高一數(shù)學線性回歸分析知識點
高一數(shù)學線性回歸分析知識點
數(shù)學線性回歸分析的知識點并不算難，只要學生熟記公式并加以運用就可以了，下面是學習啦小編給大家?guī)淼挠嘘P于高一關于線性回歸分析的知識點的介紹，希望能夠幫助到大家。
高一數(shù)學線性回歸分析知識點分析
重點難點講解：
1.回歸分析：
就是對具有相關關系的兩個變量之間的關系形式進行測定，確定一個相關的數(shù)學表達式，以便進行估計預測的統(tǒng)計分析方法。根據(jù)回歸分析方法得出的數(shù)學表達式稱為回歸方程，它可能是直線，也可能是曲線。
2.線性回歸方程
設x與y是具有相關關系的兩個變量，且相應于n組觀測值的n個點(xi, yi)(i=1,......,n)大致分布在一條直線的附近，則回歸直線的方程為。
其中 。
3.線性相關性檢驗
線性相關性檢驗是一種假設檢驗，它給出了一個具體檢驗y與x之間線性相關與否的辦法。
?、僭谡n本附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2(n為觀測值組數(shù))相應的相關系數(shù)臨界值r0.05。
?、谟晒?，計算r的值。
?、蹤z驗所得結(jié)果
如果|r|≤r0.05，可以認為y與x之間的線性相關關系不顯著，接受統(tǒng)計假設。
如果|r|>r0.05，可以認為y與x之間不具有線性相關關系的假設是不成立的，即y與x之間具有線性相關關系。
典型例題講解：
例1.從某班50名學生中隨機抽取10名，測得其數(shù)學考試成績與物理考試成績資料如表：序號12345678910數(shù)學成績54666876788285879094，物理成績61806286847685828896試建立該10名學生的物理成績對數(shù)學成績的線性回歸模型。
解：設數(shù)學成績?yōu)閤，物理成績?yōu)?，則可設所求線性回歸模型為，
計算，代入公式得
∴ 所求線性回歸模型為=0.74x+22.28。
說明：將自變量x的值分別代入上述回歸模型中，即可得到相應的因變量的估計值，由回歸模型知：數(shù)學成績每增加1分，物理成績平均增加0.74分。大家可以在老師的幫助下對自己班的數(shù)學、化學成績進行分析。
例2.假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元)，有如下的統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0
若由資料可知y對x成線性相關關系。試求：
(1)線性回歸方程; (2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少?
分析：本題為了降低難度，告訴了y與x間成線性相關關系，目的是訓練公式的使用。
解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.049162536 于是b=, 。 ∴線性回歸方程為：=bx+a=1.23x+0.08。
(2)當x=10時，=1.23×10+0.08=12.38(萬元) 即估計使用10年時維修費用是12.38萬元。
說明：本題若沒有告訴我們y與x間是線性相關的，應首先進行相關性檢驗。如果本身兩個變量不具備線性相關關系，或者說它們之間相關關系不顯著時，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計與預測也是不可信的。
例3.某省七年的國民生產(chǎn)總值及社會商品零售總額如下表所示：已知國民生產(chǎn)總值與社會商品的零售總額之間存在線性關系，請建立回歸模型。年份國民生產(chǎn)總值(億元)
社會商品零售總額(億元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合計4333.012194.24
解：設國民生產(chǎn)總值為x，社會商品零售總額為y, 設線性回歸模型為。
依上表計算有關數(shù)據(jù)后代入的表達式得： ∴ 所求線性回歸模型為y=0.445957x+37.4148, 表明國民生產(chǎn)總值每增加1億元，社會商品零售總額將平均增加4459.57萬元。
例4.已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜每年平均產(chǎn)量yt之間的關系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份19931994199519961997199871999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0 (1)求x與y之間的相關系數(shù)，并檢驗是否線性相關;
(2)若線性相關，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計每單位面積施肥150kg時，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。
分析：(1)使用樣本相關系數(shù)計算公式來完成;(2)查表得出顯著水平0.05與自由度15-2相應的相關系數(shù)臨界值r0.05比較，若r>r0.05，則線性相關，否則不線性相關。
解：(1)列出下表，并用科學計算器進行有關計算：i123456789101112131415xi707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0xiyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885 ,. 故蔬菜產(chǎn)量與施用氮肥量的相關系數(shù)： r= 由于n=15，故自由度15-2=13。由相關系數(shù)檢驗的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關系數(shù)臨界值r0.05=0.514，則r>r0.05，從而說明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關關系。
(2)設所求的回歸直線方程為=bx+a，則 ∴ 回歸直線方程為=0.0931x+0.7102。
當x=150時，y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。
說明：求解兩個變量的相關系數(shù)及它們的回歸直線方程的計算量較大，需要細心謹慎計算，如果會使用含統(tǒng)計的科學計算器，能簡單得到，這些量，也就無需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計算機中有關應用程序也可以對這些數(shù)據(jù)進行處理。
問題提出
1.函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量,如果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關系就是一個函數(shù)關系.
2.在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學成績好,那么你的物理學習就不會有什么大問題.”按照這種說法,似乎學生的物理成績與數(shù)學成績之間存在著某種關系,我們把數(shù)學成績和物理成績看成是兩個變量,那么這兩個變量之間的關系是函數(shù)關系嗎?
3.我們不能通過一個人的數(shù)學成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到多少,學習興趣、學習時間、教學水平等,也是影響物理成績的一些因素,但這兩個變量是有一定關系的,它們之間是一種不確定性的關系.類似于這樣的兩個變量之間的關系,有必要從理論上作些探討,如果能通過數(shù)學成績對物理成績進行合理估計,將有著非常重要的現(xiàn)實意義.
知識探究(一)：變量之間的相關關系
思考1:考察下列問題中兩個變量之間的關系:
(1)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費;
(2)糧食產(chǎn)量與施肥量;
(3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡.
這些問題中兩個變量之間的關系是函數(shù)關系嗎?
思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，那么學生的學業(yè)成績與教師的教學水平之間的關系是函數(shù)關系嗎?你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關系的成語嗎?
思考3:上述兩個變量之間的關系是一種非確定性關系,稱之為相關關系,那么相關關系的含義如何?
自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系，叫做相關關系.
高一數(shù)學上冊期中試卷分析
第Ⅰ卷
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的.)
1.設全集 ，集合 ，則右圖中的陰影部分表示的集合為 ( )
A. B. C. D.
2.下列函數(shù)中與 具有相同圖象的一個函數(shù)是( )
A. B. C. D.
3.已 知函數(shù) 是函數(shù) 的反函數(shù)，則 ( )
A. B. C. D.
4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在 上單調(diào)遞增的是( )
A. B. C. D.
5.下列式子中成立的是( )
A. B. C. D.
6. 已知函數(shù) ，則 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 為奇函數(shù)，當 時， ，則 在 上是( )
A.增函數(shù)，最小值為 B.增函數(shù)，最大值為
C.減函數(shù)，最小值為 D.減函數(shù)，最大值為
8. 在 ， ， 這三 個函數(shù)中，當 時，都有
成立的函數(shù)個數(shù)是( )
A. 0 B.1 C.2 D.3
9. 已知映射 ,其中 ，對應法則 .若對實數(shù) ,
在集合 中存在元素與之對應，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
10. 函數(shù) 的圖象大致是( )
A. B. C. D.
11. 函數(shù) 在 上為減函數(shù)，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
12. 設函數(shù) ， ，若實數(shù) 滿足 ， ，
則( )
A. B. C. D.
第Ⅱ 卷
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡相應位置.)
13. 已知全集 ， ，則集合 的子集的個數(shù)是 .
14. 已知函數(shù) 且 恒過定點 ，若點 也在冪 函數(shù) 的圖象上，則 .
15. 若函數(shù) ( 且 )的值域是 ，則實數(shù)的取值范圍是 .
16.定義實數(shù)集 的子集 的特征函數(shù)為 .若 ，對任意 ，有如下判斷：
?、偃?，則 ;② ; ③ ;④ .
其中正確的是 .(填上所有滿足條件的序號)
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、推證過程或演算步驟.)
17.(本小題滿分10分)計算下列各式：
(1) ;
(2) .
18.(本小題滿分12分)已知全集為 ，集合 ，
(1)當 時，求 ;
(2)若 ，求實數(shù) 的取值范圍.
19.(本小題滿分12分)已知 是定義在
上的偶函數(shù)，且當 時， .
(1)求 的解析式;
(2)在所給的坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的草圖，并求方程，恰有兩個不同實根時的實數(shù) 的取值范圍.
20.(本小題滿分12分)某濱海高檔住宅小區(qū)給每一戶業(yè)主均提供兩套供水方案.方案一是供應市政自來水，每噸自來水的水費是2元;方案二是限量供應10噸海底巖層中的溫泉水，若溫泉水用水量不超過5噸，則按基本價每噸8元收取，超過5噸不超過8噸的部分按基本價的1.5倍收取，超過8噸不超過10噸的部分按基本價的2倍收取.
(1)試寫出溫泉水用水費 (元)與其用水量 (噸)之間的函數(shù)關系式;
(2)若業(yè)主小王繳納10月份的物業(yè)費時發(fā)現(xiàn)一共用水16噸，被收取的費用為72元，那么他當月的自來水與溫泉水用水量各為多少噸?
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù) .
(1)判斷 的奇偶性并說明理由;
(2)判斷 在 上的單調(diào)性，并用定義證明;
(3)求滿足 的 的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)已知二次函數(shù) 滿足 ，且 .
(1) 求 的解析式;
(2)若函數(shù) 的最小值為 ，求實數(shù) 的值;
(3)若對任意互不相同的 ，都有 成立，求實數(shù) 的取值范圍.
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