非線性是什么意思與線性的區(qū)別是什么(2)
(2) 非線性的物理機制
相對于非線性的數(shù)學(xué)表達而言，它的物理機制是更重要的，也是我們更感興趣的。非線性的物理機制有很多方面，至于哪方面是最根本的，還沒有—致的認識。從非線性的定義來看，可以把非線性的物理機制表述為：一個測度的變化受到兩個、兩種或更多因素的聯(lián)合影響，換言之就是非—次項的影響。具體的非線性方式?jīng)Q定于參與聯(lián)合作用的因素間聯(lián)合作用的方式，如：兩種或多種因素聯(lián)合作用，Lorenz吸引子中的X·Z是X與Z的聯(lián)合作用;牛頓第二定律F=m·a2中，a2= a·a 是兩個相同的對人有意義的物理變量a與a的聯(lián)合作用。下面從相互作用、耗散性、有限性、多值性四個方面具體地討論非線性的物理機制。
①相互作用
非線性的—個最主要的物理機制，可以說就是相互作用。之所以說世界在本質(zhì)上是非線性的，在很大程度上就是由于相互作用的普遍存在，完全孤立的事物是沒有的(即使有，在原則上它的存在本身也就包含了它與認識主體——人的相互作用)。實際上，我們遇到的大都是處于某種相互作用網(wǎng)之中的事物，而任何事物在受其它事物作用、影響的同時，也作用于、影響著其它的事物，正如牛頓第三定律所表述的那樣，作用與反作用是同時存在的，所以，我們要想準確地、深刻地認識一個事物，就要把該系統(tǒng)在其它系統(tǒng)作用下的行為規(guī)律與該系統(tǒng)對其它系統(tǒng)的影響聯(lián)合起來考慮。這種雙向的作用—般就出現(xiàn)非線性項，成為非線性問題。例如：場對粒子運動有作用，粒子的運動也使場發(fā)生變化，這時場方程和粒子運動方程就要聯(lián)合起來考察，從而使之成為非線性問題，再如，人與自然、主體與客體都是雙向作用的關(guān)系，原則上都將是非線性問題。
其實，雙向作用的存在必將使其中之一通過對方而作用于自身，從而形成正的或負的反饋回路，起到放大或抑制的作用，使任何初始變化都會產(chǎn)生不成比例的響應(yīng)，呈現(xiàn)出非線性現(xiàn)象。
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這里所說的耗散性，是指能推動并維持系統(tǒng)遠離平衡態(tài)的耗散性，而不是近平衡區(qū)內(nèi)較弱的耗散性。
系統(tǒng)對能量的耗散是一個不可逆過程，輸入系統(tǒng)的能量在流經(jīng)輸入端和輸出端過程中，驅(qū)動系統(tǒng)做某種單向的不可逆的運動，其間會使子系統(tǒng)間產(chǎn)生非線性連接，實現(xiàn)協(xié)同運動，從而形成宏觀有序狀態(tài)。能量在系統(tǒng)內(nèi)的耗散，相當于為系統(tǒng)內(nèi)某些運動按了一個“泵”，這個泵的作用在很多的情況下，就是系統(tǒng)非線性現(xiàn)象的根源。例如：在Bénard實驗中，扮演非線性現(xiàn)象物理機制的正是耗散性，耗散性的不斷加強，使系統(tǒng)達到遠離平衡態(tài)，產(chǎn)生規(guī)則的宏觀結(jié)構(gòu)以至呈現(xiàn)混沌狀態(tài);與此類似的如：Lorenz吸引子的機制是太陽光加熱大氣，大氣在能量耗散過程中，為耗散性所驅(qū)動而產(chǎn)生混沌運動：再如：畫包師變換中，無論是拉伸，還是折疊操作，實際上都是—種能量耗散過程。
從另一個角度說，對能量的耗散增強，使子系統(tǒng)相互作用程度增強、方式增多，也就使系統(tǒng)可能有的穩(wěn)態(tài)的數(shù)目越來越多，局域穩(wěn)定性越來越小，直到極端的混沌狀態(tài)。在這—過程中，對系統(tǒng)未來的發(fā)展軌跡將難以準確預(yù)測，即未來現(xiàn)實發(fā)展道路的可能性越來越多，簡并程度越來越高，因而可預(yù)測性越來越弱。這意味著耗散性導(dǎo)致了系統(tǒng)宏觀運動時間反演對稱性的破缺，也就是說當耗散加強時，原則上從系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)無法精確預(yù)測其未來的狀態(tài)，未來不包含于現(xiàn)在之中，它有“新質(zhì)”產(chǎn)生。
?、?有限性
現(xiàn)實的、具體的自然都是有限的自然，有限性及其結(jié)果蘊含于一切事物之中，在相應(yīng)的方面規(guī)定著一切事物的性質(zhì)。我們應(yīng)該把有限性作為考慮一切事物的基本前提之—，作為自然界的—個基本事實。
有限性在一定情況下必然導(dǎo)致非線性，它是非線性的另一個重要機制。抽象地說，有限的事物相對于無限的事物而言喪失了許多對稱性， 因而作用于其上的操作及結(jié)果都可能對應(yīng)著由有限性直接導(dǎo)致的非對稱性。具體地，如Robort May用以研究小生境的蟲口模型 ，其非線性項的存在，就是由于環(huán)境容量R的有限造成的，如果R無限大，那么此模型就自然成為線性的了;拉伸機制與有限性造成的壓縮機制的結(jié)合，才使奇異吸引子呈現(xiàn)局部不穩(wěn)定性和整體穩(wěn)定性，產(chǎn)生特定的非線性形式——混沌;除此之外，各種相互作用速度的有限、時空域的有限、結(jié)構(gòu)方式的有限等等都可成為導(dǎo)致非線性的物理機制。
④多值性
動力系統(tǒng)中常會出現(xiàn)某些變量的一個值對應(yīng)著其它變量多個值的情況，從物理上說， 就是相同的條件對應(yīng)著多種可能的狀態(tài)，約束條件的弱化使系統(tǒng)狀態(tài)的簡并性強化，使可能性非唯—化。多值性的存在，也就自然產(chǎn)生了多值解和對多種可能解的選擇，多值性越強，系統(tǒng)就可能越復(fù)雜，相對于一定的多值性系統(tǒng)就會有相應(yīng)的隨機性。多值性的存在實際上是約束的有限造成的，對于有限約束所不能制約的方面，系統(tǒng)存在于它的一切可能性之中。
多值性在動力學(xué)方程中必然表現(xiàn)為非線性，因為只有非線性關(guān)系才具有多值性，線性關(guān)系不可能有多值性。例如：倍周期分叉過程，在分叉點一側(cè)出現(xiàn)非唯一穩(wěn)定軌道，使系統(tǒng)的演化軌跡出現(xiàn)隨機性、復(fù)雜性，—方面可以說這里是非線性產(chǎn)生了多值性，另一方面也可以說這里的非線性物理機制正是系統(tǒng)的多值性。再如：哈密頓系統(tǒng)的三體問題，在考慮小質(zhì)量物體運動時，由于兩個大質(zhì)量物體造成的引力勢場中，存在引力勢為0的面、點等特殊空時區(qū)域(即兩個大質(zhì)量物體的作用相互抵消的地方)，小質(zhì)量物體在這些特殊區(qū)域的可能軌道就有了多種選擇，即約束的弱化造成了系統(tǒng)可能狀態(tài)的多值化。這種多值性在數(shù)學(xué)上就表現(xiàn)為非線性，它是復(fù)雜現(xiàn)象的重要根源之—。
(3)非線性與穩(wěn)定性的關(guān)系
穩(wěn)定性問題是我們研究系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的一個先驗角度，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件、機制、類型， 失穩(wěn)的條件、機制、類型，及由穩(wěn)定到不穩(wěn)定，由不穩(wěn)定到穩(wěn)定的—般規(guī)律，對于我們理解一般系統(tǒng)和具體系統(tǒng)的動力學(xué)行為都是極為重要的。而穩(wěn)定性與非線性有著密切的關(guān)系， 簡言之，處于穩(wěn)定的系統(tǒng)，必然存在非線性的李雅普諾夫函數(shù)(Lyapunov function)。
所謂穩(wěn)定性是用來刻劃系統(tǒng)在受到擾動后的行為的，“事物的存在方式或運動狀態(tài)，不會因為擾動、起伏漲落而改變就謂之穩(wěn)定。如果有一個或多個小的擾動，使系統(tǒng)的存在方式或運動狀態(tài)發(fā)生了改變，而后，系統(tǒng)又能克服擾動自動地回到未受擾動前的狀態(tài)，這種系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。”其實，所謂穩(wěn)定都是相對于—定的擾動而言的，系統(tǒng)的抗擾能力可用穩(wěn)定程度來標度，穩(wěn)定程度是我們對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行區(qū)分、刻劃的不可缺少的變量。
穩(wěn)定性有多種類型，我們這里所說的是局域穩(wěn)定性，即“相對于—定的擾動而言，系統(tǒng)是穩(wěn)定的”，它包含了兩個方面的意思，①在我們考察的系統(tǒng)狀態(tài)附近存在Lyapunov函數(shù)， ②環(huán)境擾動小于由Lyapunov函數(shù)的存在域確定的系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。
來源于Lyapunov第一穩(wěn)定性定理：令 ，x0是一定點( 。假定存在一個函數(shù) 使(a) ，且在 的某個鄰域內(nèi)，如果 ， >0，(b)在那個鄰域內(nèi) ，那么 是穩(wěn)定的。”滿足這兩個條件的函數(shù) 叫嚴格的Lyapunov函數(shù)。由(a)可見， 為 的極小點，處于穩(wěn)定狀態(tài)的系統(tǒng)，可以找到其Lyapunov函數(shù) ，此 在穩(wěn)定點附近是凹形的，即 不可能有 = 的線性形式，而只能是非線性的。由(b) ，其實就是 ，保證了 沿 減小的路徑位移，對于足夠小的擾動 將返回x0， 的這種性質(zhì)，反映了系統(tǒng)具有占優(yōu)勢的維持穩(wěn)定的機制，這種機制的存在保證了系統(tǒng)對所有小于穩(wěn)定程度的漲落的有效阻尼。在保守系統(tǒng)中， 多數(shù)情況下就是能量，一定范圍的凹形 ，就是具有一定深度的勢阱的勢函數(shù)，維持穩(wěn)定的力則是與函數(shù)相應(yīng)的回復(fù)力。
總之，無論 是線性的，還是非線性的，只要它是穩(wěn)定的，那么它就對應(yīng)著某個非線性的Lyapunov函數(shù) 。
如：超循環(huán)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性來源于子系統(tǒng)間的功能耦合造成的非線性;耗散結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性源于子系統(tǒng)間的協(xié)同相互作用，這種相互作用也是非線性的;倍周期分叉序列及混沌區(qū)中的周期窗口，這些軌道的穩(wěn)定也都是非線性機制產(chǎn)生的;奇異吸引子的整體穩(wěn)定性是系統(tǒng)的耗散性這一非線性機制的結(jié)果?？梢哉f，穩(wěn)態(tài)存在的地方，必然存在非線性。
不穩(wěn)定在數(shù)學(xué)上對應(yīng)著勢函數(shù)的極大區(qū)域，勢函數(shù)是凸的，其中包括函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)等于0，二階導(dǎo)數(shù)小于0的極大值點;物理上，勢阱深度小于等于內(nèi)外漲落的強度。顯然線性關(guān)系不會造成這種不穩(wěn)定性，不穩(wěn)定機制是一種非線性機制。上文所談及的各種非線性物理機制在一定情況下都將導(dǎo)致不穩(wěn)定性。
造成混沌軌道指數(shù)發(fā)散的伸縮變換是—種非線性操作，它使系統(tǒng)敏感初條件、極不穩(wěn)定;在單峰映射中，無淪在 倍周期分叉點，還是在混沌區(qū)內(nèi)周期窗口結(jié)束時，都是非線性機制使原來的穩(wěn)定的軌道失穩(wěn)，而后才進入新的軌道。
在耗散結(jié)構(gòu)理論中，系統(tǒng)演化過程中熱力學(xué)分枝的失穩(wěn)、穩(wěn)定的耗散結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，其機制是子系統(tǒng)間通過相互作用實現(xiàn)的協(xié)同運動，而這種相互作用正是非線性的一種重要物理機制。
生物體在無外界物質(zhì)、能量輸入時，它的耗散機制會使其失穩(wěn)而滑向熱力學(xué)平衡態(tài);在保守系統(tǒng)中，隨機網(wǎng)的存在使系統(tǒng)在一定程度上呈現(xiàn)不穩(wěn)定性。這些起不穩(wěn)定作用的機制都是我們已討論的非線性機制。
綜合以上兩個方面可見，非線性既是穩(wěn)定的原因，也是不穩(wěn)定的原因，在不同情況下它扮演不同的角色。非線性同是穩(wěn)定和不穩(wěn)定的必要條件，而不是它們的充分條件，系統(tǒng)穩(wěn)定與否和非線性機制沒有對應(yīng)關(guān)系，系統(tǒng)的穩(wěn)定或不穩(wěn)定在不同情況下對應(yīng)于某些非線性機制或某些非線性機制與其它因素的結(jié)合方式。例如：在混沌現(xiàn)象中，非線性機制產(chǎn)生奇異吸引子相空間的局部不穩(wěn)定性，整體耗散性或有限性等非線性機制造成奇異吸引子的整體穩(wěn)定性，兩者的結(jié)合才產(chǎn)生了具有特定分維的奇異吸引子;在孤立子現(xiàn)象中，非線性項與色散項的巧妙平衡才使?jié)M足KdV方程的孤立子呈現(xiàn)穩(wěn)定性，成為純粹的擬序結(jié)構(gòu)。所以在考察非線性與穩(wěn)定性問題時，要依據(jù)具體情況做具體分析。
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