　運用定律、公式、規(guī)則、法則來解決問題的方法。它體現(xiàn)的是由一般到特殊的演繹思維。公式法簡便、有效，也是小學生學習數(shù)學必須學會和掌握的一種方法。但一定要讓學生對公式、定律、規(guī)則、法則有一個正確而深刻的理解，并能準確運用。

　　例22.計算59×37+12×59+59

　　59×37+12×59+59

　　=59×(37+12+1)　…………運用乘法分配律

　　=59×50　　　　　 …………運用加法計算法則

　　=(60-1) ×50　　 …………運用數(shù)的組成規(guī)則

　　=60×50-1×50　 …………運用乘法分配律

　　=3000-50　　　　 …………運用乘法計算法則

　　=2950　　　　　　 …………運用減法計算法則

　　11.比較法

　　通過對比數(shù)學條件及問題的異同點，研究產(chǎn)生異同點的原因，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，叫比較法。

　　比較法要注意：

　　(1)找相同點必找相異點，找相異點必找相同點，不可或缺，也就是說，比較要完整。

　　(2)找聯(lián)系與區(qū)別，這是比較的實質(zhì)。

　　(3)必須在同一種關系下(同一種標準)進行比較，這是“比較”的基本條件。

　　(4)要抓住主要內(nèi)容進行比較，盡量少用“窮舉法”進行比較，那樣會使重點不突出。

　　(5)因為數(shù)學的嚴密性，決定了比較必須要精細，往往一個字，一個符號就決定了比較結論的對或錯。

　　例23.填空：0.75的最高位是( )，這個數(shù)小數(shù)部分的最高位是( );十分位的數(shù)4與十位上的數(shù)4相比，它們的( )

　　相同，( )不同，前者比后者小了( )。

　　這道題的意圖就是要對“一個數(shù)的最高位和小數(shù)部分的最高位的區(qū)別”，還有“數(shù)位和數(shù)值”的區(qū)別等。

　　例24.六年級同學種一批樹，如果每人種5棵，則剩下75棵樹沒有種;如果每人種7棵，則缺少15棵樹苗。六年級有多少學生?

　　這是兩種方案的比較。相同點是：六年級人數(shù)不變;相異點是：兩種方案中的條件不一樣。

　　找聯(lián)系：每人種樹棵數(shù)變化了，種樹的總棵數(shù)也發(fā)生了變化。

　　找解決思路(方法)：每人多種7-5=2(棵)，那么，全班就多種了75+15=90(棵)，全班人數(shù)為90÷2=45(人)。

　　12、分類法

　　俗語：物以類聚，人以群分。

　　根據(jù)事物的共同點和差異點將事物區(qū)分為不同種類的方法，叫做分類法。分類是以比較為基礎的。依據(jù)事物之間的共同點將它們合為較大的類，又依據(jù)差異點將較大的類再分為較小的類。

　　分類即要注意大類與小類之間的不同層次，又要做到大類之中的各小類不重復、不遺漏、不交叉。

　　例25.自然數(shù)按約數(shù)的個數(shù)來分，可分成幾類?

　　答：可分為三類。(1)只有一個約數(shù)的數(shù)，它是一個單位數(shù)，只有一個數(shù)1;(2)有兩個約數(shù)的，也叫質(zhì)數(shù)，有無數(shù)個;(3)有三個約數(shù)的，也叫合數(shù)，也有無數(shù)個。