高一數(shù)學下冊期末試卷及答案
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一.選擇題
1.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且有三個零點x1、x2、x3，則x1+x2+x3的值為( )
A.-1 B.0
C.3 D.不確定
[答案] B
[解析] 因為f(x)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，它有三個零點，即f(x)的圖象與x軸有三個交點，故必有一個為原點另兩個橫坐標互為相反數(shù).
∴x1+x2+x3=0.
2.已知f(x)=-x-x3，x∈[a，b]，且f(a)?f(b)<0，則f(x)=0在[a，b]內(nèi)( )
A.至少有一實數(shù)根 B.至多有一實數(shù)根
C.沒有實數(shù)根 D.有惟一實數(shù)根
[答案] D
[解析] ∵f(x)為單調減函數(shù)，
x∈[a，b]且f(a)?f(b)<0，
∴f(x)在[a，b]內(nèi)有惟一實根x=0.
3.(09?天津理)設函數(shù)f(x)=13x-lnx(x>0)則y=f(x)( )
A.在區(qū)間1e，1，(1，e)內(nèi)均有零點
B.在區(qū)間1e，1，(1，e)內(nèi)均無零點
C.在區(qū)間1e，1內(nèi)有零點;在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點
D.在區(qū)間1e，1內(nèi)無零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點
[答案] D
[解析] ∵f(x)=13x-lnx(x>0)，
∴f(e)=13e-1<0，
f(1)=13>0，f(1e)=13e+1>0，
∴f(x)在(1，e)內(nèi)有零點，在(1e，1)內(nèi)無零點.故選D.
4.(2010?天津文，4)函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點所在的一個區(qū)間是( )
A.(-2，-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
[答案] C
[解析] ∵f(0)=-1<0，f(1)=e-1>0，
即f(0)f(1)<0，
∴由零點定理知，該函數(shù)零點在區(qū)間(0,1)內(nèi).
5.若方程x2-3x+mx+m=0的兩根均在(0，+∞)內(nèi)，則m的取值范圍是( )
A.m≤1 B.0C.m>1 D.0[答案] B
[解析] 設方程x2+(m-3)x+m=0的兩根為x1，x2，則有Δ=(m-3)2-4m≥0，且x1+x2=3-m>0，x1?x2=m>0，解得06.函數(shù)f(x)=(x-1)ln(x-2)x-3的零點有( )
A.0個 B.1個
C.2個 D.3個
[答案] A
[解析] 令f(x)=0得，(x-1)ln(x-2)x-3=0，
∴x-1=0或ln(x-2)=0，∴x=1或x=3，
∵x=1時，ln(x-2)無意義，
x=3時，分母為零，
∴1和3都不是f(x)的零點，∴f(x)無零點，故選A.
7.函數(shù)y=3x-1x2的一個零點是( )
A.-1 B.1
C.(-1,0) D.(1,0)
[答案] B
[點評] 要準確掌握概念，“零點”是一個數(shù)，不是一個點.
8.函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，若f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1,2)上零點的個數(shù)為( )
A.至多有一個 B.有一個或兩個
C.有且僅有一個 D.一個也沒有
[答案] C
[解析] 若a=0，則b≠0，此時f(x)=bx+c為單調函數(shù)，
∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且僅有一個零點;
若a≠0，則f(x)為開口向上或向下的拋物線，若在(1,2)上有兩個零點或無零點，則必有f(1)?f(2)>0，
∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且僅有一個零點，故選C.
9.(哈師大附中2009～2010高一期末)函數(shù)f(x)=2x-log12x的零點所在的區(qū)間為( )
A.0，14 B.14，12
C.12，1 D.(1,2)
[答案] B
[解析] ∵f14=214-log1214=42-2<0，f12=2-1>0，f(x)在x>0時連續(xù)，∴選B.
10.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為( )
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
[答案] C
[解析] 令f(x)=ex-x-2，則f(1)?f(2)=(e-3)(e2-4)<0，故選C.
二、填空題
11.方程2x=x3精確到0.1的一個近似解是________.
[答案] 1.4
12.方程ex-x-2=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解有________個.
[答案] 2
三、解答題
13.借助計算器或計算機，用二分法求方程2x-x2=0在區(qū)間(-1,0)內(nèi)的實數(shù)解(精確到0.01).
[解析] 令f(x)=2x-x2，∵f(-1)=2-1-(-1)2=-12<0，f(0)=1>0，
說明方程f(x)=0在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有一個零點.
取區(qū)間(-1,0)的中點x1=-0.5，用計算器可算得f(-0.5)≈0.46>0.因為f(-1)?f(-0.5)<0，所以x0∈(-1，-0.5).
再取(-1，-0.5)的中點x2=-0.75，用計算器可算得f(-0.75)≈-0.03>0.因為f(-1)?f(-0.75)<0，所以x0∈(-1，-0.75).
同理，可得x0∈(-0.875，-0.75)，x0∈(-0.8125，-0.75)，x0∈(-0.78125，-0.75)，x0∈(-0.78125，-0.765625)，x0∈(-0.7734375，-0.765625).
由于|(-0.765625)-(0.7734375)|<0.01，此時區(qū)間(-0.7734375，-0.765625)的兩個端點精確到0.01的近似值都是-0.77，所以方程2x-x2=0精確到0.01的近似解約為-0.77.
14.證明方程(x-2)(x-5)=1有兩個相異實根，且一個大于5，一個小于2.
[解析] 令f(x)=(x-2)(x-5)-1
∵f(2)=f(5)=-1<0，且f(0)=9>0.
f(6)=3>0.
∴f(x)在(0,2)和(5,6)內(nèi)都有零點，又f(x)為二次函數(shù)，故f(x)有兩個相異實根，且一個大于5、一個小于2.
15.求函數(shù)y=x3-2x2-x+2的零點，并畫出它的簡圖.
[解析] 因為x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)
=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x-1)(x+1)，
所以函數(shù)的零點為-1,1,2.
3個零點把x軸分成4個區(qū)間：
(-∞，-1]，[-1,1]，[1,2]，[2，+∞].
在這4個區(qū)間內(nèi)，取x的一些值(包括零點)，列出這個函數(shù)的對應值(取精確到0.01的近似值)表：
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …
y … -4.38 0 1.88 2 1.13 0 -0.63 0 2.63 …
在直角坐標系內(nèi)描點連線，這個函數(shù)的圖象如圖所示.
16.借助計算器或計算機用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在區(qū)間(-1,0)內(nèi)的近似解.(精確到0.1)
[解析] 原方程為x3-4x2+x+5=0，令f(x)=x3-4x2+x+5.∵f(-1)=-1，f(0)=5，f(-1)?f(0)<0，∴函數(shù)f(x)在(-1,0)內(nèi)有零點x0.
取(-1,0)作為計算的初始區(qū)間用二分法逐步計算，列表如下
端點或中點橫坐標 端點或中點的函數(shù)值 定區(qū)間
a0=-1，b0=0 f(-1)=-1，f(0)=5 [-1,0]
x0=-1+02=-0.5
f(x0)=3.375>0 [-1，-0.5]
x1=-1+(-0.5)2=-0.75 f(x1)≈1.578>0 [-1，-0.75]
x2=-1+(-0.75)2=-0.875 f(x2)≈0.393>0 [-1，-0.875]
x3=-1-0.8752=-0.9375 f(x3)≈-0.277<0 [-0.9375，-0.875]
∵|-0.875-(-0.9375)|=0.0625<0.1，
∴原方程在(-1,0)內(nèi)精確到0.1的近似解為-0.9.
17.若函數(shù)f(x)=log3(ax2-x+a)有零點，求a的取值范圍.
[解析] ∵f(x)=log3(ax2-x+a)有零點，
∴l(xiāng)og3(ax2-x+a)=0有解.∴ax2-x+a=1有解.
當a=0時，x=-1.
當a≠0時，若ax2-x+a-1=0有解，
則Δ=1-4a(a-1)≥0，即4a2-4a-1≤0，
解得1-22≤a≤1+22且a≠0.
綜上所述，1-22≤a≤1+22.
18.判斷方程x3-x-1=0在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)有無實數(shù)解;如果有，求出一個近似解(精確到0.1).
[解析] 設函數(shù)f(x)=x3-x-1，因為f(1)=-1<0，f(1.5)=0.875>0，且函數(shù)f(x)=x3-x-1的圖象是連續(xù)的曲線，所以方程x3-x-1=0在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)有實數(shù)解.
取區(qū)間(1,1.5)的中點x1=1.25，用計算器可算得f(1.25)=-0.30<0.因為f(1.25)?f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5).
再取(1.25,1.5)的中點x2=1.375，用計算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因為f(1.25)?f(1.375)<0，所以x0∈(1.25，1.375).
同理，可得x0∈(1.3125,1.375)，x0∈(1.3125，1.34375).
由于|1.34375-1.3125|<0.1，此時區(qū)間(1.3125，1.34375)的兩個端點精確到0.1的近似值是1.3，所以方程x3-x-1=0在區(qū)間[1,1.5]精確到0.1的近似解約為1.3.
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