江西省高考文科數(shù)學(xué)一模試卷(2)
江西省高考文科數(shù)學(xué)一模試卷
江西省高考文科數(shù)學(xué)一模試卷答案
一、選擇題(本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1.設(shè)集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，則∁U(A∪B)=( )
A.{2} B.{3} C.{1，2，4} D.{1，4}
【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.
【分析】根據(jù)并集的含義先求A∪B，注意2只能寫一個(gè)，再根據(jù)補(bǔ)集的含義求解.
【解答】解：集合A∪B={1，2，4}，則CU(A∪B)={3}，
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查集合的基本運(yùn)算，較簡單.
2.復(fù)數(shù)z滿足(z﹣i)(2﹣i)=5，則z所對應(yīng)的點(diǎn)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.
【分析】由(z﹣i)(2﹣i)=5，得 ，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，求出z所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求.
【解答】解：由(z﹣i)(2﹣i)=5，
得 = ，
則z所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：(2，2)，位于第一象限.
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.
3.設(shè)命題p：函數(shù)y=f(x)不是偶函數(shù)，命題q：函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù)，則p是q的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】由q⇒p，反之不成立.例如取f(x)=(x﹣1)2不是偶函數(shù)，但是此函數(shù)在R上不單調(diào).
【解答】解：命題p：函數(shù)y=f(x)不是偶函數(shù)，命題q：函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù)，
則q⇒p，反之不成立.例如f(x)=(x﹣1)2不是偶函數(shù)，但是此函數(shù)在R上不單調(diào).
則p是q的必要不充分條件.
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
4.從1，2，3，4，5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)不相鄰的概率為( )
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.
【分析】求出基本事件總數(shù)為n= =10，再利用對立事件及列舉法求出這兩個(gè)數(shù)不相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這兩個(gè)數(shù)不相鄰的概率.
【解答】解：從1，2，3，4，5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，
基本事件總數(shù)為n= =10，
這兩個(gè)數(shù)相鄰包含的基礎(chǔ)事件有：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，
∴這兩個(gè)數(shù)不相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)m=10﹣4=6，
則這兩個(gè)數(shù)不相鄰的概率為p= .
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計(jì)算公式及列舉法的合理運(yùn)用.
5.設(shè)變量x，y滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最大值是( )
A.10 B.9 C.8 D.7
【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.
【分析】確定不等式組表示的平面區(qū)域，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求得最值.
【解答】解：約束條件對應(yīng)的可行域?yàn)橹本€x+2y﹣5=0，x﹣y﹣2=0，x=0圍成的三角形及其內(nèi)部;
三頂點(diǎn)為 ，
當(dāng)z=2x+3y過點(diǎn)(3，1)時(shí)取得最大值9，
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查線性規(guī)劃知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.
6.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為( )
A.2 B.3 C. D.
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，可得S1+3S3=2×2S2，即4a1+a2+a3=4(a1+a2)，化簡即可得出.
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，∴S1+3S3=2×2S2，
∴4a1+a2+a3=4(a1+a2)，化為：a3=3a2，解得q=3.
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
7.如圖是一個(gè)幾何體挖去另一個(gè)幾何體所得的三視圖，若主視圖中長方形的長為2，寬為1，則該幾何體的表面積為( )
A.( +1)π B.( +2)π C.( +3)π D.( +4)π
【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.
【分析】由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體，即可得出該幾何體的表面積.
【解答】解：由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體，
∴該幾何體的表面積S=π×12+2π×1×1+ ×2 =(3+ )π.
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查了圓柱與圓錐的三視圖及其表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
8.拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三角形OAF的面積為1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則p的值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).
【分析】根據(jù)A是C上一點(diǎn)，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三角形OAF的面積為1，建立方程，即可求出p的值.
【解答】解：設(shè)A(a，b)，則b2=2pa， =1，a+ =2a，
解得p=2，
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
9.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|< )的部分圖象如圖，f( )=﹣1，則f(0)的值為( )
A.1 B. C. D.
【考點(diǎn)】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.
【分析】由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，由函數(shù)的特殊值求出A，可得函數(shù)的解析式，從而求得f(0)的值.
【解答】解：根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|< )的部分圖象，
可得 = = ﹣ ，∴ω=3.
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得3• +φ= ，∴φ= ，故f(x)=Asin(3x+ ).
∵f( )=Asin( + )=﹣Acos =﹣A• =﹣1，∴A= ，則f(0)= sin =1，
故選：A.
【點(diǎn)評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，由函數(shù)的特殊值求出A，屬于基礎(chǔ)題.
10.秦九韶是我國南宋時(shí)代的數(shù)學(xué)家，其代表作《數(shù)書九章》是我國13世紀(jì)數(shù)學(xué)成就的代表之一，秦九韶利用其多項(xiàng)式算法，給出了求高次代數(shù)方程的完整算法，這一成就比西方同樣的算法早五六百年，如圖是該算法求函數(shù)f(x)=x3+x+1零點(diǎn)的程序框圖，若輸入x=﹣1，c=1，d=0.1，則輸出的x的值為( )
A.﹣0.6 B.﹣0.69 C.﹣0.7 D.﹣0.71
【考點(diǎn)】程序框圖.
【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，即可得出結(jié)論.
【解答】解：x=﹣1，f(﹣1)=﹣1<0，c>d，x=﹣1+1=0，
第二次循環(huán)，x=0，f(0)=1>0，x=0﹣1=﹣1，c=0.1=d，x=﹣0.9
第3次循環(huán)，x=﹣0.9，f(﹣0.9)<0，x=﹣0.8，
第3次循環(huán)，x=﹣0.8，f(﹣0.8)<0，x=﹣0.7，
第4次循環(huán)，x=﹣0.7，f(﹣0.7)<0，x=﹣0.6，
第5次循環(huán)，x=﹣0.6，f(﹣0.6)>0，x=﹣0.7，c=0.01
停止循環(huán)，輸出﹣0.7，
故選C.
【點(diǎn)評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確依次寫出每次循環(huán)得到的x的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查.
11.已知函數(shù)f(x)=|2x﹣2|+b的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1，x2(x1>x2)，則下列結(jié)論正確的是( )
A.1
C.x1>1，x1+x2<2 D.x1>1，x1+x2<1
【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.
【分析】函數(shù)f(x)=|2x﹣2|+b的有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=|2x﹣2|與y=﹣b有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是x1，x2(x1>x2)，在同一坐標(biāo)系中畫出y=|2x﹣2|與y=﹣b的圖象，根據(jù)圖象可判定.
【解答】解：函數(shù)f(x)=|2x﹣2|+b的有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=|2x﹣2|與y=﹣b有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是x1，x2(x1>x2)，
在同一坐標(biāo)系中畫出y=|2x﹣2|與y=﹣b的圖象(如下)，可知1
， ，⇒ ，⇒x1+x2<2.
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的交點(diǎn)間的轉(zhuǎn)化，利用圖象的交點(diǎn)情況，確定零點(diǎn)情況是常用的方法，屬于中檔題.
12.在三棱錐ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜邊上的高為1，三棱錐ABCD的外接球的直徑是AB，若該外接球的表面積為16π，則三棱錐ABCD體積的最大值為( )
A. B. C.1 D.
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積.
【分析】當(dāng)AD⊥平面BCD時(shí)，以CB、CD、CA為棱構(gòu)造長方體，此時(shí)三棱錐ABCD的外接球即該長方體的外接球，其直徑為AB，由已知得當(dāng)a=b= 時(shí)，AC=2 ，此時(shí)三棱錐ABCD體積為V= .由此排除A，B，C選項(xiàng).
【解答】解：當(dāng)AD⊥平面BCD時(shí)，以CB、CD、CA為棱構(gòu)造長方體，
此時(shí)三棱錐ABCD的外接球即該長方體的外接球，其直徑為AB，
∵該外接球的表面積為16π，∴AB=4，
設(shè)BC=a，CD=b，∵在三棱錐ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜邊上的高為1，
∴BD= ，
設(shè)Rt△BCD斜邊上的高為CE，則CE=1，
由 ，得BD= =ab，
∵a>0，b>0，∴ =ab≥ ，即ab≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時(shí)，取等號，
∴當(dāng)a=b= 時(shí)， =2，解得AC=2 ，
此時(shí)三棱錐ABCD體積為V= = = .
由此排除A，B，C選項(xiàng)，
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13.設(shè)向量 =(1，x)， =(x，1)，若 • =﹣| |•| |，則x= ﹣1 .
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.
【分析】可先求出 ， ，然后代入 即可得到關(guān)于x的方程，解出x即可.
【解答】解： ， ;
∴由 得：2x=﹣(x2+1);
解得x=﹣1.
故答案為：﹣1.
【點(diǎn)評】考查向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度的方法.
14.若曲線f(x)= 在點(diǎn)(a，f(a))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為 ，則a的值為 1 .
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.
【分析】求導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程進(jìn)而可得切線的方程，可得其截距，運(yùn)用三角形的面積公式可得a的方程，解方程可得.
【解答】解：對y= 求導(dǎo)數(shù)可得y′= ，
∴曲線在P(a， )處的切線斜率為k= ，
∴切線方程為：y﹣ = (x﹣a)，
令x=0，可得y= ，即直線的縱截距為 ，
令y=0，可得x=﹣a，即直線的橫截距為﹣a，
∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：
S= | |•|﹣a|= ，解得a=1.
故答案為：1.
【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查三角形的面積公式，考查運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.
15.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d<0，前n項(xiàng)和為Sn，已知3 是﹣a2與a9的等比中項(xiàng)，S10=20，則d= ﹣2 .
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)定義、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，列出方程組，由此能求出公差d.
【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的公差d<0，前n項(xiàng)和為Sn，3 是﹣a2與a9的等比中項(xiàng)，S10=20，
∴ ，
解得a1=11，d=﹣2.
故答案為：﹣2.
【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的公差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
16.已知雙曲線C的方程為 ﹣ =1(a>0，b>0)，若C的右支上存在兩點(diǎn)A、B，使∠AOB=120°，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線C的離心率的取值范圍是 (2，+∞) .
【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì).
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由題意可得 >tan60°= ，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍.
【解答】解：由C的右支上存在兩點(diǎn)A、B，使∠AOB=120°，
而漸近線方程為y=± x，
可得 >tan60°= ，
即為b> a，即為b2>3a2，
即c2﹣a2>3a2，
即有c2>4a2，
即c>2a，
e= >2，
故答案為：(2，+∞).
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.
三、解答題
17.(12分)(2017•贛州一模)設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，3a=5csinA，cosB=﹣ .
(1)求sinA的值;
(2)設(shè)△ABC的面積為 ，求b.
【考點(diǎn)】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)cosB=﹣ ，B為鈍角，可得sinB= .由3a=5csinA，由正弦定理可得：3sinA=5sinCsinA，sinA≠0，可得sinC= ，cosC= .可得sinA=sin(B+C).
(2)利用正弦定理可得△ABC的面積為 = = × × ×sinB.
【解答】解：(1)∵cosB=﹣ ，∴B為鈍角，sinB= = .
∵3a=5csinA，由正弦定理可得：3sinA=5sinCsinA，sinA≠0，
可得sinC= ，cosC= = .
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= ﹣ = .
(2) ，可得a= ，c= .
△ABC的面積為 = = × × ×sinB= × ，
解得b=10.
【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
18.(12分)(2017•贛州一模)某學(xué)校對男女學(xué)生進(jìn)行有關(guān)“習(xí)慣與禮儀”的調(diào)查，分別隨機(jī)抽查了18名學(xué)生進(jìn)行評分(百分制：得分越高，習(xí)慣與禮儀越好)，評分記錄如下：
男生：44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94.
女生：51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，78，77，77，83，83，89，100
(1)請用莖葉圖表示上面的數(shù)據(jù)，并通過莖葉圖比較男女生“習(xí)慣與禮儀”評分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體的值，給出結(jié)論即可).
(2)記評分在60分以下的等級為較差，評分在60分以上的等級為較好，請完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“習(xí)慣與禮儀”與性別有關(guān)?并說明理由.
等級
性別 較差 較好 合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
附：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 K2=
k 3.841 6.635 10.828
【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用;莖葉圖.
【分析】(1)填寫莖葉圖，通過莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，
男生“習(xí)慣與禮儀”評分的平均值小于女生“習(xí)慣與禮儀”評分的平均值，
且男生“習(xí)慣與禮儀”評分分散程度較大些;
(2)填寫2×2列聯(lián)表，計(jì)算觀測值K2，比較得出結(jié)論.
【解答】解：(1)以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉，畫出莖葉圖，如圖所示;
通過莖葉圖知，男生“習(xí)慣與禮儀”評分分布在44～94之間，且集中在46～66之間;
女生“習(xí)慣與禮儀”評分分布在51～100之間，且集中在51～83之間;
所以，男生“習(xí)慣與禮儀”評分的平均值小于女生“習(xí)慣與禮儀”評分的平均值，
且男生“習(xí)慣與禮儀”評分分散程度較大些;
(2)填寫2×2列聯(lián)表，
等級
性別 較差 較好 合計(jì)
男生 10 8 18
女生 4 14 18
合計(jì) 14 22 36
計(jì)算觀測值K2= = ≈4.053>3.841，
所以有95%的把握認(rèn)為“習(xí)慣與禮儀”與性別有關(guān).
【點(diǎn)評】本題考查了莖葉圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，也考查了分析問題與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.
19.(12分)(2017•贛州一模)如圖，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1.
(1)求證：平面A1BC⊥平面ABC1;
(2)若∠A1AC=60°，CA=2，求三棱錐A1﹣B1BC的體積.
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積;平面與平面垂直的判定.
【分析】(1)推導(dǎo)出AC⊥BC，從而BC⊥側(cè)面ACC1A，進(jìn)而BC⊥AC1，再由A1B⊥AC1，得到AC1⊥平面A1BC，由此能證明平面A1BC⊥平面ABC1.
(2)三棱錐A1﹣B1BC的體積 = ，由此能求出結(jié)果.
【解答】證明：(1)∵側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，
∴AC⊥BC，∵側(cè)面ACC1A1∩底面ABC=AC，
∴BC⊥側(cè)面ACC1A，∵AC1⊂側(cè)面ACC1A1，∴BC⊥AC1，
∵A1B⊥AC1，BC∩A1B=B，∴AC1⊥平面A1BC，
∵AC1⊂ABC1，∴平面A1BC⊥平面ABC1.
解：(2)∵BC∥B1C1，AC1⊥平面A1BC，
∴B1到平面A1BC的距離d= AC1，
∵底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB=2，∠A1AC=60°，AC1⊥平面A1BC，
∴四邊形ACC1A1是邊長為2的菱形，∴d= = = ，A1C=2，
∴ = = =2，
∴三棱錐A1﹣B1BC的體積 = = = = .
【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的證明，考查柱、錐、臺體的體積，考查推理論證能力，考查空間想象能力與計(jì)算能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.
20.(12分)(2017•贛州一模)離心率為 的橢圓E： + =1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2+y2﹣2x=0的圓心重合.
(1)求E的方程;
(2)矩形ABCD的兩頂點(diǎn)C、D在直線y=x+2，A、B在橢圓E上，若矩形ABCD的周長為 ，求直線AB的方程.
【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系.
【分析】(1)由題意求得圓心坐標(biāo)，求得c，利用離心率求得a，則b2=a2﹣c2，即可求得橢圓方程;
(2)設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長公式求得丨AB丨，由兩平行之間的距離公式，由矩形的周長公式2(丨AB丨+d)= ，代入即可求得m的值，求得直線AB的方程.
【解答】解：(1)∵離心率為 的橢圓E： + =1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2+y2﹣2x=0的圓心重合，
圓x2+y2﹣2x=0的圓心為(1，0)，
∴ ，解得a= ，b=c=1，
∴橢圓E的方程為 .
(2)由題意設(shè)直線l的方程：y=x+m，A(x1，y1)、B(x2，y2)，
則 ，整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0，
由△=16m2﹣4×3(2m2﹣2)=﹣2m2+3>0，解得﹣
由韋達(dá)定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
則丨AB丨= • = • = ，
直線AB，CD之間的距離d= = ，
由矩形ABCD的周長為 ，則2(丨AB丨+d)= ，
則2( + )= ，解得：m=1，
則直線AB的方程為y=x+1.
【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及弦長公式，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，難度大，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，屬于中檔題.
21.(12分)(2017•贛州一模)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+2)ex.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x≥0時(shí)，恒有 ≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.
【分析】(1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的具體范圍即可.
【解答】解：(1)f′(x)=(x+3)ex，
令f′(x)>0，解得：x>﹣3，令f′(x)<0，解得：x<﹣3，
故函數(shù)f(x)在(﹣∞，﹣3)遞減，在(﹣3，+∞)遞增;
(2)a<0時(shí)，若x>﹣ ，則 ex<0， 不成立，
當(dāng)a≥0時(shí)，記g(x)=(x+1)ex﹣ax﹣1，則 ex≥1當(dāng)且僅當(dāng)g(x)≥0，
g′(x)=(x+2)ex﹣a，
當(dāng)x≥0時(shí)，(x+2)ex≥2，當(dāng)0≤a≤2時(shí)，g′(x)≥0，
故g(x)在[0，+∞)遞增，故g(x)≥g(0)=0，
a>2時(shí)，由(1)知g′(x)在[0，+∞)遞增，且g′(0)=2﹣a<0，
g′(a﹣2)=a(ea﹣2﹣1)>0，于是，g′(x)=0在[0，+∞)上有且只有1個(gè)實(shí)根，
不妨設(shè)該實(shí)根為x0，當(dāng)0
故x∈(0，x0)時(shí)，g(x)
綜上，實(shí)數(shù)a的范圍是[0，2].
【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22.(10分)(2017•贛州一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直線l： (t為參數(shù)，0≤α<π).
(1)求曲線C的參數(shù)方程;
(2)若直線l與曲線C相切，求直線l的傾斜角及切點(diǎn)坐標(biāo).
【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程;簡單曲線的極坐標(biāo)方程.
【分析】(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程，求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，得到曲線C是以C(2，0)為圓心，以r= 為半徑的圓，由此能求出曲線C的參數(shù)方程.
(2)直線l消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0.由直線l與曲線C相切，知圓心C(2，0)到直線l的距離d等于圓半徑r，由此能求出結(jié)果.
【解答】解：(1)∵曲線C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x+1=0，即(x﹣2)2+y2=3，
∴曲線C是以C(2，0)為圓心，以r= 為半徑的圓，
∴曲線C的參數(shù)方程為 .
(2)∵直線l： (t為參數(shù)，0≤α<π).
∴消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0.
∵直線l與曲線C相切，∴圓心C(2，0)到直線l的距離d等于圓半徑r，
即d= =2cosα= ，∴cos ，
∵0≤α<π，∴直線l的傾斜角α= ，
∴直線l的方程為 x﹣y﹣4 =0，
聯(lián)立 ，得x= ，y=﹣ ，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為( ，﹣ ).
【點(diǎn)評】本題考查曲線的參數(shù)方程的求法，考查直線的傾斜角和切點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用.
[選修4-5：不等式選講]
23.(2017•贛州一模)已知函數(shù)f(x)=|x|﹣|x﹣1|.
(1)若關(guān)于x的不等式f(x)≥|m﹣1|的解集非空，求實(shí)數(shù)m的取值集合M.
(2)記(1)中數(shù)集M中的最大值為k，正實(shí)數(shù)a，b滿足a2+b2=k，證明：a+b≥2ab.
【考點(diǎn)】絕對值三角不等式;絕對值不等式的解法.
【分析】(1)求出函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的最大值，通過|m﹣1|≤1，求解m的范圍，得到m的最大值M.
(2)利用分析法，證明不等式成立的充分條件即可.
【解答】解：(1)由已知可得f(x)= ，
所以fmax(x)=1，…(3分)
所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，
所以實(shí)數(shù)m的最大值M=2…
(2)因?yàn)閍>0，b>0，
所以要證a+b≥2ab，只需證(a+b)2≥4a2b2，
即證a2+b2+2ab≥4a2b2，
所以只要證2+2ab≥4a2b2，…(7分)
即證2(ab)2﹣ab﹣1≤0，
即證(2ab+1)(ab﹣1)≤0，因?yàn)?ab+1>0，所以只需證ab≤1，
下證ab≤1，
因?yàn)?=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，
所以a+b≥2ab…(10分)
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查分析法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計(jì)算能力.
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